Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 42

Übungsaufgaben

Aufgabe

Eine komplexe Zahl $z \in ℂ$ definiert einen Endomorphismus $μ_{z} : x \to z x$ . Skizziere in der Ebene $ℂ$ diejenigen komplexen Zahlen mit der Eigenschaft, dass $μ_{z}$ eine Isometrie, selbstadjungiert, eine selbstadjungierte Isometrie bzw. normal ist.

Aufgabe

Eine komplexe Zahl $z \in ℂ$ definiert eine Streckung $μ_{z} : v \to z v$ auf dem $ℂ^{n}$ . Für welche Zahlen $z$ handelt es sich dabei um eine Isometrie, einen selbstadjungierten Endomorphismus, einen normalen Endomorphismus?

Aufgabe

Wann ist eine Scherung $(\begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix})$ auf dem $ℝ^{2}$ ein normaler Endomorphismus?

Aufgabe

Es sei $V$ ein $𝕂$ -Vektorraum mit Skalarprodukt. Es sei

φ : V ⟶ V

ein normaler Endomorphismus und $U \subseteq V$ ein $φ$ -invarianter Untervektorraum. Zeige, dass auch die Einschränkung

φ |_{U} : U ⟶ U

normal ist.

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$ -Vektorraum mit Skalarprodukt $⟨ -, - ⟩$ und sei

φ : V ⟶ V

ein Endomorphismus. Zeige, dass $φ$ genau dann normal ist, wenn der adjungierte Endomorphismus $\hat{φ}$ normal ist.

Aufgabe *

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$ -Vektorraum mit Skalarprodukt $⟨ -, - ⟩$ und sei

φ : V ⟶ V

ein normaler Endomorphismus. Zeige

kern φ = kern \hat{φ} .

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$ -Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei

V = V_{1} \oplus V_{2}

die direkte Summe der Untervektorräume $V_{1}$ und $V_{2}$ , die zueinander orthogonal seien. Es seien

φ_{1} : V_{1} ⟶ V_{1}

und

φ_{2} : V_{2} ⟶ V_{2}

normale Endomorphismen und

φ = φ_{1} \oplus φ_{2}

die Summe davon. Zeige, dass auch $φ$ normal ist.

Aufgabe

Es sei $V$ ein $𝕂$ -Vektorraum mit Skalarprodukt $⟨ -, - ⟩$ . Zeige, dass die Menge der normalen Endomorphismen von $V$ keinen Untervektorraum in ${End}_{} (V)$ bilden.

Aufgabe

Die lineare Abbildung $φ : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ werde bezüglich der Basis $(\begin{matrix} 6 \\ - 5 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 5 \\ 2 \end{matrix})$ durch die Matrix $(\begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix})$ beschrieben. Handelt es sich um einen normalen Endomorphismus?

Aufgabe

Die lineare Abbildung $φ : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ werde bezüglich der Basis $(\begin{matrix} 7 \\ - 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 4 \\ 14 \end{matrix})$ durch die Matrix $(\begin{matrix} 5 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix})$ beschrieben. Handelt es sich um einen normalen Endomorphismus?

Aufgabe *

Entscheide, ob es für die durch die Matrix

(\begin{matrix} 2 - 3 i & 4 + 5 i \\ 11 - 3 i & 6 + 9 i \end{matrix})

gegebene lineare Abbildung $ℂ^{2} \to ℂ^{2}$ eine Orthonormalbasis des $ℂ^{2}$ aus Eigenvektoren gibt.

Aufgabe

Entscheide, ob es für die durch die Matrix

(\begin{matrix} 2 - 5 i & 3 - 4 i & 1 + 5 i \\ 0 & 1 - i & 2 + 9 i \\ 6 + 3 i & i - 7 & - 4 i \end{matrix})

gegebene lineare Abbildung $ℂ^{3} \to ℂ^{3}$ eine Orthonormalbasis des $ℂ^{3}$ aus Eigenvektoren gibt.

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$ -Vektorraum mit Skalarprodukt $⟨ -, - ⟩$ und es sei $v_{1}, \dots, v_{n}$ eine Basis von $V$ . Es sei

φ : V ⟶ V

ein Endomorphismus und $Ψ_{φ}$ die zugehörige Sesquilinearform im Sinne von Lemma 41.12. Wie verhält sich die beschreibende Matrix von $φ$ zur Gramschen Matrix zu $Ψ_{φ}$ ? Welche Beziehung besteht zur Gramschen Matrix der Form $Θ_{φ}$ , die durch

Θ_{φ} (v, w) = ⟨ v, φ (w) ⟩

definiert wird.

Aufgabe *

Es sei $X^{2} + (3 - 2 i) X - 6 i$ das charakteristische Polynom eines normalen Endomorphismus $φ : ℂ^{2} \to ℂ^{2}$ . Bestimme das charakteristische Polynom des adjungierten Endomorphismus $\hat{φ}$ .

Aufgabe *

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$ -Vektorraum mit einem fixierten Skalarprodukt $⟨ -, - ⟩$ . Wir nennen eine Sesquilinearform $Ψ$ auf $V$ orthogonalisierbar, wenn es eine Orthonormalbasis $u_{1}, \dots, u_{n}$ (bezüglich des Skalarproduktes) von $V$ mit

Ψ (u_{i}, u_{j}) = 0

für alle $i \neq j$ gibt. Zeige, dass bei der Korrespondenz

{End}_{} (V) ⟶ {Sesq}_{} (V), φ ⟼ Ψ_{φ},

die normalen Endomorphismen den orthogonalisierbaren Sesquilinearformen entsprechen.

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$ -Vektorraum und $⟨ -, - ⟩$ eine hermitesche Sesquilinearform auf $V$ . Zeige, dass $V$ eine Orthogonalbasis besitzt.

Aufgabe *

Beweise den Trägheitssatz von Sylvester für eine komplex-hermitesche Form.

Aufgabe

Der $ℝ^{4}$ sei (neben dem Standardskalarprodukt) mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Man gebe eine Basis des $ℝ^{4}$ an, die bezüglich des Skalarproduktes eine Orthonormalbasis und bezüglich der Minkowski-Form eine Orthogonalbasis ist.

Aufgabe

Der $ℝ^{2}$ sei (neben dem Standardskalarprodukt) mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Bestimme sämtliche Basen des $ℝ^{2}$ , die bezüglich des Skalarproduktes eine Orthonormalbasis und bezüglich der Minkowski-Form eine Orthogonalbasis sind.

Aufgabe

Bestimme den Typ der Matrix

(\begin{matrix} - 6 & 3 - 2 i & - 1 + 3 i \\ 3 + 2 i & 1 & 5 \\ - 1 - 3 i & 5 & - 1 \end{matrix}) .

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Die lineare Abbildung $φ : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ werde bezüglich der Basis $(\begin{matrix} 7 \\ - 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 4 \\ 3 \end{matrix})$ durch die Matrix $(\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix})$ beschrieben. Handelt es sich um einen normalen Endomorphismus?

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$ -Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei

φ : V ⟶ V

ein normaler Endomorphismus. Zeige, dass auch $φ - λ \cdot {Id}_{V}$ normal ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob es für die durch die Matrix

(\begin{matrix} 4 + i & 6 - 7 i & 6 + 3 i \\ 4 - i & 2 - i & 2 - i \\ 5 + 3 i & 2 i - 11 & 4 + 3 i \end{matrix})

gegebene lineare Abbildung $ℂ^{3} \to ℂ^{3}$ eine Orthonormalbasis des $ℂ^{3}$ aus Eigenvektoren gibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

φ : V ⟶ V

ein normaler Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen $ℂ$ -Vektorraum $V$ . Zeige, dass $φ$ genau dann selbstadjungiert ist, wenn alle Eigenwerte von $φ$ reell sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Typ der Matrix

(\begin{matrix} - 5 & 3 - i & - 4 + i \\ 3 + i & 2 & 7 i \\ - 4 - i & - 7 i & 4 \end{matrix}) .

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