Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 34/latex

\setcounter{section}{34}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \angle ( \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{pmatrix} ) }
{ =} { \begin{cases} \alpha \, , \text{ falls } \alpha \leq \pi \, , \\ 2 \pi - \alpha\, , \text{ falls } \alpha > \pi \, . \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} von $0$ verschiedene Vektoren in einem reellen Vektorraum $V$ mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.} Zeige, dass der Winkel zu \mathkor {} {u} {und} {v} {} mit dem Winkel zu \mathkor {} {su} {und} {tv} {} übereinstimmt, wobei $s,t$ positive reelle Zahlen sind.

}
{} {} Die vorstehende Aussage besagt insbesondere, dass der Winkel eine Eigenschaft der durch zwei Vektoren definierten \stichwort {Strahlen} {} \zusatzklammer {Halbgeraden} {} {} ist.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Winkel}{}{}
\mathdisp {\angle (u,v)} { }
nur von der Einschränkung des Skalarproduktes auf den durch \mathkor {} {u} {und} {v} {} \definitionsverweis {erzeugten}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} abhängt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{u,v,w \in V}{} von $0$ verschiedene Vektoren in einem reellen Vektorraum $V$ mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \angle (u,w) }
{ \leq} { \angle (u, v) + \angle (v,w) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Welche \definitionsverweis {Winkel}{}{} gibt es auf einer Geraden?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2 +y^2 = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der Einheitskreis. Zeige, dass man auf $K$ eine Metrik definieren kann, indem man
\mathl{d(P,Q)}{} \zusatzklammer {\mathlk{P,Q \in K}{}} {} {} als den positiven Winkel zwischen den zugehörigen Strahlen durch den Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} ansetzt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $\alpha_n$ der Winkel zwischen dem ersten Standardvektor $e_1$ und dem Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_n }
{ = }{ \sum_{i = 1}^n e_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im $\R^n$. Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathdisp {\lim_{n \rightarrow \infty} \alpha_n} { . }

}
{} {}

Die beiden folgenden Aufgaben wurden schon auf dem Arbeitsblatt 10 gestellt.


\inputaufgabe
{}
{

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die \zusatzklammer {bezüglich der Standardbasis} {} {} eine Drehung um $30$ Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die eine Drehung um $45$ Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme elementargeometrisch, auf welche Vektoren die Standardvektoren \mathkor {} {e_1} {und} {e_2} {} bei einer Drehung um den Nullpunkt um den Winkel $\alpha$ gegen den Uhrzeigersinn abgebildet werden.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise die Additionstheoreme für den \definitionsverweis {Sinus}{}{} und den \definitionsverweis {Kosinus}{}{} unter Verwendung von \definitionsverweis {Drehmatrizen}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 5 } } & - { \frac{ 4 }{ 5 } } \\ { \frac{ 4 }{ 5 } } & { \frac{ 3 }{ 5 } } \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass $M$ eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} auf dem $\R^2$ und dem ${\mathbb C}^2$ definiert. }{Bestimme die \definitionsverweis {komplexen}{}{} \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} zu $M$. }{Bestimme eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} von ${\mathbb C}^2$, die aus \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} zu $M$ besteht. }

}
{} {}

Eine achsensymmetrische Ellipse wird im $\R^2$ durch eine Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ax^2+by^2 }
{ =} {c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{a,b,c \in \R_+}{} beschrieben.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \zusatzklammer {achsensymmetrische} {} {} Ellipse $E$ im $\R^2$ und eine bijektive \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(E) }
{ = }{E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die keine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine bijektive, \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} { \R^2 } { \R^2 } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(S^1) }
{ = }{ S^1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(sv) }
{ = }{s \varphi(v) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die keine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine ebene Achsenspiegelung. Zeige, dass
\mathl{\begin{pmatrix} - \sin \alpha \\ \cos \alpha-1 \end{pmatrix}}{} ein Eigenvektor zum Eigenwert $1$ und
\mathl{\begin{pmatrix} \cos \alpha-1 \\ \sin \alpha \end{pmatrix}}{} ein Eigenvektor zum Eigenwert $-1$ von $M$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {} die \definitionsverweis {Drehung}{}{} des Raumes um die $z$-Achse um $45$ Grad gegen den Uhrzeigersinn. Wie sieht die \definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{} bezüglich der \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\2\\ 4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 3 \\3\\ -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 5 \\0\\ 7 \end{pmatrix}} { }
aus?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi }
{ \in }{ S_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Permutation}{}{} und \maabbdisp {M_\pi} { \R^n } { \R^n } {} die zugehörige \definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{} bzw. lineare Abbildung. Zeige, dass $M_\pi$ eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist. Wann handelt es sich um eine \definitionsverweis {eigentliche Isometrie}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man bestimme zu jeder \definitionsverweis {Permutation}{}{}
\mathl{\pi \in S_3}{} für die zugehörige \definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{} die \definitionsverweis {Eigengerade}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die Gruppe der \definitionsverweis {räumlichen Drehungen}{}{} nicht kommutativ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer Raumdrehung, bei der sämtliche Matrixeinträge $\neq 0,1$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_1 }
{ = }{ \langle \begin{pmatrix} 4 \\-8\\ 7 \end{pmatrix} \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_2 }
{ = }{ \langle \begin{pmatrix} 4 \\-8\\ 7 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 3 \\-5\\ 2 \end{pmatrix} \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{} im $\R^3$. Finde eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} \maabb {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_1 }
{ = }{ \langle \varphi(e_1) \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_2 }
{ = }{ \langle \varphi(e_1) ,\, \varphi(e_2) \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 & 0 \\ \sin \alpha & - \cos \alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos \beta & \sin \beta \\ 0 & 0 & \sin \beta & - \cos \beta \end{pmatrix}} { }
ist eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {\R^4} {\R^4 } {} gegeben \zusatzklammer {
\mathl{\alpha, \beta \in [0, \pi[}{}} {} {.} Bestimme die Eigenwerte und ihre algebraischen und geometrischen Vielfachheiten von $\varphi$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Der $\R^n$ sei mit der \definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert }
{ =} { \Vert { v } \Vert_{\rm max} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} versehen. Wir interessieren und für die reellen Matrizen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { (a_{ij})_{1 \leq i,j \leq n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {Mv} \Vert }
{ =} { \Vert {v} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Eine solche Matrix nennen wir
\mathl{\Vert {-} \Vert_{\rm max}}{-}isometrisch. \aufzaehlungsechs{Zeige, dass eine
\mathl{\Vert {-} \Vert_{\rm max}}{-}isometrische Matrix \definitionsverweis {invertierbar}{}{} ist. }{Zeige, dass die Menge der
\mathl{\Vert {-} \Vert_{\rm max}}{-}isometrischen Matrizen eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der \definitionsverweis {allgemeinen linearen Gruppe}{}{} bildet. }{Zeige, dass eine \definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert_{\rm max}}{-}isometrisch ist. }{Unter einer Vorzeichen-Permutationsmatrix verstehen wir eine Matrix, die aus einer Permutationsmatrix entsteht, indem man eintragsweise vor die $1$ jeweils ein $+$ oder ein $-$-Zeichen setzt. Man gebe ein Beispiel für eine $3 \times 3$-Vorzeichen-Permutationsmatrix, die keine Permutationsmatrix und keine obere Dreiecksmatrix ist und deren Determinante gleich $1$ ist. }{Zeige, dass eine Vorzeichen-Permutationsmatrix
\mathl{\Vert {-} \Vert_{\rm max}}{-}isometrisch ist. }{Zeige, dass jede
\mathl{\Vert {-} \Vert_{\rm max}}{-}isometrische Matrix eine Vorzeichen-Permutationsmatrix ist. }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {normierte Vektoren}{}{} in einem reellen Vektorraum $V$ mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.} Zeige, dass der Vektor
\mathl{u+v}{} die beiden Vektoren in gleich große Winkel unterteilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten eine Uhr mit Minuten- und Sekundenzeiger, die sich beide kontinuierlich bewegen. Bestimme eine Formel, die aus der Winkelstellung des Minutenzeigers die Winkelstellung des Sekundenzeigers \zusatzklammer {jeweils ausgehend von der 12-Uhr-Stellung im Uhrzeigersinn gemessen} {} {} berechnet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass sich jede eigentliche \definitionsverweis {lineare Isometrie}{}{} des $\R^3$ als \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} von Drehungen um die drei \definitionsverweis {Koordinatenachsen}{}{} realisieren lässt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c,d }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a^2+b^2+c^2+d^2 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} a^2+b^2-c^2-d^2 & 2(-ad+bc) & 2( ac+bd) \\ 2(ad+bc) & a^2-b^2+c^2-d^2 & 2(-ab+cd) \\2(-ac+bd) & 2(ab+cd) & a^2-b^2-c^2+d^2 \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} des $\R^3$ definiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $M$ eine komplexe $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} derart, dass die Spalten eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} des ${\mathbb C}^2$ bilden und die \definitionsverweis {Determinante}{}{} gleich $1$ ist. Zeige, dass $M$ die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { \begin{pmatrix} u & - \overline{ v } \\ v & \overline{ u } \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert { \begin{pmatrix} u \\v \end{pmatrix} } \Vert }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5 (1+2+2)}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 5 }{ 13 } } & - { \frac{ 12 }{ 13 } } \\ { \frac{ 12 }{ 13 } } & { \frac{ 5 }{ 13 } } \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass $M$ eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} auf dem $\R^2$ und dem ${\mathbb C}^2$ definiert. }{Bestimme die \definitionsverweis {komplexen}{}{} \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} zu $M$. }{Bestimme eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} von ${\mathbb C}^2$, die aus \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} zu $M$ besteht. }

}
{} {}