Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Vorlesung 34

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Die Diagonalisierbarkeit von Isometrien im Komplexen



Lemma  

Sei

eine lineare Isometrie auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei ein invarianter Unterraum.

Dann ist auch das orthogonale Komplement invariant.

Insbesondere kann man als direkte Summe

schreiben, wobei die Einschränkungen und ebenfalls Isometrien sind.

Beweis  

Es ist

Für ein solches und ein beliebiges ist

da wegen der Invarianz von liegt. Also ist wieder .


Die folgende Aussage heißt Spektralsatz oder genauer Spektralsatz für komplexe Isometrien. Im Verlauf dieses Kurses weredn wir noch weitere Spektralsätze kennenlernen, siehe Satz 41.11 und Satz 42.9.



Satz  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

eine Isometrie.

Dann besitzt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu . Insbesondere ist diagonalisierbar.

Beweis  

Wir führen Induktion über die Dimension von . Im eindimensionalen Fall ist die Aussage klar. Aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra und Satz 23.2 besitzt einen Eigenwert und einen Eigenvektor, den wir normieren können. Es sei die zugehörige Eigengerade. Da eine Isometrie vorliegt, ist das orthogonale Komplement nach Lemma 34.1 ebenfalls -invariant, und die Einschränkung

ist ebenfalls eine Isometrie. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es also von eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren, die zusammen mit dem ersten Eigenvektor eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von bildet.




Winkel
Arccosine.svg

Bemerkung  

Für zwei von verschiedene Vektoren und in einem euklidischen Vektorraum folgt aus der Ungleichung von Cauchy-Schwarz, dass

ist. Damit kann man mit Hilfe der trigonometrischen Funktion Kosinus (als bijektive Abbildung ) bzw. der Umkehrfunktion den Winkel zwischen den beiden Vektoren definieren, nämlich durch

Der Winkel ist also eine reelle Zahl zwischen und .


Bei einem affinen Raum über einem euklidischen Vektorraum und bei gegebenen drei Punkten (einem Dreieck) mit versteht man unter dem Winkel des Dreiecks an den Winkel .



Ebene Isometrien
Orthogonal transformation qtl1.svg



Satz  

Sei

eine eigentliche, lineare Isometrie.

Dann ist eine Drehung,

und ihre Matrix hat bezüglich der Standardbasis die Gestalt

mit einem eindeutig bestimmten Drehwinkel .

Beweis  

Es seien und die Bilder der Standardvektoren und . Unter einer Isometrie wird die Länge eines Vektors erhalten, daher ist

Daher ist eine reelle Zahl zwischen und und , d.h. ist ein Punkt auf dem reellen Einheitskreis. Der Einheitskreis wird bekanntlich durch die trigonometrischen Funktionen parametrisiert, d.h. es gibt einen eindeutig bestimmten Winkel , , mit

Da unter einer Isometrie die Senkrechtsbeziehung erhalten bleibt, muss

gelten. Bei folgt daraus (wegen ) . Dann ist und wegen der Eigentlichkeit muss das Vorzeichen dasselbe wie von sein. Sei also . Dann gilt

Da die beiden Vektoren die Länge haben, muss der skalare Faktor den Betrag haben. Bei wäre und die Determinante wäre . Also muss und sein, was die Behauptung ergibt.


Die Hintereinanderschaltung von zwei Drehungen und ist . Diese Eigenschaft ist einleuchtend, wenn man die intuitive Vorstellung, die sich mit einer Drehung verbindet, verwendet. Unter Verwendung der Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen kann man sie beweisen. Umgekehrt folgen die Additionstheoreme aus dieser Eigenschaft, siehe Aufgabe 34.11. Aus dieser Eigenschaft folgt auch, dass die Gruppe der ebenen Drehungen kommutativ ist.



Satz  

Sei

eine uneigentliche lineare Isometrie.

Dann ist eine Achsenspiegelung

und ihre Matrix hat bezüglich der Standardbasis die Gestalt

mit einem eindeutig bestimmten Winkel .

Beweis  

Wir betrachten

was nach dem Determinantenmultiplikationssatz eine eigentliche Isometrie ist. Nach Satz 34.4 gibt es somit einen eindeutig bestimmten Winkel mit

Somit ist


Bei einer solchen Achsenspiegelung ist ein Eigenvektor zum Eigenwert , die Spiegelungsachse ist also , siehe Aufgabe 34.15. Eine Achsenspiegelung wird bezüglich der Basis, die aus einen Vektor der Spiegelungsachse und einem dazu senkrechten Vektor besteht, durch beschrieben. Die in Satz 34.5 gegebene Beschreibung bezüglich der Standardbasis lässt sich also wesentlich verbessern.



Räumliche Isometrien



Satz  

Sei

eine lineare Isometrie.

Dann gibt es einen Eigenvektor zum Eigenwert oder .

Beweis  

Das charakteristische Polynom zu ist ein normiertes Polynom vom Grad drei. Für geht und für geht . Nach dem Zwischenwertsatz besitzt daher mindestens eine Nullstelle. Eine solche Nullstelle ist ein Eigenwert von . Nach Satz 33.10 ist der Eigenwert gleich oder gleich .


Eine eigentliche lineare Isometrie des Raumes führt insbesondere die Einheitskugel durch eine Bewegung in sich über. Man kann sich eine solche Isometrie also gut als eine Drehung an einer Kugel vorstellen, die in einer passenden Schale liegt.



Satz  

Eine eigentliche Isometrie

besitzt einen Eigenvektor zum Eigenwert ,

d.h. es gibt eine Gerade (durch den Nullpunkt), die unter fest bleibt.

Beweis  

Wir betrachten das charakteristische Polynom von , also

Dies ist ein normiertes reelles Polynom vom Grad drei. Für ergibt sich

Da für das Polynom geht, muss es für ein positives eine Nullstelle geben. Aufgrund von Satz 33.10 kommt dafür nur in Frage.




Satz  

Sei

eine eigentliche Isometrie.

Dann ist eine Drehung um eine feste Achse.

Das bedeutet, dass in einer geeigneten Orthonormalbasis durch eine Matrix der Form

beschrieben wird.

Beweis  

Nach Satz 34.7 gibt es einen Eigenvektor zum Eigenwert . Sei die davon erzeugte Gerade. Diese ist fix und insbesondere invariant unter . Nach Lemma 34.3 ist dann auch das orthogonale Komplement invariant unter , d.h. es gibt eine lineare Isometrie

die auf mit übereinstimmt. Dabei muss eigentlich sein, und daher muss nach Satz 34.4 eine Drehung sein. Wählt man einen Vektor der Länge eins aus und dazu eine Orthonormalbasis von , so hat bezüglich dieser Basis die angegebene Gestalt.

Football theorem qtl1.svg



Korollar  

Zu Beginn eines Fußballspiels liegt der Fußball auf dem Anstoßpunkt. Wenn ein Tor erzielt wird, so wird der Ball wieder auf den Anstoßpunkt zurückgesetzt. In dieser Situation gilt:

Es gibt mindestens zwei (gegenüber liegende) Punkte auf dem Fußball (seiner Oberfläche), die beim Neuanstoß genau dort liegen, wo sie am Spielanstoß lagen. Die Gesamtbewegung des Balles lässt sich durch eine Achsendrehung realisieren.

Beweis  

Die Gesamtbewegung ist eine lineare Isometrie, daher folgt die Aussage aus Satz 34.8.




Der Zerlegungssatz für Isometrien



Lemma  

Es sei ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum und

ein Endomorphismus.

Dann besitzt einen -invarianten Untervektorraum der Dimension oder .

Beweis  

Wir können

annehmen und dass durch die Matrix bezüglich der Standardbasis gegeben ist. Wenn einen Eigenwert besitzt, so sind wir fertig. Andernfalls betrachten wir die entsprechende komplexe Abbildung, also

die durch die gleiche Matrix gegeben ist. Diese besitzt einen komplexen Eigenwert und einen komplexen Eigenvektor . Es ist also

Mit

und bedeutet dies

Vergleich von Real- und Imaginärteil zeigt, dass sind, so dass der Untervektorraum invariant ist.




Satz  

Es sei

eine Isometrie auf dem euklidischen Vektorraum .

Dann ist eine orthogonale direkte Summe

von -invarianten Untervektorräumen, wobei die eindimensional und die zweidimensional sind. Die Einschränkung von auf den ist die Identität, auf die negative Identität und auf eine Drehung ohne Eigenwerte.

Beweis  

Wir führen Induktion über die Dimension von , die mit bezeichnet sei. Der eindimensionale Fall ist wegen Satz 33.10 klar. Sei . Die Determinante kann wegen Lemma 33.13 nur die Werte und annehmen. Bei besitzt das charakteristische Polynom zwei Nullstellen, und diese müssen nach Satz 33.10 und sein. Es liegt dann also eine Achsenspiegelung vor und

Wenn die Determinante ist, so sind wir in der Situation von Satz 34.4 und es liegt eine Drehung vor. Wenn der Drehwinkel ist, so liegt die Identität vor und man kann zerlegen, und wenn der Drehwinkel ist, so liegt die Punktspiegelung vor und man kann zerlegen. Bei den anderen Winkeln gibt es keine Eigenvektoren.

Sei nun beliebig und die Aussage für kleinere Dimensionen schon bewiesen. Nach Lemma 34.10 gibt es einen -invarianten Untervektorraum der Dimension oder und nach Lemma 34.3 gibt es dazu ein invariantes orthogonales Komplement, also

Die Induktionsvoraussetzung angewendet auf liefert das Resultat.


In dieser Zerlegung ist der Eigenraum zum Eigenwert und der Eigenraum zum Eigenwert , wobei die jeweiligen Zerlegungen nicht eindeutig sind. Die Isometrie ist genau dann eigentlich, wenn gerade ist.


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