Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Vorlesung 30/latex
\setcounter{section}{30}
\epigraph { Wer Schmetterlinge träumen hört, der weiß, wie Wolken riechen } { Novalis }
\zwischenueberschrift{Affine Erzeugendensysteme}
\inputfaktbeweis
{Affiner Raum/Affiner Unterraum/Durchschnittseigenschaft/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $E$ ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
über dem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.}
\faktfolgerung {Dann ist der Durchschnitt von einer Familie
\mathbed {F_i \subseteq E} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
von
\definitionsverweis {affinen Unterräumen}{}{}
wieder affin.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wenn der Durchschnitt leer ist, so gilt die Aussage nach Definition. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \bigcap_{i \in I} F_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir können die affinen Unterräume als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F_i
}
{ =} { P+ U_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_i
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { \bigcap_{i \in I} U_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was nach
Fakt ***** (1)
ein Untervektorraum ist. Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcap_{i \in I} F_i
}
{ =} { P +U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ \bigcap_{i \in I} F_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} {P+u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ \bigcap_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sodass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ P+U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt. Umgekehrt folgt aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ P+U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ P+U_i
}
{ = }{ F_i
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Insbesondere gibt es zu jeder Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem affinen Raum $E$ einen kleinsten affinen Unterraum, der $T$ umfasst.
\inputfaktbeweis
{Affiner Raum/Punktmenge/Erzeugter affiner Unterraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $E$ ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
über dem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge.}
\faktfolgerung {Dann besteht der kleinste
\definitionsverweis {affine Unterraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \subseteq }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $E$, der $T$ umfasst, aus allen baryzentrischen Kombinationen
\mathdisp {\sum_{i=1}^n a_i P_i \text{ mit } P_i \in T \text{ und } \sum_{i=1}^n a_i =1} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die angegebene Menge enthält die einzelnen Punkte aus $T$, da man als baryzentrisches Koordinatentupel insbesondere ein Standardtupel nehmen kann. Daher ergibt sich die Behauptung aus Lemma 29.14 und Aufgabe 29.20.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $E$ ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
über dem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \subseteq }{E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {affiner Unterraum}{}{.}
Eine Familie von Punkten
\mathbed {P_i \in F} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
heißt
\definitionswort {affines Erzeugendensystem}{}
von $F$, wenn $F$ der kleinste affine Unterraum von $E$ ist, der alle Punkte $P_i$ umfasst.
} Ein Punkt erzeugt als affinen Raum den Punkt selbst, zwei Punkte erzeugen die Verbindungsgerade.
\zwischenueberschrift{Affine Unabhängigkeit}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $E$ ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
über einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und es sei
\mathdisp {P_1 , \ldots , P_n} { }
eine endliche Familie von Punkten aus $E$. Man nennt die Punktfamilie
\definitionswort {affin-unabhängig}{,}
wenn eine Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n a_i P_i
}
{ =} {\sum_{i = 1}^n b_i P_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n a_i
}
{ =} {\sum_{i = 1}^n b_i
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nur bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_i
}
{ =} {b_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{ 1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
möglich ist.
}
{Affiner Raum/Endliche Punktfamilie/Affin unabhängig/Charakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $E$ ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
über einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und es sei
\mathdisp {P_1 , \ldots , P_n} { }
eine endliche Familie von Punkten aus $E$.}
\faktuebergang {Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Die Punkte
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} sind
\definitionsverweis {affin unabhängig}{}{.}
}{Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Vektorfamilie
\mathdisp {\overrightarrow{ P_i P_1 } , \ldots , \overrightarrow{ P_i P_{i-1} }, \, \overrightarrow{ P_i P_{i+1} } , \ldots , \overrightarrow{ P_i P_n }} { }
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.}
}{Es gibt ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die Vektorfamilie
\mathdisp {\overrightarrow{ P_i P_1 } , \ldots , \overrightarrow{ P_i P_{i-1} } ,\, \overrightarrow{ P_i P_{i+1} } , \ldots , \overrightarrow{ P_i P_n }} { }
linear unabhängig ist.
}{Die Punkte
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} bilden in dem von ihnen
\definitionsverweis {erzeugten}{}{} \definitionsverweis {affinen Unterraum}{}{}
eine
\definitionsverweis {affine Basis}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 30.3. }
\zwischenueberschrift{Affine Abbildungen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mathkor {} {E} {und} {F} {}
\definitionsverweis {affine Räume}{}{}
über den
\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathbed {V} {bzw.}
{W} {}
{} {} {} {.}
Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\psi} {E} {F
} {}
heißt
\definitionswort {affin}{}
\zusatzklammer {oder \stichwort {affin-lineare Abbildung} {}} {} {,}
wenn es eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi (P+v)
}
{ =} { \psi(P) + \varphi(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Es genügt, diese Bedingung für einen einzigen Punkt und alle Vektoren zu überprüfen, siehe Aufgabe 30.7.
\inputbemerkung
{}
{
Eine Abbildung
\maabbdisp {\psi} {E} {F
} {}
ist genau dann
\definitionsverweis {affin-linear}{}{}
mit linearem Anteil $\varphi$, wenn das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} V \times E & \stackrel{ + }{\longrightarrow} & E & \\ \!\!\!\!\! \varphi \times \psi \downarrow & & \downarrow \psi \!\!\!\!\! & \\ W \times F & \stackrel{ + }{\longrightarrow} & F & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert. Zu einer affin-linearen Abbildung
\maabbdisp {\psi} { E } { F
} {}
ist der lineare Anteil
\zusatzklammer {bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ E
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\maabbdisp {\varphi} { V } { W
} {}
eindeutig bestimmt. Es ist nämlich notwendigerweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi (v)
}
{ =} { \overrightarrow{ \psi(P) \psi (P+v) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für einen beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher bezeichnen wir den linearen Anteil mit $\psi_0$. Für zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt insbesondere
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi_0 ( \overrightarrow{ P Q } )
}
{ =} { \overrightarrow{ \psi(P) \psi (Q) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Affin-lineare Abbildung/Funktorielle Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mathkor {} {E, F} {und} {G} {}
\definitionsverweis {affine Räume}{}{}
über den
\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathbed {U,V} {bzw.}
{W} {}
{} {} {} {.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Die Identität
\maabbdisp {\operatorname{Id}_{ E }} {E} {E
} {}
ist affin-linear.
}{Die Verknüpfung von
\definitionsverweis {affin-linearen Abbildungen}{}{}
\maabbdisp {} {E} {F
} {}
und
\maabbdisp {} { F } { G
} {}
ist wieder affin-linear.
}{Zu einer bijektiven affin-linearen Abbildung
\maabbdisp {\psi} {E} {F
} {}
ist auch die
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
affin-linear.
}{Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Verschiebung
\maabbeledisp {} { E } { E
} { P } { P+v
} {,}
affin-linear.
}{Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
ist affin-linear.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Diese Eigenschaften folgen unmittelbar aus der Definition.
\inputfaktbeweis
{Affin-lineare Abbildung/Baryzentrische Kombination/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {E} {und} {F} {}
\definitionsverweis {affine Räume}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und sei
\maabbdisp {\psi} {E} {F
} {}
eine Abbildung.}
\faktfolgerung {Dann ist $\psi$ genau dann
\definitionsverweis {affin-linear}{}{,}
wenn für jede
\definitionsverweis {baryzentrische Kombination}{}{}
\mathl{\sum_{i \in I} a_i P_i}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_i
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi { \left( \sum_{i \in I} a_i P_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i \in I} a_i \psi(P_i)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es seien $V$ und $W$ die Vektorräume zu $E$ bzw. zu $F$. Es sei zunächst $\psi$ affin-linear mit linearem Anteil
\maabbdisp {\psi_0} {V} {W
} {}
und eine baryzentrische Kombination
\mathl{\sum_{i \in I} a_i P_i}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_i
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{i \in I} a_i
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Dann ist
\zusatzklammer {mit einem beliebigen Punkt
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ Q
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \psi { \left( \sum_{i \in I} a_i P_i \right) }
}
{ =} { \psi { \left( Q + \sum_{i \in I} a_i \overrightarrow{ Q P_i } \right) }
}
{ =} { \psi(Q) + \psi_0 { \left( \sum_{i \in I} a_i \overrightarrow{ Q P_i } \right) }
}
{ =} { \psi(Q) + \sum_{i \in I} a_i \psi_0 { \left( \overrightarrow{ Q P_i } \right) }
}
{ =} { \psi(Q) + \sum_{i \in I} a_i \overrightarrow{ \psi(Q) \psi(P_i) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{i \in I} a_i \psi(P_i)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Es sei nun umgekehrt die Abbildung $\psi$ mit den baryzentrischen Kombinationen verträglich. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi (v)
}
{ \defeq} { \overrightarrow{ \psi(P) \psi(P+v) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir zeigen zunächst, dass dies unabhängig von dem gewählten Punkt $P$ ist. Es ist
\mathdisp {(P+v) - (Q+v) + Q} { }
eine baryzentrische Kombination für den Punkt $P$, siehe
Aufgabe 29.15.
Daher ist in $F$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi (P+v) - \psi (Q+v) + \psi (Q)
}
{ =} { \psi(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist in $V$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overrightarrow{ \psi(P) \psi(P+v) } - \overrightarrow{ \psi(P) \psi(Q+v) } + \overrightarrow{ \psi(P) \psi(Q) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \overrightarrow{ \psi(P) \psi(P+v) }
}
{ =} { \overrightarrow{ \psi(P) \psi(Q+v) } - \overrightarrow{ \psi(P) \psi(Q) }
}
{ =} { \overrightarrow{ \psi(P) \psi(Q+v) } + \overrightarrow{ \psi(Q) \psi(P) }
}
{ =} { \overrightarrow{ \psi(Q) \psi(Q+v) }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Es bleibt zu zeigen, dass $\varphi$ linear ist. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ = }{ \overrightarrow{ P Q }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{ \overrightarrow{ P R }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \psi(P) + \varphi (au+bv)
}
{ =} { \psi (P+au+bv)
}
{ =} { \psi { \left( P+a \overrightarrow{ P Q } +b\overrightarrow{ P R } \right) }
}
{ =} { \psi ( (1-a-b)P +a Q +b R )
}
{ =} { (1-a-b) \psi(P) + a \psi (Q ) + b \psi (R)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \psi(P) + a \overrightarrow{ \psi(P) \psi(Q) } + b \overrightarrow{ \psi(P) \psi(R) }
}
{ =} { \psi(P) + a \varphi { \left( \overrightarrow{ P Q } \right) } + b \varphi { \left( \overrightarrow{ P R } \right) }
}
{ =} { \psi(P) + a \varphi (u) + b \varphi (v)
}
{ } {}
}
{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi (au+bv)
}
{ =} { a \varphi (u) + b \varphi (v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mathkor {} {E} {und} {F} {}
\definitionsverweis {affine Räume}{}{}
über den
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathbed {V} {bzw.}
{W} {}
{} {} {} {.}
Eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {affine Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\psi} {E} {F
} {}
heißt
\definitionswort {affiner Isomorphismus}{.}
}
In einem gewissen Sinne setzen sich affin-lineare Abbildungen aus Verschiebungen und aus linearen Abbildungen zusammen.
\inputfaktbeweis
{Affin-lineare Abbildung/Fixpunkt/Linear/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei $E$ ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann entsprechen sich die affin-linearen Abbildungen
\maabbdisp {\psi} {E} {E
} {}
mit $P$ als Fixpunkt und die
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { V } { V
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Zuordnung ist durch
\mathl{\psi \mapsto \psi_0}{} gegeben. Wir müssen zeigen, dass es zu jeder linearen Abbildung
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine eindeutige affin-lineare Abbildung
\maabbdisp {\psi} { E } { E
} {}
mit diesem linearen Anteil gibt. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi (Q)
}
{ =} { \psi (P) + \varphi( \overrightarrow{ P Q } )
}
{ =} { P + \varphi( \overrightarrow{ P Q } )
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
kann es nur eine affin-lineare Abbildung geben, und durch diese Vorschrift kann man die Abbildung auch definieren.
Der folgende Satz heißt \stichwort {Festlegungssatz für affine Abbildungen} {} und ist analog zu
Satz 10.10.
\inputfaktbeweis
{Affin-lineare Abbildung/Vorgabe auf affiner Basis/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mathkor {} {E} {und} {F} {}
\definitionsverweis {affine Räume}{}{}
über den
\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathbed {V} {bzw.}
{W} {}
{} {} {} {.}
Es sei
\mathbed {P_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {affine Basis}{}{}
von $E$ und
\mathbed {Q_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von Punkten in $F$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine eindeutig bestimmte
\definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\psi} { E } { F
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi(P_i)
}
{ =} { Q_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i_0
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es gibt nach
Satz 10.10
eine eindeutig bestimmte
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { V } { W
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi ( \overrightarrow{ P_{i_0} P_i } )
}
{ =} { \overrightarrow{ Q_{i_0} Q_i }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ I \setminus \{i_0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi(R)
}
{ =} { Q_{i_0} + \varphi ( \overrightarrow{ P_{i_0} R } )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine affin-lineare Abbildung mit der gewünschten Eigenschaft. Umgekehrt ist eine solche affine Abbildung $\psi$ durch den linearen Anteil und durch den Wert an einem einzigen Punkt eindeutig festgelegt, sodass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi_0
}
{ =} { \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein muss.
\inputfaktbeweis
{Affiner Raum/Affine Basis/Hyperebenenrealisierung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei $E$ ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {affinen Basis}{}{}
\mathl{P_1 , \ldots , P_n, P_{n+1}}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Abbildung
\maabbeledisp {} { E } { K^{n+1}
} { P } { (a_1 , \ldots , a_n, a_{n+1})
} {,}
wobei $a_i$ die
\definitionsverweis {baryzentrischen Koordinaten}{}{}
von $P$ sind, eine
\definitionsverweis {affin-lineare}{}{}
Abbildung, die eine affine
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
zwischen $E$ und dem
\definitionsverweis {affinen Unterraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \subset }{ K^{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stiftet, der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { { \left\{ x \in K^{n+1} \mid \sum_{ i = 1}^{n+1} x_i = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Der Vektorraum zu $F$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ W
}
{ =} { { \left\{ x \in K^{n+1} \mid \sum_{ i = 1}^{n+1} x_i = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Satz 30.12
gibt es eine eindeutig bestimmte affin-lineare Abbildung
\maabbdisp {} { E } { K^{n+1}
} {,}
die $P_i$ auf den $i$-ten
\definitionsverweis {Standardvektor}{}{}
$e_i$ abbildet. Dabei wird nach
Lemma 30.9
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { \sum_{i = 1}^{n+1} a_iP_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
\mathdisp {\sum_{1 = 1}^{n+1} a_i e_i} { }
abgebildet. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^{n+1} a_i
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gehört dieser Punkt zu $F$. Die Bijektivität ist klar.