Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 43

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Multipliziere in die beiden Polynome


Aufgabe

Multipliziere in die beiden Polynome


Aufgabe *

Zeige, dass im Polynomring über einem Körper das Ideal kein Hauptideal ist.


Aufgabe

Skizziere im die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. ,
  8. ,
  9. ,
  10. .


In den folgenden Aufgaben ist Standardform im Sinne von Satz 43.9 zu verstehen. Es muss die neue Basis, die Variablentransformation (Koordinatentransformation) und das vereinfachte quadratische Polynom angegeben werden.

Aufgabe *

Bringe das reelle quadratische Polynom

auf eine Standardgestalt.


Aufgabe

Bringe das reelle quadratische Polynom

auf eine Standardgestalt.


In der folgenden Aufgabe geht es um zwei Definitionen für eine Ellipse.

Aufgabe *

Es seien zwei Punkte, und es sei

Zeige, dass die Nullstellenmenge einer quadratischen Gleichung in zwei Variablen ist. Wie sieht die Standardgestalt aus? Was sind die Hauptachsen?

Tipp: Führe die beschriebene Situation auf den Fall zurück, wo und .

Unter normierter Standardgestalt verstehen wir eine quadratische Form, bei der die nichtkonstanten Koeffizienten nur den Wert haben dürfen. Dies kann man durch Verzerrungen stets erreichen (wobei aber die Orthogonalität verloren geht).

Aufgabe

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik


Aufgabe

Quadriken-7.svg

Welche der rechts skizzierten Quadriken kann man (in welchem Sinne) mit weniger als drei Variablen beschreiben?


Aufgabe

Bestimme, welche Quadriken aus Beispiel 43.12 sich als Graph und welche sich als Rotationsfläche beschreiben lassen.


Aufgabe *

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik


Aufgabe

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik


Aufgabe

Es sei ein Minkowski-Raum der Dimension . Wir betrachten die Menge

Für welche ist wegzusammenhängend, für welche zerfällt es in verschiedene Komponenten?


Aufgabe

Es sei ein Minkowski-Raum der Dimension . Wir betrachten die Menge

Es sei der Beobachtervektor eines Beobachters und es sei seine Raumkomponente. Welche Gestalt besitzt ?


Cusp.png

Aufgabe

Das Bild der durch

definierten Kurve heißt Neilsche Parabel. Zeige, dass ein Punkt genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung erfüllt.


Aufgabe

Sei

Bestimme die Punkte , für die der Abstand der zugehörigen Kurvenpunkte zum Punkt minimal wird.


Aufgabe

Wir betrachten die Kurve

a) Zeige, dass die Bildpunkte der Kurve die Gleichung

erfüllen.

b) Zeige, dass jeder Punkt mit zum Bild der Kurve gehört.

c) Zeige, dass es genau zwei Punkte und mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.


Aufgabe

Es sei das Bild unter der polynomialen Abbildung

Bestimme ein Polynom in zwei Variablen derart, dass auf dem Nullstellengebilde zu liegt.


Aufgabe

Es sei der Graph der Standardparabel

und die Rotationsfläche zu um die -Achse.

  1. Zeige, dass durch keine Quadrik beschrieben wird.
  2. Zeige, dass die Nullstellenmenge eines Polynoms in drei Variablen ist.


Aufgabe

Es sei eine hermitesche Form mit der Gramschen Matrix (bezüglich einer Basis). Zeige, dass die Determinante von reell ist.


Aufgabe

Es sei eine hermitesche Form mit der Gramschen Matrix (bezüglich einer Basis). Zeige, dass das charakteristische Polynom von reelle Koeffizienten besitzt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Wie viele Monome vom Grad gibt es im Polynomring in einer, in zwei und in drei Variablen?


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung

für die Körper , , und .


Aufgabe (6 Punkte)

Bringe das reelle quadratische Polynom

auf eine Standardgestalt.


Aufgabe (10 (4+6) Punkte)

Wir betrachten den Kegel

und es sei eine affine Ebene. Der Durchschnitt heißt Kegelschnitt.

  1. Zeige, dass jeder Kegelschnitt

    in geeigneten Koordinaten des als Nullstellenmenge eines quadratischen Polynoms in beschrieben werden kann.

  2. Bestimme, welche der Quadriken aus Beispiel 43.8 sich als Kegelschnitte realisieren lassen.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik



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