Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 42

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Eine komplexe Zahl definiert einen Endomorphismus . Skizziere in der Ebene diejenigen komplexen Zahlen mit der Eigenschaft, dass eine Isometrie, selbstadjungiert, eine selbstadjungierte Isometrie bzw. normal ist.


Aufgabe

Eine komplexe Zahl definiert eine Streckung auf dem . Für welche Zahlen handelt es sich dabei um eine Isometrie, einen selbstadjungierten Endomorphismus, einen normalen Endomorphismus?


Aufgabe

Wann ist eine Scherung auf dem ein normaler Endomorphismus?


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt. Es sei

ein normaler Endomorphismus und

ein -invarianter Untervektorraum. Zeige, dass auch die Einschränkung

normal ist.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

ein Endomorphismus. Zeige, dass genau dann normal ist, wenn der adjungierte Endomorphismus normal ist.


Aufgabe *

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

ein normaler Endomorphismus. Zeige


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei

die direkte Summe der Untervektorräume und , die zueinander orthogonal seien. Es seien

und

normale Endomorphismen und

die Summe davon. Zeige, dass auch normal ist.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt . Zeige, dass die Menge der normalen Endomorphismen von keinen Untervektorraum in bilden.


Aufgabe

Die lineare Abbildung werde bezüglich der Basis durch die Matrix beschrieben. Handelt es sich um einen normalen Endomorphismus?


Aufgabe

Die lineare Abbildung werde bezüglich der Basis durch die Matrix beschrieben. Handelt es sich um einen normalen Endomorphismus?


Aufgabe *

Entscheide, ob es für die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung eine Orthonormalbasis des aus Eigenvektoren gibt.


Aufgabe

Entscheide, ob es für die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung eine Orthonormalbasis des aus Eigenvektoren gibt.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei eine Basis von . Es sei

ein Endomorphismus und die zugehörige Sesquilinearform im Sinne von Lemma 41.12. Wie verhält sich die beschreibende Matrix von zur Gramschen Matrix zu ? Welche Beziehung besteht zur Gramschen Matrix der Form , die durch

definiert wird.


Aufgabe *

Es sei das charakteristische Polynom eines normalen Endomorphismus . Bestimme das charakteristische Polynom des adjungierten Endomorphismus .


Aufgabe *

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einem fixierten Skalarprodukt . Wir nennen eine Sesquilinearform auf orthogonalisierbar, wenn es eine Orthonormalbasis (bezüglich des Skalarproduktes) von mit

für alle gibt. Zeige, dass bei der Korrespondenz

die normalen Endomorphismen den orthogonalisierbaren Sesquilinearformen entsprechen.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine hermitesche Sesquilinearform auf . Zeige, dass eine Orthogonalbasis besitzt.


Aufgabe


Aufgabe

Der sei (neben dem Standardskalarprodukt) mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Man gebe eine Basis des an, die bezüglich des Skalarproduktes eine Orthonormalbasis und bezüglich der Minkowski-Form eine Orthogonalbasis ist.


Aufgabe

Der sei (neben dem Standardskalarprodukt) mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Bestimme sämtliche Basen des , die bezüglich des Skalarproduktes eine Orthonormalbasis und bezüglich der Minkowski-Form eine Orthogonalbasis sind.


Aufgabe

Bestimme den Typ der Matrix




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Die lineare Abbildung werde bezüglich der Basis durch die Matrix beschrieben. Handelt es sich um einen normalen Endomorphismus?


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei

ein normaler Endomorphismus. Zeige, dass auch normal ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob es für die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung eine Orthonormalbasis des aus Eigenvektoren gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

ein normaler Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen -Vektorraum . Zeige, dass genau dann selbstadjungiert ist, wenn alle Eigenwerte von reell sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Typ der Matrix



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