Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 43/latex

\setcounter{section}{43}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Multipliziere in
\mathl{\Z/(5) [x,y]}{} die beiden Polynome
\mathdisp {x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 \text{ und } x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Multipliziere in
\mathl{\Q[x,y,z]}{} die beiden Polynome
\mathdisp {x^5+3x^2y^2-xyz^3 \text{ und } 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X,Y]}{} über einem Körper $K$ das \definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{(X,Y)}{} kein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere im $\R^2$ die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen. \aufzaehlungzweireihe {\itemfuenf {
\mathl{x^2-y^2 -1 = 0}{,} }{
\mathl{x^2+xy+y^2 = 0}{,} }{
\mathl{x^2+y^2 +1 = 0}{,} }{
\mathl{x^2+y^2 = 0}{,} }{
\mathl{x^2+y^3 = 0}{,} } } {\itemfuenf {
\mathl{x^3-y^5 = 0}{,} }{
\mathl{x^2-x^3 = 0}{,} }{
\mathl{x^3+y^3 = 1}{,} }{
\mathl{x^4+y^4 = 1}{,} }{
\mathl{-5+3x+4x^2+x^3-y^2 = 1}{.} } }

}
{} {}

In den folgenden Aufgaben ist Standardform im Sinne von Satz 43.9 zu verstehen. Es muss die neue Basis, die Variablentransformation \zusatzklammer {Koordinatentransformation} {} {} und das vereinfachte quadratische Polynom angegeben werden.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bringe das reelle quadratische Polynom
\mathdisp {X^2-4Y^2+6XY -3X +Y+2} { }
auf eine \definitionsverweis {Standardgestalt}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bringe das reelle quadratische Polynom
\mathdisp {5X^2-2Y^2-6XY -5X-3Y-7} { }
auf eine \definitionsverweis {Standardgestalt}{}{.}

}
{} {}

In der folgenden Aufgabe geht es um zwei Definitionen für eine Ellipse.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mathl{Q_1,Q_2\in \R^2}{} zwei Punkte,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E }
{ =} { { \left\{ P\in \R^2 \mid d(P,Q_1)+d(P,Q_2) = c \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $E$ die Nullstellenmenge einer quadratischen Gleichung in zwei Variablen ist. Wie sieht die Standardgestalt aus? Was sind die Hauptachsen?

}
{} {Tipp: Führe die beschriebene Situation auf den Fall zurück, wo
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q_1 }
{ = }{(e,0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q_2 }
{ = }{(-e,0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}

Unter normierter Standardgestalt verstehen wir eine quadratische Form, bei der die nichtkonstanten Koeffizienten nur den Wert
\mathl{0,1,-1}{} haben dürfen. Dies kann man durch Verzerrungen stets erreichen \zusatzklammer {wobei aber die Orthogonalität verloren geht} {} {.}


\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {normierte Standardgestalt}{}{} der reellen \definitionsverweis {Quadrik}{}{}
\mathdisp {7x^2-11y^2+ 15 xy} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Quadriken-7.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Quadriken-7.svg } {} {Ag2gaeh} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}

Welche der rechts skizzierten Quadriken kann man \zusatzklammer {in welchem Sinne} {} {} mit weniger als drei Variablen beschreiben?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, welche Quadriken aus Beispiel 43.12 sich als \definitionsverweis {Graph}{}{} und welche sich als \definitionsverweis {Rotationsfläche}{}{} beschreiben lassen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {normierte Standardgestalt}{}{} der reellen \definitionsverweis {Quadrik}{}{}
\mathdisp {3x^2+2y^2+ 2 xy - 2 yz} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {normierte Standardgestalt}{}{} der reellen \definitionsverweis {Quadrik}{}{}
\mathdisp {x^2+y^2-2z^2-4xy+6xy-2yz} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{} der Dimension $n$. Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T }
{ =} { { \left\{ v \in V \mid \left\langle v , v \right\rangle = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für welche $n$ ist $T$ \definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{,} für welche zerfällt es in verschiedene Komponenten?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{} der Dimension $n$. Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T }
{ =} { { \left\{ v \in V \mid \left\langle v , v \right\rangle = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es sei $w$ der \definitionsverweis {Beobachtervektor}{}{} eines Beobachters $B$ und es sei $V_B$ seine Raumkomponente. Welche Gestalt besitzt
\mathl{T \cap V_B}{?}

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cusp.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Cusp.png } {} {Satipatthana} {Commons} {PD} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Das \definitionsverweis {Bild}{}{} der durch \maabbeledisp {} {K} {K^2 } {t} {\left( t^2 , \, t^3 \right) } {,} definierten Kurve heißt \stichwort {Neilsche Parabel} {.} Zeige, dass ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(x,y) }
{ \in }{ K^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^3 }
{ = }{y^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erfüllt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei \maabbeledisp {f} {\R} {\R^2 } {t} {\left( t^2 , \, t^3 \right) } {.} Bestimme die Punkte
\mathl{t_0 \in \R}{,} für die der Abstand der zugehörigen Kurvenpunkte
\mathl{f(t)=\left( t^2 , \, t^3 \right)}{} zum Punkt
\mathl{(1,0)}{} minimal wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Kurve \maabbeledisp {} {\R} {\R^2 } {t} {(t^2-1,t^3-t) } {.}

a) Zeige, dass die \definitionsverweis {Bildpunkte}{}{}
\mathl{(x,y)}{} der Kurve die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2 }
{ =} { x^2+x^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllen.

b) Zeige, dass jeder Punkt $(x,y) \in \R^2$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y^2 }
{ = }{ x^2+x^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zum Bild der Kurve gehört.

c) Zeige, dass es genau zwei Punkte \mathkor {} {t_1} {und} {t_2} {} mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{C \subseteq \R^2}{} das \definitionsverweis {Bild}{}{} unter der polynomialen Abbildung \maabbeledisp {} {\R} {\R^2 } {t} { \left( t^3-1 , \, t^2-1 \right) } {.} Bestimme ein Polynom
\mathl{F\neq 0}{} in zwei Variablen derart, dass $C$ auf dem Nullstellengebilde zu $F$ liegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ der \definitionsverweis {Graph}{}{} der Standardparabel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} {x^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und $M \subseteq \R^3$ die \definitionsverweis {Rotationsfläche}{}{} zu $T$ um die $x$-Achse. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass $M$ durch keine \definitionsverweis {Quadrik}{}{} beschrieben wird. } {Zeige, dass $M$ die \definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{} eines Polynoms in drei Variablen ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\Psi$ eine \definitionsverweis {hermitesche Form}{}{} mit der \definitionsverweis {Gramschen Matrix}{}{} $G$ \zusatzklammer {bezüglich einer Basis} {} {.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $G$ reell ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\Psi$ eine \definitionsverweis {hermitesche Form}{}{} mit der \definitionsverweis {Gramschen Matrix}{}{} $G$ \zusatzklammer {bezüglich einer Basis} {} {.} Zeige, dass das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} von $G$ reelle Koeffizienten besitzt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Wie viele Monome vom \definitionsverweis {Grad }{}{} $d$ gibt es im Polynomring in einer, in zwei und in drei Variablen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2 }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für die Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ \Z/(2)}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{,}
\mathl{\Z/(3)}{,}
\mathl{\Z/(5)}{} und
\mathl{\Z/(7)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Bringe das reelle quadratische Polynom
\mathdisp {3X^2-5Y^2+7XY +4X-2Y+5} { }
auf eine \definitionsverweis {Standardgestalt}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{10 (4+6)}
{

Wir betrachten den Kegel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^2 \mid x^2+y^2 = z^2 \right\} } }
{ \subseteq} {\R^3 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und es sei
\mathl{E \subseteq \R^3}{} eine \definitionsverweis {affine Ebene}{}{.} Der Durchschnitt
\mathl{K \cap E}{} heißt \stichwort {Kegelschnitt} {.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass jeder Kegelschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K \cap E }
{ \subseteq} {E }
{ \cong} {\R^2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in geeigneten Koordinaten
\mathl{u,v}{} des $\R^2$ als \definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{} eines quadratischen Polynoms in
\mathl{u,v}{} beschrieben werden kann. } {Bestimme, welche der Quadriken aus Beispiel 43.8 sich als Kegelschnitte realisieren lassen. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {normierte Standardgestalt}{}{} der reellen \definitionsverweis {Quadrik}{}{}
\mathdisp {5x^2-4y^2+z^2-xy+3xz} { . }

}
{} {}