Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 35

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {e^{2t}+e^{t}+1}{e^{2t}-1}}.$

Aufgabe *

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{\sinh t}}$

für ${}t>0$.

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {\ln 2x}{x\ln 4x}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{\sin ^{3}x}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {2-\cos {x}}{2+\cos {x}}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\cos {(2x)}\sin ^{2}{(x)}.$

Aufgabe

Zeige, dass die in Lemma 35.4 verwendeten Substitutionen ${}x=\cos t={\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}$ und ${}y=\sin t={\frac {2s}{1+s^{2}}}$ die Kreisgleichung ${}x^{2}+y^{2}=1$ erfüllen.

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\sqrt {3x^{2}+4x-2}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{\sqrt {x^{2}-2x+2}}}.$

Aufgabe

Erstelle ein Abbildungsdiagramm, das aufzeigt, wie sich eine rationale Funktion in den trigonometrischen Funktionen als eine zusammengesetze Funktion ergibt.

Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei rationalen Funktionen wieder rational ist.

Aufgabe

Berechne die Hintereinanderschaltungen ${}f\circ g$ und ${}g\circ f$ der beiden rationalen Funktionen

$f(x)={\frac {2x^{2}-4x+3}{x-2}}\,\,{\text{ und }}\,\,g(x)={\frac {x+1}{x^{2}-4}}.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {e^{2t}+e^{3t}}{e^{4t}-1}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{\cosh x+\sinh ^{2}x}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{9a^{x}+4a^{-x}}}$

mit ${}a>1$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{\sin {(3x)}\cos {(x)}}}.$

Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{x{\sqrt {-x^{2}+5x-6}}}}.$

Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {({\sqrt {x^{2}+x+1}})^{2}+4x^{3}{\sqrt {x^{2}+x+1}}-3x}{x^{2}{\sqrt {x^{2}+x+1}}}}.$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine differenzierbare Funktion mit ${}f'(x)>0$ für alle ${}x>0$. Für welche Punkte ${}t\in [0,1]$ besitzt der Flächeninhalt der schraffierten Fläche ein lokales Extremum? Handelt es sich dabei um ein Minimum oder um ein Maximum?