Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 44/latex

\setcounter{section}{44}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise das folgende \stichwort {Untergruppenkriterium} {.} Eine nichtleere Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H }
{ \subseteq }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ ist genau dann eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{,} wenn gilt:
\mathdisp {\text{ für alle } g,h \in H \text{ ist } gh^{-1} \in H} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ \in }{ G }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} ein Element, und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ganze Zahlen. Zeige die folgenden Potenzgesetze. \aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g^0 }
{ = }{ e_G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g^{m+n} }
{ = }{ g^m g^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Untergruppen}{}{} von $\Z $ genau die Teilmengen der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z d }
{ =} { { \left\{ kd \mid k \in \Z \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl $d$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \\0 & 1 & 3 \end{pmatrix}} { }
über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} ${\mathbb F}_5$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die rationalen Zahlen
\mathl{(\mathbb Q, +, 0)}{} als \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Es sei
\mathl{G \subseteq \mathbb Q}{} eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass $G$ \definitionsverweis {zyklisch}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise Lemma 44.7.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \zusatzklammer {multiplikativ geschriebene} {} {} \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und sei
\mathl{n \in \N}{.} Zeige, dass das Potenzieren \maabbeledisp {} {G} {G } {x} {x^n } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {surjektiver}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass $H$ ebenfalls kommutativ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine additiv geschriebene \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Zeige, dass die Negation, also die Abbildung \maabbeledisp {} {G} {G } {x} {-x } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme, ob die durch die \definitionsverweis {Gaußklammer}{}{} gegebene Abbildung \maabbeledisp {} {\Q} {\Z } {q} { \lfloor q \rfloor } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

a) Für welche reellen Polynome
\mathl{P \in \R[X]}{} ist die zugehörige polynomiale Abbildung \maabbeledisp {} {(\R,0,+)} {(\R,0,+) } {x} { P(x) } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{?}

b) Für welche reellen Polynome
\mathl{Q\in \R[X]}{} ist allenfalls $0$ eine Nullstelle und die zugehörige polynomiale Abbildung \maabbeledisp {} { (\R^{\times}, 1, \cdot) } {(\R^{\times}, 1, \cdot) } {x} {Q(x) } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in K , \, ad -bc \neq 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Menge aller invertierbaren $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{.}

a) Zeige \zusatzklammer {ohne Bezug zur Determinante} {} {,} dass $M$ mit der \definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{} eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} bildet.

b) Zeige \zusatzklammer {ohne Bezug zur Determinante} {} {,} dass die Abbildung \maabbeledisp {} { M } { K^{\times} } { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} } { ad-bc } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {S_n} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( \R \right) } } {\pi} { M_\pi } {,} die einer \definitionsverweis {Permutation}{}{} $\pi$ auf
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{} ihre \definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{} $M_\pi$ zuordnet, ein \definitionsverweis {injektiver}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{h \in R}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {R} {R } {f} {hf } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist. Beschreibe das \definitionsverweis {Bild}{}{} und den \definitionsverweis {Kern}{}{} dieser Abbildung.

}
{} {}

Mit dem Konzept der Restklassenbildung werden die folgenden Aufgaben bald deutlich einfacher.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und betrachte auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(n) }
{ =} { \{0, 1 , \ldots , n-1 \} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a + b }
{ \defeq} { (a+b) \mod n }
{ =} { \begin{cases} a+b, \text{ falls } a+b <n \, ,\\ a+b-n, \text{ falls } a+b \geq n \, . \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Zeige, dass dadurch eine \definitionsverweis {assoziative}{}{} Verknüpfung auf dieser Menge definiert ist, und dass damit sogar eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} vorliegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{d \in \N_{\geq 2}}{.} Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(d) }
{ =} { \{0,1 , \ldots , d-1\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der in Aufgabe 44.15 beschriebenen Addition. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\psi} { \Z/(d)} { \Z } {r} { r } {,}
\betonung{kein}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ordnungen}{}{} sämtlicher Elemente in der \definitionsverweis {Gruppe}{}{}
\mathl{\Z/(100)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und
\mathl{h \in G}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {G} {G } {g} {hgh^{-1} } {,} eine \definitionsverweis {Gruppenautomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \R \right) } } { \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \R \right) } } { \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 8x-4y+14z-7w & -28x+16y-49z+28w \\ 2x-y+4z-2w & -7x+4y-14z+8w \end{pmatrix} } {.} Zeige, dass es sich dabei um einen \definitionsverweis {inneren Automorphismus}{}{} handelt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mathl{a,b,c,d}{} reelle Zahlen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ad-bc }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \R \right) } } { \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \R \right) } } { \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} ad x -acy +bd z -bcw & - ab x+ a^2 y- b^2 z+ab w \\ cdx-c^2y+d^2 z-cdw & -bc x+acy -bd z+ ad w \end{pmatrix} } {} ein \definitionsverweis {innerer Automorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {endliche Menge}{}{} und $T \subseteq M$ eine Teilmenge, und es seien \mathkor {} {\operatorname{Perm} \,( T)} {und} {\operatorname{Perm} \,( M)} {} die zugehörigen \definitionsverweis {Permutationsgruppen}{}{ (also die Menge aller bijektiven Abbildungen auf $M$, siehe Aufgabe 3.13).} Zeige, dass durch \maabbeledisp {\Psi} { \operatorname{Perm} \,( T) } { \operatorname{Perm} \,( M) } {\varphi} { \tilde{\varphi } } {,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\tilde{\varphi} (x) }
{ =} { \begin{cases} \varphi(x),\, \text{falls } x \in T, \\ x \text{ sonst}, \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {injektiver}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element und sei \maabbeledisp {\varphi} { G } { G } { h } { hg } {,} die Multiplikation mit $g$. Zeige, dass $\varphi$ bijektiv ist, und dass $\varphi$ genau dann ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ = }{ e_G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Gibt es \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} \maabbdisp {} {(\R,+,0)} {(\R,+,0) } {,} die nicht $\R$-linear sind?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3 (1+2)}
{

Es seien $G_1 , \ldots , G_n$ \definitionsverweis {Gruppen}{}{.}

a) Definiere eine Gruppenstruktur auf dem Produkt
\mathdisp {G_1 \times \cdots \times G_n} { . }

b) Es sei $H$ eine weitere Gruppe. Zeige, dass eine Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {H} {G_1 \times \cdots \times G_n } {x} { \varphi(x)= (\varphi_1(x) , \ldots , \varphi_n(x)) } {,} genau dann ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist, wenn alle Komponenten $\varphi_i$ Gruppenhomomorphismen sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ordnungen}{}{} sämtlicher Elemente in der \definitionsverweis {Gruppe}{}{}
\mathl{\Z/(12)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} von \mathkor {} {(\Q,+,0)} {nach} {(\Z,+,0)} {.}

}
{} {}

Die folgende Aufgabe knüpft an Aufgabe 3.8 an. Zu einer reellen Zahl $x$ bezeichnet
\mathl{\lfloor x \rfloor}{} die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich $x$ ist.


\inputaufgabe
{3}
{

Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ q \in \Q \mid 0 \leq q < 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der in Aufgabe 3.7 definierten Verknüpfung, die nach Aufgabe 3.8 eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} ist. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {\Q} {M } {q} { q - \lfloor q \rfloor } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme für jedes
\mathl{n \in \N}{} den \definitionsverweis {Kern}{}{} des Potenzierens \maabbeledisp {} {\R^\times} { \R^\times} {z} {z^n } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{1}
{

Zeige, dass es keinen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {(\R,0,+)} {G } {} in eine Gruppe $G$ mit der Eigenschaft gibt, dass
\mathl{r \in \R}{} genau dann \definitionsverweis {irrational}{}{} ist, wenn
\mathl{\varphi(r)=0}{} ist.

}
{} {}