Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesung 1

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Mengen
Georg Cantor (1845-1918) ist der Schöpfer der Mengentheorie.
David Hilbert (1862-1943) nannte sie ein Paradies, aus dem die Mathematiker nie mehr vertrieben werden dürfen.


Eine Menge ist eine Ansammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die die Elemente der Menge heißen. Mit „wohlunterschieden“ meint man, dass es klar ist, welche Objekte als gleich und welche als verschieden angesehen werden. Die Zugehörigkeit eines Elementes zu einer Menge wird durch

ausgedrückt, die Nichtzugehörigkeit durch

Für jedes Element(symbol) gilt stets genau eine dieser zwei Möglichkeiten.

Für Mengen gilt das Extensionalitätsprinzip, d.h. eine Menge ist durch die in ihr enthaltenen Elemente eindeutig bestimmt, darüber hinaus bietet sie keine Information. Insbesondere stimmen zwei Mengen überein, wenn beide die gleichen Elemente enthalten.

Die Menge, die kein Element besitzt, heißt leere Menge und wird mit

bezeichnet.

Eine Menge heißt Teilmenge einer Menge , wenn jedes Element aus auch zu gehört. Man schreibt dafür

(manche schreiben dafür ). Man sagt dafür auch, dass eine Inklusion vorliegt. Im Nachweis, dass ist, muss man zeigen, dass für ein beliebiges Element ebenfalls die Beziehung gilt.[1] Dabei darf man lediglich die Eigenschaft verwenden.

Aufgrund des Extensionalitätsprinzips hat man das folgende wichtige Gleichheitsprinzip für Mengen, dass

gilt. In der mathematischen Praxis bedeutet dies, dass man die Gleichheit von zwei Mengen dadurch nachweist, dass man (in zwei voneinander unabhängigen Teilargumentationen) die beiden Inklusionen zeigt. Dies hat auch den kognitiven Vorteil, dass das Denken eine Zielrichtung bekommt, dass klar die Voraussetzung, die man verwenden darf, von der gewünschten Schlussfolgerung, die man aufzeigen muss, getrennt wird. Hier spiegelt sich das aussagenlogische Prinzip wieder, dass die Äquivalenz von zwei Aussagen die wechselseitige Implikation bedeutet, und durch den Beweis der beiden einzelnen Implikationen bewiesen wird.



Beschreibungsmöglichkeiten für Mengen

Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Menge anzugeben. Die einfachste ist, die zu der Menge gehörenden Elemente aufzulisten, wobei es auf die Reihenfolge der Elemente nicht ankommt.

Neben endlichen Auflistungen gibt es auch noch solche Auflistungen, bei denen nach einer endlichen Auflistung eine unendliche Weiterführung durch Punkte () angedeutet wird. Damit ist gemeint, dass die ersten Elemente der Auflistung einen Bildungsprozess erkennen lassen, mit dem man alle weiteren Elemente bestimmen kann. Beispiele sind

und ähnliche. Dies ist grundsätzlich problematisch, da es für jede endliche Liste von Zahlen ein Polynom
vom Grad gibt mit

Es gibt also stets ein mehr oder weniger einfaches polynomiales Bildungsgesetz, das aber oben nur im linken Beispiel die vermutlich gemeinte Vorschrift ist.

Die wichtigste Menge, die man zumeist als eine fortgesetzte Auflistung einführt, ist die Menge der natürlichen Zahlen

Hier wird eine bestimmte Zahlenmenge durch die Anfangsglieder von erlaubten Zifferfolgen angedeutet. Wir werden diese Menge erstmal so akzeptieren und später noch eine Axiomatik dafür angeben.[2] Wichtig ist aber, dass mit nicht eine Menge von bestimmten Ziffern gemeint ist, sondern die durch die Ziffern repräsentierten Zahlwerte. Eine natürliche Zahl hat viele Darstellungsarten, die Ziffernrepräsentation im Zehnersystem ist nur eine davon, wenn auch eine besonders übersichtliche.

Mengenbeschreibung durch Eigenschaften

Es sei eine Menge gegeben. In ihr gibt es gewisse Elemente, die gewisse Eigenschaften (Prädikate) erfüllen können oder aber nicht. Zu einer Eigenschaft gehört innerhalb von die Teilmenge bestehend aus allen Elementen aus , die diese Eigenschaft erfüllen. Man beschreibt eine durch eine Eigenschaft definierte Teilmenge meist als

Dies geht natürlich nur mit solchen Eigenschaften, für die die Aussage eine wohldefinierte Bedeutung hat. Wenn man eine solche Teilmenge einführt, so gibt man ihr häufig sofort einen Namen (in dem auf die Eigenschaft Bezug genommen werden kann, aber nicht muss). Z.B. kann man einführen

Für die Mengen in der Mathematik sind meist eine Vielzahl an mathematischen Eigenschaften relevant und daher gibt es meist auch eine Vielzahl an relevanten Teilmengen. Aber auch bei alltäglichen Mengen, wie etwa die Menge der Studierenden in einem Kurs, gibt es viele wichtige Eigenschaften, die gewisse Teilmengen festlegen, wie etwa

Die Menge ist dabei selbst durch eine Eigenschaft festgelegt, es ist ja



Mengenoperationen

So, wie man Aussagen zu neuen Aussagen verknüpfen kann, gibt es Operationen, mit denen aus Mengen neue Mengen entstehen.


    • Vereinigung
    • Durchschnitt
    • Differenzmenge

Diese Operationen ergeben nur dann einen Sinn, wenn die beteiligten Mengen als Teilmengen in einer gemeinsamen Grundmenge gegeben sind. Dies sichert, dass man über die gleichen Elemente spricht. Häufig wird diese Grundmenge nicht explizit angegeben, dann muss man sie aus dem Kontext erschließen. Ein Spezialfall der Differenzmenge bei einer gegebenen Grundmenge ist das Komplement einer Teilmenge , das durch

definiert ist. Wenn zwei Mengen einen leeren Schnitt haben, also gilt, so nennen wir sie disjunkt.



Konstruktion von Mengen

Die meisten Mengen in der Mathematik ergeben sich ausgehend von einigen wenigen Mengen wie beispielsweise den endlichen Mengen und durch bestimmte Konstruktionen von neuen Mengen aus schon bekannten oder schon zuvor konstruierten Mengen.[3] Wir definieren:[4]


Definition  

Es seien zwei Mengen und gegeben. Dann nennt man die Menge

die Produktmenge[5] der beiden Mengen.

Die Elemente der Produktmenge nennt man Paare und schreibt . Dabei kommt es wesentlich auf die Reihenfolge an. Die Produktmenge besteht also aus allen Paarkombinationen, wo in der ersten Komponente ein Element der ersten Menge und in der zweiten Komponente ein Element der zweiten Menge steht. Zwei Paare sind genau dann gleich, wenn sie in beiden Komponenten gleich sind.

Bei einer Produktmenge können natürlich auch beide Mengen gleich sein, beispielsweise ist die reelle Ebene. In diesem Fall ist es verlockend, die Reihenfolge zu verwechseln, und also besonders wichtig, darauf zu achten, dies nicht zu tun. Wenn es in der ersten Menge Elemente und in der zweiten Menge Elemente gibt, so gibt es in der Produktmenge Elemente. Wenn eine der beiden Mengen leer ist, so ist auch die Produktmenge leer. Man kann auch für mehr als nur zwei Mengen die Produktmenge bilden, worauf wir bald zurückkommen werden.


Beispiel  

Es sei die Menge aller Vornamen (sagen wir der Vornamen, die in einer bestimmten Grundmenge an Personen wirklich vorkommen) und die Menge aller Nachnamen. Dann ist

die Menge aller Namen. Elemente davon sind in Paarschreibweise beispielsweise , und . Aus einem Namen lässt sich einfach der Vorname und der Nachname herauslesen, indem man entweder auf die erste oder auf die zweite Komponente des Namens schaut. Auch wenn alle Vornamen und Nachnamen für sich genommen vorkommen, so muss natürlich nicht jeder daraus gebastelte mögliche Name wirklich vorkommen. Bei der Produktmenge werden eben alle Kombinationsmöglichkeiten aus den beiden beteiligten Mengen genommen.



Beispiel  

Chess board blank.svg

Ein Schachbrett (genauer: die Menge der Felder auf einem Schachbrett, auf denen eine Figur stehen kann) ist die Produktmenge . Jedes Feld ist ein Paar, beispielsweise . Da die beteiligten Mengen verschieden sind, kann man statt der Paarschreibweise einfach schreiben. Diese Notation ist der Ausgangspunkt für die Beschreibung von Stellungen und von ganzen Partien.


Wenn zwei geometrische Punktmengen und gegeben sind, beispielsweise als Teilmengen einer Ebene , so kann man die Produktmenge als Teilmenge von auffassen. Dadurch entsteht ein neues geometrisches Gebilde, das man manchmal auch in einer kleineren Dimension realisieren kann.

Ein Zylindermantel ist die Produktmenge aus einem Kreis und einer Strecke.

Beispiel  

Es sei ein Kreis, worunter wir die Kreislinie verstehen, und eine Strecke. Der Kreis ist eine Teilmenge einer Ebene und die Strecke ist eine Teilmenge einer Geraden , so dass für die Produktmenge die Beziehung

gilt. Die Produktmenge stellt man sich als einen dreidimensionalen Raum vor, und darin ist die Produktmenge ein Zylindermantel.


Eine andere wichtige Konstruktion, um aus einer Menge eine neue Menge zu erhalten, ist die Potenzmenge.


Definition  

Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von die Potenzmenge von . Sie wird mit

bezeichnet.

Es ist also

Wenn die Menge der Kursteilnehmer ist, so kann man sich jede Teilmenge als eine kursinterne Party vorstellen, zu der eine gewisse Auswahl an Leuten hingeht (es werden also die Parties mit den anwesenden Leuten identifiziert). Die Potenzmenge ist dann die Menge aller möglichen Parties. Wenn eine Menge Elemente besitzt, so besitzt ihre Potenzmenge Elemente.



Abbildungen

Definition  

Seien und Mengen. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird. Das zu eindeutig bestimmte Element wird mit bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

aus.

Bei einer Abbildung heißt die Definitionsmenge (oder Definitionsbereich) der Abbildung und die Wertemenge (oder Wertevorrat oder Zielbereich) der Abbildung. Zu einem Element heißt das Element

der Wert von an der Stelle . Statt Stelle sagt man auch häufig Argument.

Zwei Abbildungen und sind gleich, wenn die Definitionsmengen und die Wertemengen übereinstimmen und wenn für alle die Gleichheit in gilt. Die Gleichheit von Abbildungen wird also zurückgeführt auf die Gleichheit von Elementen in einer Menge. Abbildungen werden häufig auch Funktionen genannt. Wir werden den Begriff Funktion für solche Abbildungen reservieren, deren Wertemenge ein Zahlbereich wie die reellen Zahlen ist.

Zu jeder Menge nennt man die Abbildung

also die Abbildung, die jedes Element auf sich selbst schickt, die Identität (auf ). Sie wird mit bezeichnet. Zu einer weiteren Menge und einem fixierten Element nennt man die Abbildung

die also jedem Element den konstanten Wert zuordnet, die konstante Abbildung (mit dem Wert ). Sie wird häufig wieder mit bezeichnet.[6]

Für eine Abbildung gibt es mehrere Darstellungsmöglichkeiten, z.B. Wertetabelle, Balkendiagramm, Kuchendiagramm, Pfeildiagramm, den Graph der Abbildung. Dabei sind die Übergänge zwischen der formalen Definition einer Abbildung und den visuellen Realisierungen fließend. In der Mathematik wird eine Abbildung zumeist durch eine Abbildungsvorschrift beschrieben, die es erlaubt, die Werte der Abbildung zu berechnen.

Zu zwei Mengen und bezeichnet man die Menge der Abbildungen von nach mit


Definition  

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Zu einer Teilmenge heißt

das Bild von unter . Für heißt

das Bild der Abbildung.


Definition  

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Zu einer Teilmenge heißt

das Urbild von unter . Für eine einelementige Teilmenge heißt

das Urbild von .



Injektive und surjektive Abbildungen

Definition  

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann heißt

    • injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch
    und verschieden sind.
    • surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit

    gibt.

    • bijektiv, wenn sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Diese Begriffe sind fundamental! Die Frage, ob eine Abbildung diese Eigenschaften besitzt, kann man anhand der Gleichung

(in den beiden Variablen und ) erläutern. Die Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem mindestens eine Lösung für diese Gleichung gibt, die Injektivität bedeutet, dass es zu jedem maximal eine Lösung für diese Gleichung gibt, und die Bijektivität bedeutet, dass es zu jedem genau eine Lösung für diese Gleichung gibt. Die Surjektivität entspricht also der Existenz von Lösungen, die Injektivität der Eindeutigkeit von Lösungen. Beide Fragestellungen durchziehen die Mathematik und können selbst wiederum häufig als die Surjektivität oder die Injektivität einer geeigneten Abbildung interpretiert werden.

Beim Nachweis der Injektivität einer Abbildung geht man häufig so vor, dass man zu zwei gegebenen Elementen und aus der Voraussetzung erschließt, dass ist. Dies ist oft einfacher zu zeigen, als aus auf zu schließen.


Definition  

Es sei eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung

die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, die Umkehrabbildung zu .



Hintereinanderschaltung von Abbildungen

Definition  

Es seien und Mengen und

und

Abbildungen. Dann heißt die Abbildung

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .

Es gilt also

wobei die linke Seite durch die rechte Seite definiert wird. Wenn die beiden Abbildungen durch funktionale Ausdrücke gegeben sind, so wird die Hintereinanderschaltung dadurch realisiert, dass man den ersten Ausdruck anstelle der Variablen in den zweiten Ausdruck einsetzt (und nach Möglichkeit vereinfacht).

Zu einer bijektiven Abbildung ist die Umkehrabbildung durch die beiden Bedingungen

und

charakterisiert.


Beispiel  

Es sei eine Menge von Personen, die ein Café besucht, eine Menge von Getränken, die auf der Getränkekarte des Cafés aufgelistet sind, und die Arbeitskräfte im Café, die für die Zubereitung verschiedener Getränke zuständig sind. Es wird eine Bestellung aufgegeben, wobei jede Person genau ein Getränk bestellt, d.h. man hat eine (Bestell-)Abbildung

Die

Injektivität der Abbildung bedeutet, dass alle Personen ein verschiedenes Getränk bestellen (was sein kann oder nicht sein kann, das ist eben eine Eigenschaft der Bestellung=Abbildung) und die Surjektivität bedeutet, dass jedes Getränk der Karte mindestens einmal bestellt wird. Das Bild der Abbildung ist die Menge aller Getränke, die von der Personengruppe bestellt wird (mindestens ein Mal). Dies ist eine Teilmenge der Getränkemenge. Zu einer Teilmenge der Personen, also beispielsweise alle Frauen oder alle Männer oder alle mit großem Durst gehört die Bildmenge , die aus allen Getränken besteht, die diese Teilmenge bestellt.

Zu einer Teilmenge der Getränkemenge ist das Urbild die Menge aller Personen, deren bestelltes Getränk zu gehört. Wenn die alkoholischen Getränke sind und die Heißgetränke, so ist die Teilmenge der Personen, die was Alkoholisches bestellt hat und sind die Heißgetränkeliebhaber.

Im Café ist für jede Getränkeart genau ein Zubereiter zuständig. Alle Kaffee-ähnlichen Getränke werden von Bertha zubereitet, alle Cocktails von Heinz geschüttelt, für's Bier ist Claudia zuständig, etc. Dies kann man als eine Zuständigkeitsabbildung

auffassen. Auf dem Dienstplan wird wahrscheinlich diese Abbildung dadurch beschrieben, dass zu jedem Zubereiter das Urbild angegeben wird, also die Teilmenge der Getränke, für die zuständig ist. Die Zuständigkeitsabbildung ist vermutlich surjektiv, da jeder Zubereiter für mindestens ein Getränk zuständig sein sollte (wenn man mit der Gesamtpersonalmenge arbeitet, sieht das anders aus). Injektiv ist sie vermutlich nicht, denn das würde bedeuten, dass jeder Zubereiter nur für ein Getränk zuständig ist. Zu einer Teilmenge der Getränkemenge ist das Bild diejenige Teilmenge der Zubereiter, die genau alle Zubereiter dieser Getränketeilmenge umfasst. Zu ist die Teilmenge aller Getränke, deren zuständiger Zubereiter zu gehört.

Alle Personen waren nun hoch zufrieden mit ihren Getränken und wollen über die Bedienung einen Dankesgruß an die jeweiligen Zubereiter ihrer Getränke weiterreichen. Besucher Hans war mit seinem Bier sehr zufrieden, das von Claudia ausgeschenkt wurde, deshalb möchte Hans die Claudia grüßen. Die Hintereinanderschaltung aus der Bestellungsabbildung und der Zubereitungsabbildung ergibt dann die Grußabbildung

Es gelten vielfache Beziehungen zwischen den Einzelabbildungen und der Gesamtabbildung. Beispielsweise gilt

d.h., die Menge der Personen, die Heinz grüßen, ist gleich der Menge der Personen, die einen Cocktail bestellt haben. Wenn die Bestellung nicht injektiv ist, so kann auch die Grußabbildung nicht injektiv sein, die Umkehrung muss aber nicht gelten.



Lemma  

Es seien und Mengen und es seien

und

Abbildungen.

Dann ist

Beweis  

Zwei Abbildungen sind genau dann gleich, wenn für jedes die Gleichheit gilt. Sei also . Dann ist



Fußnoten
  1. In der Sprache der Quantorenlogik kann man eine Inklusion verstehen als die Aussage .
  2. Und zwar werden wir später die natürlichen Zahlen mittels der Peano-Axiome axiomatisieren, bis dahin verwenden wir sie aber schon manchmal, vor allem in Beispielen, ebenso wie die Menge der ganzen Zahlen , die Menge der rationalen Zahlen und die Menge der reellen Zahlen .
  3. Darunter fallen auch der Schnitt und die Vereinigung, doch bleiben diese innerhalb einer vorgegebenen Grundmenge, während es hier um Konstruktionen geht, die darüber hinaus gehen.
  4. Definitionen werden in der Mathematik zumeist als solche deutlich herausgestellt und bekommen eine Nummer, damit man auf sie einfach Bezug nehmen kann. Es wird eine Situation beschrieben, bei der die verwendeten Begriffe schon zuvor definiert worden sein mussten, und in dieser Situation wird einem neuen Konzept ein Name (eine Bezeichnung) gegeben. Dieser Name wird kursiv gesetzt. Man beachte, dass das Konzept auch ohne den neuen Namen formulierbar ist, der neue Name ist nur eine Abkürzung für das Konzept. Sehr häufig hängen die Begriffe von Eingaben ab, wie den beiden Mengen in dieser Definition. Bei der Namensgebung herrscht eine gewisse Willkür, so dass die Bedeutung der Bezeichnung im mathematischen Kontext sich allein aus der expliziten Definition, aber nicht aus der alltäglichen Wortbedeutung erschließen lässt.
  5. Man spricht auch vom kartesischen Produkt der beiden Mengen.
  6. Von Hilbert stammt die etwas überraschende Aussage, die Kunst der Bezeichnung in der Mathematik besteht darin, unterschiedliche Sachen mit denselben Symbolen zu bezeichnen.



Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)