Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesung 50/latex

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\setcounter{section}{50}






\zwischenueberschrift{Diffeomorphismen}

Der Satz über die lokale Umkehrbarkeit gibt Anlass zu folgender Definition.


\inputdefinition
{}
{

Es seien \mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{} und \mathkor {} {U_1 \subseteq V_1} {und} {U_2 \subseteq V_2} {} \definitionsverweis {offene}{}{} Teilmengen. Eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {U_1} {U_2 } {} heißt \definitionswortpraemath {C^k}{ Diffeomorphismus }{,} wenn $\varphi$ \definitionsverweis {bijektiv}{}{} und $k$-mal \definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{} ist, und wenn die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi^{-1}} {U_2} {U_1 } {} ebenfalls $k$-mal stetig differenzierbar ist.

}

Der Satz über die lokale Umkehrbarkeit besagt also, dass eine stetig differenzierbare Abbildung mit invertierbarem totalen Differential lokal \zusatzklammer {!} {} {} ein $C^1$-Diffeomorphismus ist \zusatzklammer {es gibt auch $C^k$-Versionen von diesem Satz} {} {.} Zwei offene Mengen \mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {} heißen $C^k$-\stichwort {diffeomorph} {,} wenn es einen $C^k$-Diffeomorphismus zwischen ihnen gibt.


\inputdefinition
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {W } {} eine in $P$ \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Dann heißt $P$ ein \definitionswort {regulärer Punkt}{} von $\varphi$, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, \left(D\varphi\right)_{P} }
{ =} { {\min { \left( \dim_{ } { \left( V \right) } , \dim_{ } { \left( W \right) } \right) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. Andernfalls heißt $P$ ein \definitionswort {kritischer Punkt}{} oder ein \definitionswort {singulärer Punkt}{.}

}






\inputbemerkung
{}
{

Eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {G} {W } {} ist genau dann \definitionsverweis {regulär}{}{} in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wenn das \definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} den maximal möglichen \definitionsverweis {Rang}{}{} besitzt. Der Rang ist nach Korollar 14.2 und nach Lemma 14.3 gleich dem \definitionsverweis {Spalten}{}{-} bzw. \definitionsverweis {Zeilenrang}{}{} einer beschreibenden Matrix. Daher ist der Rang maximal gleich der Anzahl der Zeilen und maximal gleich der Anzahl der Spalten, also maximal gleich dem Minimum der beiden Dimensionen.

Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( W \right) } }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist $P$ ein \definitionsverweis {regulärer Punkt}{}{} genau dann, wenn
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} nicht die Nullabbildung ist. Daher stimmt diese Definition von regulär mit Definition 46.5 überein. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( V \right) } }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bedeutet die Regularität wiederum, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left(D\varphi\right)_{P} }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Generell bedeutet bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( V \right) } }
{ \leq }{ \dim_{ } { \left( W \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Regularität, dass
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist, und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( V \right) } }
{ \geq }{ \dim_{ } { \left( W \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bedeutet die Regularität, dass
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist. Insbesondere bedeutet bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( V \right) } }
{ = }{ \dim_{ } { \left( W \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Regularität in $P$, dass das totale Differential \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist und dass daher die Voraussetzung im Satz über die lokale Umkehrbarkeit erfüllt ist.

}




\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x^2-y,x+xy) } {.} Diese Abbildung ist \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} und die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(x,y) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2x & -1 \\ 1+y & x \end{pmatrix}} { . }
Die \definitionsverweis {Determinante}{}{} davon ist
\mathdisp {2x^2+1+y} { , }
so dass die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ \neq} {-2x^2-1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {regulären Punkte}{}{} der Abbildung charakterisiert. Im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} liegt beispielsweise ein regulärer Punkt vor, so dass dort aufgrund des Satzes über die lokale Umkehrbarkeit lokal eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} vorliegt, d.h. es gibt \definitionsverweis {offene Umgebungen}{}{} \mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {} von
\mathl{(0,0)}{} derart, dass die \definitionsverweis {eingeschränkte Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi {{|}}_{U_1}} {U_1} {U_2 } {} bijektiv ist \zusatzklammer {mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung} {} {.}

Wie groß kann dabei $U_1$ gewählt werden? Wir beschränken uns auf \definitionsverweis {offene Ballumgebungen}{}{}
\mathl{U { \left( (0,0),r \right) }}{.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} enthält eine solche Kreisscheibe zwei Punkte der Form
\mathdisp {( \pm x,-1)} { . }
Diese werden unter $\varphi$ auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi( \pm x, -1) }
{ =} { \left( x^2-(-1) , \, x+x(-1) \right) }
{ =} { \left( x^2+1 , \, 0 \right) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} abgebildet, also auf den gleichen Punkt. Daher ist die Einschränkung der Abbildung auf eine solche Kreisscheibe nicht \definitionsverweis {injektiv}{}{,} und auf einer solchen Menge kann es keine Umkehrabbildung geben.

Betrachten wir hingegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_1 }
{ =} { U { \left( (0,0),1 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_2 }
{ \defeq} { \varphi(U_1) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Da $U_1$ keine \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} enthält, ist nach Aufgabe 50.9 das \definitionsverweis {Bild}{}{} $U_2$ \definitionsverweis {offen}{}{.} Die eingeschränkte Abbildung \maabb {\varphi {{|}}_{U_1}} {U_1} {U_2 } {} ist nach Definition von $U_2$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{,} so dass nur die \definitionsverweis {Injektivität}{}{} zu untersuchen ist.

Das Gleichungssystem
\mathdisp {x^2-y = u \text{ und } x+xy = v} { }
führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { x^2 - u }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x (1+x^2 -u) }
{ =} { x^3 + (1-u)x }
{ =} { v }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Seien \mathkor {} {(x,y)} {und} {(\tilde{x},\tilde{y})} {} aus
\mathl{U { \left( (0,0) ,1 \right) }}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(x,y) }
{ =} { \varphi( \tilde{x} , \tilde{y}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^3+(1-u)x }
{ =} { v }
{ =} { \tilde{x}^3 + (1-u) \tilde{x} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} { x^3 - \tilde{x}^3 + (1-u) (x- \tilde{x} ) }
{ =} { (x- \tilde{x} ) { \left(x^2+x \tilde{x} + \tilde{x}^2 + 1-u \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{ \tilde{x} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ = }{ \tilde{y} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \neq }{ \tilde{x} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+x \tilde{x} + \tilde{x}^2 + 1-u }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} sein. Dies bedeutet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ = }{ x^2-u }
{ = }{ - x \tilde{x} - \tilde{x}^2 -1 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und ebenso
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{y} }
{ = }{ -x \tilde{x} -x^2 -1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x(y+1) }
{ =} {v }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y+1 }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} müssen \mathkor {} {x} {und} {v} {} das gleiche Vorzeichen besitzen. Daher müssen auch \mathkor {} {x} {und} {\tilde{x}} {} das gleiche Vorzeichen besitzen. Daraus folgt aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { - x \tilde{x} - \tilde{x}^2 -1 }
{ \leq} {-1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} so dass es in der offenen Kreisumgebung mit Radius $1$ keine zwei verschiedenen Urbilder geben kann. Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_1 }
{ = }{ U { \left( (0,0),1 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} liegt also eine Bijektion \maabb {} {U_1} {U_2 } {} vor.


}

Wir haben schon für die komplexen Zahlen Polarkoordinaten verwendet, siehe Satz 29.12. Hier besprechen wir Polarkoordinaten in Hinblick auf lokale Umkehrbarkeit.




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Passaggio_in_coordinate_polari.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Passaggio in coordinate polari.svg } {} {Cronholm144} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}




\inputbeispiel{}
{

Die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {(r, \alpha)} { (r \cos \alpha , r \sin \alpha ) } {,} heißt \stichwort {Polarkoordinatenauswertung} {.} Sie ordnet einem Radius $r$ und einem Winkel $\alpha$ \zusatzklammer {wegen diesen Bedeutungen schränkt man den Definitionsbereich häufig ein} {} {} denjenigen Punkt der Ebene \zusatzklammer {in kartesischen Koordinaten} {} {} zu, zu dem man gelangt, wenn man in Richtung des Winkels \zusatzklammer {gemessen von der $x$-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn} {} {} die Strecke $r$ zurücklegt. Sie ist in jedem Punkt
\mathl{(r,\alpha)}{} \definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{} mit der \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} \cos \alpha & - r \sin \alpha \\ \sin \alpha & r \cos \alpha \end{pmatrix}} { . }
Diese Abbildung ist nicht \definitionsverweis {injektiv}{}{,} da die Abbildung im zweiten Argument, also im Winkel $\alpha$, \definitionsverweis {periodisch}{}{} mit der Periode $2 \pi$ ist. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist \zusatzgs {unabhängig von $\alpha$} {} das Bild gleich
\mathl{(0,0)}{.} Ferner ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(-r, \alpha + \pi ) }
{ = }{\varphi(r, \alpha) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die Abbildung kann also nicht global invertierbar sein.

Die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der Jacobi-Matrix ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r( \cos^{ 2 } \alpha + \sin^{ 2 } \alpha ) }
{ =} { r }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} liegt also nach Satz 14.13 ein \definitionsverweis {bijektives}{}{} \definitionsverweis {totales Differential}{}{} vor. Nach dem Satz über die lokale Umkehrabbildung gibt es zu jedem Punkt
\mathl{(r, \alpha)}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (r, \alpha) }
{ \in }{U_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und eine bijektive Abbildung \maabbdisp {\varphi {{|}} _{U_1}} { U_1} {U_2 = \varphi(U_1) } {.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kann man beispielsweise als offene Umgebung das \definitionsverweis {offene Rechteck}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_1 }
{ =} { {]r- \delta, r+ \delta[} \times {]\alpha - \epsilon, \alpha+ \epsilon [} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ > }{ \delta }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi }
{ > }{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} wählen. Das Bild davon, also $U_2$, ist der Schnitt des \zusatzklammer {offenen} {} {} Kreisringes zu den Radien \mathkor {} {r-\delta} {und} {r+ \delta} {} und dem \zusatzklammer {offenen} {} {} \definitionsverweis {Kreissektor}{}{,} der durch die beiden Winkel \mathkor {} {\alpha- \epsilon} {und} {\alpha+ \epsilon} {} begrenzt ist.

Man kann diese Abbildung zu einer \definitionsverweis {bijektiven Abbildung}{}{,} und zwar zu einem \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{,} auf großen offenen Mengen einschränken, beispielsweise zu \maabbeledisp {} {\R_+ \times {]- \pi, \pi[}} { \R^2 \setminus { \left\{ (x,0) \mid x \leq 0 \right\} } } {(r, \alpha)} {(r \cos \alpha , r \sin \alpha ) } {.} Die Bijektivität folgt dabei aus den grundlegenden Eigenschaften der \definitionsverweis {trigonometrischen Funktionen}{}{,} siehe insbesondere Satz 29.11. Wenn man das offene Intervall
\mathl{]{-\pi}, \pi[}{} durch das halboffene Intervall
\mathl{]{-\pi}, \pi]}{} ersetzt, so bekommt man eine Bijektion zwischen
\mathl{\R_+ \times {]{-\pi}, \pi]}}{} und
\mathl{\R^2 \setminus \{ (0,0) \}}{.} Man kann aber nicht von einem Diffeomorphismus sprechen, da dies nur für offene Mengen definiert ist. Die Umkehrabbildung ist übrigens noch nicht einmal \definitionsverweis {stetig}{}{.}


}



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