Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Vorlesung 28/latex
\setcounter{section}{28}
\zwischenueberschrift{Ein Zerlegungssatz}
\inputfaktbeweis
{Endomorphismus/Trigonalisierbar/Kanonische additive Zerlegung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {trigonalisierbarer}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { \varphi_{\rm diag} + \varphi_{\rm nil}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{\varphi_{\rm diag}}{}
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
und
\mathl{\varphi_{\rm nil}}{}
\definitionsverweis {nilpotent}{}{}
ist, und zusätzlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi_{\rm diag} \circ \varphi_{\rm nil}
}
{ =} {\varphi_{\rm nil}\circ \varphi_{\rm diag}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Satz 26.14
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { H_1 \oplus \cdots \oplus H_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die $H_i$ die
\definitionsverweis {Haupträume}{}{}
zu den
\definitionsverweis {Eigenwerten}{}{}
$\lambda_i$ seien, und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} {\varphi_1 \oplus \cdots \oplus \varphi_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi_i
}
{ = }{ \varphi{{|}}_{H_i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {p_i} {V} {V
} {}
die Hintereinanderschaltung
\mathl{V \rightarrow H_i \rightarrow V}{,} d.h. $p_i$ ist insbesondere eine
\definitionsverweis {Projektion}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_{\rm diag}
}
{ \defeq} { \lambda_1 p_1 + \cdots + \lambda_m p_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Abbildung ist offenbar diagonalisierbar, auf $H_i$ ist es die Multiplikation mit $\lambda_i$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_{\rm nil}
}
{ \defeq} { \varphi- \varphi_{\rm diag}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Nilpotenz dieser Abbildung kann man auf den $H_i$ einzeln überprüfen, und dort ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \varphi- \varphi_{\rm diag} \right) } {{|}}_{H_i}
}
{ =} { \varphi_i-{ \left( \varphi_{\rm diag} \right) } {{|}}_{H_i}
}
{ =} { \varphi_i - \lambda_i
\operatorname{Id}_{ H_i }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also nilpotent. Ferner kommutieren
\mathkor {} {\varphi_j} {und} {p_i} {,}
da $p_i$ auf $H_i$ die Identität ist und auf
\mathbed {H_j} {}
{j \neq i} {}
{} {} {} {,}
die Nullabbildung. Damit kommutieren auch die direkten
\zusatzklammer {skalaren} {} {}
Summen davon und damit kommutieren
\mathkor {} {\varphi} {und} {\varphi_{\rm diag}} {,}
also auch
\mathkor {} {\varphi_{\rm diag}} {und} {\varphi - \varphi_{\rm diag} =\varphi_{\rm nil}} {.}
Unter den im Satz angegebenen Bedingungen ist diese Zerlegung sogar eindeutig.
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
heißt
\definitionswort {unipotent}{,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ V } + \psi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {nilpotenten Abbildung}{}{}
$\psi$ ist.
} Bei einer unipotenten Abbildung ist der diagonalisierbare Anteil im Sinne der oben beschriebenen kanonischen Zerlegung besonders einfach, es handelt sich um die Identität.
\zwischenueberschrift{Jordansche Normalform}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Unter einer
\definitionswort {Jordanmatrix}{}
\zusatzklammer {zum Eigenwert $\lambda$} {} {}
versteht man eine quadratische Matrix der Form\zusatzfussnote {Manche Autoren verstehen unter einer Jordanmatrix eine Matrix, in der die Einsen unterhalb der Diagonalen stehen} {.} {}
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots& \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & \lambda & 1 & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda & 1\\
0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & \lambda
\end{pmatrix}} { . }
}
Wenn man eine solche Jordanmatrix als lineare Abbildung $\varphi$ des Standard\-raumes $K^n$ in sich interpretiert, so ist
\mathdisp {\varphi(e_1)= \lambda e_1 \text{ und } \varphi(e_k)= \lambda e_k +e_{k-1} \text{ für alle } k \geq 2} { . }
Insbesondere ist $e_1$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$. Eine einfache Überlegung zeigt, dass es keine dazu linear unabhängigen Eigenvektoren geben kann
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 28.22} {} {.}
Die Eigenschaft rechts ist äquivalent zur Bedingung\zusatzfussnote {Im Kontext der trigonalisierbaren Abbildungen und zum Auffinden der jordanschen Normalform ist es sinnvoll, mit \mathlk{\varphi- \lambda \cdot
\operatorname{Id}}{} statt mit \mathlk{\lambda \cdot
\operatorname{Id} - \varphi}{} zu arbeiten} {.} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e_{k-1}
}
{ =} { ( \varphi - \lambda \cdot
\operatorname{Id} )(e_k)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Als Eigenvektor ist $e_1$ ein erzeugendes Element des Kerns der Abbildung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi
}
{ \defeq }{ \varphi - \lambda
\operatorname{Id}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und die anderen Standardvektoren $e_k$ ergeben sich sukzessive als Urbild von $e_{k-1}$ unter $\psi$.
\inputdefinition
{}
{
Eine quadratische Matrix der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} J_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & J_2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & J_{k-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & J_k \end{pmatrix}} { , }
wobei die $J_i$
\definitionsverweis {Jordanmatrizen}{}{}
sind, heißt Matrix in
\definitionswort {jordanscher Normalform}{.}
}
Die dabei auftretenden Jordanmatrizen heißen \stichwort {Jordanblöcke} {} der Matrix. Ihre Eigenwerte können verschieden oder gleich sein. In der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 4& 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}} { }
gibt es drei Jordanblöcke, nämlich
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}} { }
zu den Eigenwerten $2,4$ und nochmal $2$.
Wir kommen zum Satz über die jordansche Normalform für trigonalisierbare Endomorphismen.
\inputfaktbeweis
{Trigonalisierbarer Endomorphismus/Jordansche Normalform/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Zu jedem
\definitionsverweis {trigonalisierbaren Endomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
auf einem endlichdimensionalen
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$}
\faktfolgerung {gibt es eine
\definitionsverweis {Basis}{}{,}
bezü\-glich der die
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
\definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{}
besitzt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Da $\varphi$ trigonalisierbar ist, können wir
Satz 26.14
anwenden. Es gibt also eine direkte Summenzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { \operatorname{Haupt}_{ \lambda_1 } (\varphi) \oplus \cdots \oplus \operatorname{Haupt}_{ \lambda_m } (\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Haupträume
$\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{}
sind. Indem wir die Situation auf den einzelnen
\definitionsverweis {Haupträumen}{}{}
analysieren, können wir davon ausgehen, dass $\varphi$ nur einen Eigenwert $\lambda$ besitzt und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { \operatorname{Haupt}_{ \lambda } (\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Es ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi
}
{ =} {\varphi- \lambda
\operatorname{Id}_{ V }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {nilpotent}{}{.}
Daher gibt es nach
Korollar 27.12
eine Basis, bezüglich der $\psi$ die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & c_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & 0 & c_2 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots& \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & 0 & c_{n-2} & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 & c_{n-1}\\
0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & 0
\end{pmatrix}} { }
besitzt, wobei die $c_i$ gleich $0$ oder gleich $1$ sind. Bezüglich dieser Basis hat
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { \psi + \lambda
\operatorname{Id}_{ V }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda & c_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & \lambda & c_2 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots& \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & \lambda & c_{n-2} & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda & c_{n-1}\\
0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & \lambda
\end{pmatrix}} { . }
Jede obere Dreiecksmatrix ist also ähnlich zu einer Matrix in jordanscher Normalform. Über den komplexen Zahlen kann man jede Matrix auf jordansche Normalform bringen. Wenn eine Matrix in jordanscher Normalform vorliegt, so kann man direkt den diagonalisierbaren und den nilpotenten Anteil im Sinne von
Satz 28.1
ablesen: Die Diagonale liefert den diagonalisierbaren Anteil und die Einträge, die echt oberhalb der Diagonalen liegen, liefern den nilpotenten Anteil
\zusatzklammer {dies ist im Allgemeinen für obere Dreiecksmatrizen nicht richtig} {} {.}
\inputverfahren{}
{
Wir beschreiben, wie man zu einer linearen
\definitionsverweis {trigonalisierbaren Abbildung}{}{}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
findet, bezüglich der die
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
in
\definitionsverweis {jordanscher Normalform}{}{}
ist. Dazu bestimmt man zu jedem Eigenwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den minimalen Exponenten $s$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} { \left( \varphi- \lambda
\operatorname{Id} \right) }^s
}
{ =} { \operatorname{kern} { \left( \varphi- \lambda
\operatorname{Id} \right) }^{s+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dieser Kern ist der
\definitionsverweis {Hauptraum}{}{}
zu $\lambda$. Man setzt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_i
}
{ =} { \operatorname{kern} { \left( \varphi- \lambda
\operatorname{Id} \right) }^{i}
}
{ \subseteq} { \operatorname{Haupt}_{ \lambda } (\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1 , \ldots , s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies ergibt eine Kette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_1
}
{ =} { \operatorname{Eig}_{ } { \left( \lambda \right) }
}
{ \subseteq} { V_2
}
{ \subset \cdots \subset} { V_{s-1}
}
{ \subset} {V_s
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { \operatorname{Haupt}_{ \lambda } (\varphi)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Man wählt nun aus
\mathl{V_{s} \setminus V_{s-1}}{} einen Vektor $u$. Die Vektoren
\mathdisp {u, (\varphi- \lambda
\operatorname{Id})(u), (\varphi- \lambda
\operatorname{Id})^2(u) , \ldots , (\varphi- \lambda
\operatorname{Id})^{s-1}(u)} { }
bilden eine Basis für einen Jordan-Block. Wenn diese Basis schon den ganzen Hauptraum abdeckt, ist man fertig. Andernfalls sucht man in
\mathl{V_{s} \setminus V_{s-1}}{} einen weiteren, zu $u$ und $V_{s-1}$ linear unabhängigen Vektor und nimmt wieder sämtliche sukzessiven Bilder hinzu. Wenn
\mathl{V_s \setminus V_{s-1}}{} ausgeschöpft ist, schaut man, ob
\mathl{V_{s-1} \setminus V_{s-2}}{} bereits abgedeckt ist, u.s.w. Wenn der Hauptraum zu $\lambda$ ausgeschöpft ist, macht man mit dem nächsten Eigenwert weiter.
Unter gewissen Umständen kann man auch mit einer Basis des Eigenraumes anfangen. Wenn beispielsweise der Eigenraum zu $\lambda$ eindimensional ist, so kann man einen Eigenvektor $v$ zu $\lambda$ wählen und dazu sukzessive Urbilder unter
\mathl{\varphi - \lambda
\operatorname{Id}_{ V }}{} finden, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { { \left( \varphi - \lambda
\operatorname{Id}_{ V } \right) } (v')
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
lösen, dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v'
}
{ =} { { \left( \varphi - \lambda
\operatorname{Id}_{ V } \right) } (v^{\prime \prime} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
u.s.w.
Wenn beispielsweise der Eigenraum $k$-dimensional und der Hauptraum $(k+1)$-dimensional, so muss man nur für einen Eigenvektor ein Urbild unter
\mathl{\varphi - \lambda
\operatorname{Id}_{ V }}{} finden.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wollen sie auf
\definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{}
bringen. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ = }{e_1
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Eigenvektor zum Eigenwert $2$. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A
}
{ \defeq} { M- 2 E_3
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass es keinen weiteren linear unabhängigen Eigenvektor gibt. Wir interessieren uns für das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e_1
}
{ = }{ A v
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich sofort
\zusatzklammer {aus der zweiten Zeile} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_3
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2v_2
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {$v_1$ können wir frei als $0$ wählen} {} {.}
Also setzen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } \\ 0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Schließlich brauchen wir eine Lösung für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{Aw
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies führt auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 \\- { \frac{ 1 }{ 12 } }\\ { \frac{ 1 }{ 6 } } \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für die durch die Matrix $M$ beschriebene lineare Abbildung gilt somit
\mathdisp {Mu=2u,\, M v = 2v +u,\, Mw =2w + v} { , }
sodass die Abbildung bezüglich dieser Basis durch
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird. Diese Matrix ist eine
\definitionsverweis {Jordanmatrix}{}{}
und insbesondere in
\definitionsverweis {jordanscher Normalform}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wollen sie auf jordansche Normalform bringen. Es sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ = }{ e_1
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{ e_2
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert $2$. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ \defeq} { M- 2 E_3
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass
\mathkor {} {u} {und} {v} {}
den Eigenraum aufspannen. Ein Eigenvektor muss das Bild eines Vektors unter der Matrix $A$ sein. In der Tat besitzt das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e_2
}
{ =} {Aw
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 \\0\\ { \frac{ 1 }{ 3 } } \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für die durch die Matrix $M$ beschriebene lineare Abbildung gilt somit
\mathdisp {Mu=2u,\, M v = 2v,\, Mw =2w +v} { , }
sodass die Abbildung bezüglich dieser Basis durch
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird. Diese Matrix ist in jordanscher Normalform mit den Jordanblöcken
\mathkor {} {(2)} {und} {\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}} {.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wollen sie auf jordansche Normalform bringen. Hier gibt es zwei Eigenwerte und somit zwei zweidimensionale Haupträume, die getrennt behandelt werden können. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M -3 E_4
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & -4 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
somit gehört $\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0\\0 \end{pmatrix}$ zum Kern. Die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der Untermatrix rechts oben ist nicht $0$, daher ist der Rang der Matrix gleich $3$ und der Kern ist eindimensional. Die zweite Potenz ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & -4 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & -4 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & -4 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & -4 & 2 & 1 \\ 0 & 16 & -16 & -4 \\ 0 & 0 & 16 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
ein neues Kernelement ist
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0\\4 \end{pmatrix}}{.} Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Haupt}_{ 3 } (M)
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0\\4 \end{pmatrix} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & -4 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0\\4 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 17 \\0\\ 0\\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
können die Vektoren
\mathkor {} {\begin{pmatrix} 17 \\0\\ 0\\0 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0\\4 \end{pmatrix}} {}
zum Aufstellen des ersten Jordanblockes verwendet werden.
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M +1 E_4
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
somit gehört $\begin{pmatrix} 1 \\-4\\ 0\\0 \end{pmatrix}$ zum Kern. Der Rang der Matrix ist wieder gleich $3$ und der Kern ist eindimensional. Die zweite Potenz ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 16 & 4 & 2 & 33 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 16 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
ein neues Kernelement ist
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\1\\ -2\\0 \end{pmatrix}}{.} Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Haupt}_{ -1 } (M)
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 1 \\-4\\ 0\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ -2\\0 \end{pmatrix} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\1\\ -2\\0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\-4\\ 0\\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
können die Vektoren
\mathkor {} {\begin{pmatrix} 1 \\-4\\ 0\\0 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 0 \\1\\ -2\\0 \end{pmatrix}} {}
zum Aufstellen des zweiten Jordanblockes verwendet werden. Insgesamt besitzt also $M$ bezüglich der Basis
\mathdisp {\begin{pmatrix} 17 \\0\\ 0\\0 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0\\4 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 1 \\-4\\ 0\\0 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 0 \\1\\ -2\\0 \end{pmatrix}} { }
die
\definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}} { . }
}
\zwischenueberschrift{Endomorphismen endlicher Ordnung}
In Lemma 24.11 haben wir gesehen, dass \definitionsverweis {Permutationsmatrizen}{}{} über ${\mathbb C}$ diagonalisierbar sind. Dies gilt über ${\mathbb C}$ für alle Endomorphismen endlicher Ordnung.
\inputfaktbeweis
{Invertierbare Matrix/Endliche Ordnung/C/Diagonalisierbar/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Jede
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}}
\faktvoraussetzung {die endliche
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
besitzt,}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Matrix ist
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
und besitzt nach
Satz 28.5
eine
\definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{.}
Wir zeigen, dass die einzelnen
\definitionsverweis {Jordanblöcke}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots& \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & \lambda & 1 & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda & 1\\
0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & \lambda
\end{pmatrix}} { }
trivial sind. Wegen der endlichen Ordnung muss $\lambda$ eine
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{}
sein. Durch Multiplikation mit
\mathl{\lambda^{-1} E_n}{} können wir davon ausgehen, dass eine Matrix der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & a & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & 1 & a & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots& \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & 1 & a & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 & a\\
0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix}} { }
\zusatzklammer {mit \mathlk{a \neq 0}{}} {} {}
vorliegt. Wenn dies keine
\mathl{1\times 1}{-}Matrix ist, so gibt es zwei Vektoren
\mathl{u,v}{,} wobei $u$ ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
ist und $v$ auf
\mathl{v+au}{} abgebildet wird. Die $k$-te Iteration der Matrix schickt dann $v$ auf
\mathl{v+kau}{} und dies ist nicht $v$, im Widerspruch zur endlichen Ordnung.