Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Nach/Klausur

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Der Binomialkoeffizient $(\binom{n}{k})$ .
Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung $F : L \to M$ .
Der Betrag einer komplexen Zahl $z = a + b i$ .
Die Stetigkeit einer Abbildung
$φ : ℝ ⟶ ℝ$

in einem Punkt $a \in ℝ$ .
Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren $v_{1}, \dots, v_{n}$ in einem $K$ -Vektorraum $V$ .
Der Rang einer linearen Abbildung
$φ : V ⟶ W$

zwischen endlichdimensionalen $K$ -Vektorräumen $V$ und $W$ .
Die Eulersche Zahl.
Die Zahl $π$ (gefragt ist nach der analytischen Definition).

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Die Dimensionsformel für lineare Abbildungen.
Der Satz von Cayley-Hamilton.
Der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen.
Der Satz von Bolzano-Weierstraß.

Aufgabe * (4 Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen $a, b, c \in] 0, 1 [$ mit

a^{2} + b^{2} = c^{2} .

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen $a, b, c \in] 0, 1 [$ mit

a^{2} + b^{2} \neq c^{2} .

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen $a, b \in] 0, 1 [$ und eine rationale Zahl $c \in] 0, 1 [$ mit

a^{2} + b^{2} = c^{2} .

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise durch Induktion für alle $n \in ℕ_{+}$ die Formel

\sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k - 1} k^{2} = (- 1)^{n + 1} \frac{n (n + 1)}{2} .

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Kern der durch die Matrix

M = (\begin{matrix} 2 & 3 & 0 & - 1 \\ 4 & 2 & 2 & 5 \end{matrix})

gegebenen linearen Abbildung

φ : ℝ^{4} ⟶ ℝ^{2} .

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n^{n}}

für jedes $z \in ℂ$ absolut konvergiert.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung $3$ zur Funktion

f (x) = x \cdot \sin x

im Entwicklungspunkt $a = \frac{π}{2}$ .

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien $M_{1}, \dots, M_{k}$ und $N_{1}, \dots, N_{k}$ nichtleere Mengen und

φ_{i} : M_{i} ⟶ N_{i}

Abbildungen für $i = 1, \dots, k$ . Es sei $M = M_{1} \times \dots \times M_{k}$ , $N = N_{1} \times \dots \times N_{k}$ , und $φ$ die Produktabbildung, also

φ : M ⟶ N, (x_{1}, \dots, x_{k}) ⟼ (φ_{1} (x_{1}), \dots, φ_{k} (x_{k})) .

a) Zeige, dass $φ$ genau dann surjektiv ist, wenn alle $φ_{i}$ surjektiv sind.

b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.

Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung

φ : ℂ^{3} ⟶ ℂ^{3},

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

A = (\begin{matrix} 2 & 1 & - 2 + i \\ 0 & i & 1 + i \\ 0 & 0 & - 1 + 2 i \end{matrix})

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von $A$ .

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für $φ$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.

Aufgabe * (11 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien endlichdimensionale $K$ -Vektorräume und sei

φ : V ⟶ W

eine lineare Abbildung.

a) Zeige: $φ$ ist genau dann surjektiv, wenn es eine lineare Abbildung

ψ : W ⟶ V

mit

φ \circ ψ = {Id}_{W}

gibt.

b) Es sei nun $φ$ surjektiv, es sei

S = {ψ : W \to V ∣ ψ linear, φ \circ ψ = {Id}_{W}}

und es sei $ψ_{0} \in S$ fixiert. Definiere eine Bijektion zwischen ${Hom}_{K} (W, kern φ)$ und $S$ , unter der $0$ auf $ψ_{0}$ abgebildet wird.

Aufgabe * (9 Punkte)

Es sei $T \subseteq ℝ^{n}$ eine nichtleere Teilmenge, $n \geq 1$ .

a) $T$ sei nicht beschränkt. Zeige, dass es eine stetige Funktion

f : T ⟶ ℝ

gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.

b) $T$ sei nicht abgeschlossen. Zeige, dass es eine stetige Funktion

f : T ⟶ ℝ

gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

f : ℝ ∖ {0} ⟶ ℝ, x ⟼ f (x) = e^{- \frac{1}{x}} .

a) Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion.

b) Zeige, dass diese Funktion injektiv ist.

c) Bestimme das Bild von $f$ .

d) Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an.

e) Skizziere den Funktionsgraphen von $f$ .

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