Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesung 50/latex
\setcounter{section}{50}
\zwischenueberschrift{Diffeomorphismen}
Der Satz über die lokale Umkehrbarkeit gibt Anlass zu folgender Definition.
\inputdefinition
{}
{
Es seien \mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{} und \mathkor {} {U_1 \subseteq V_1} {und} {U_2 \subseteq V_2} {} \definitionsverweis {offene}{}{} Teilmengen. Eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {U_1} {U_2 } {} heißt \definitionswortpraemath {C^k}{ Diffeomorphismus }{,} wenn $\varphi$ \definitionsverweis {bijektiv}{}{} und $k$-mal \definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{} ist, und wenn die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi^{-1}} {U_2} {U_1 } {} ebenfalls $k$-mal stetig differenzierbar ist.
}
Der Satz über die lokale Umkehrbarkeit besagt also, dass eine stetig differenzierbare Abbildung mit invertierbarem totalen Differential lokal
\zusatzklammer {!} {} {}
ein $C^1$-Diffeomorphismus ist
\zusatzklammer {es gibt auch $C^k$-Versionen von diesem Satz} {} {.}
Zwei offene Mengen
\mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {}
heißen $C^k$-\stichwort {diffeomorph} {,} wenn es einen $C^k$-Diffeomorphismus zwischen ihnen gibt.
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
\definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {W
} {}
eine in $P$
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.}
Dann heißt $P$ ein \definitionswort {regulärer Punkt}{} von $\varphi$, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, \left(D\varphi\right)_{P}
}
{ =} { {\min { \left( \dim_{ } { \left( V \right) } , \dim_{ } { \left( W \right) } \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Andernfalls heißt $P$ ein \definitionswort {kritischer Punkt}{} oder ein \definitionswort {singulärer Punkt}{.}
}
\inputbemerkung
{}
{
Eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {G} {W
} {}
ist genau dann
\definitionsverweis {regulär}{}{}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} den maximal möglichen
\definitionsverweis {Rang}{}{}
besitzt. Der Rang ist nach
Korollar 14.2
und nach
Lemma 14.3
gleich dem
\definitionsverweis {Spalten}{}{-}
bzw.
\definitionsverweis {Zeilenrang}{}{}
einer beschreibenden Matrix. Daher ist der Rang maximal gleich der Anzahl der Zeilen und maximal gleich der Anzahl der Spalten, also maximal gleich dem Minimum der beiden Dimensionen.
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( W \right) }
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $P$ ein
\definitionsverweis {regulärer Punkt}{}{}
genau dann, wenn
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} nicht die Nullabbildung ist. Daher stimmt diese Definition von regulär mit
Definition 46.5
überein. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( V \right) }
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet die Regularität wiederum, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left(D\varphi\right)_{P}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Generell bedeutet bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( V \right) }
}
{ \leq }{ \dim_{ } { \left( W \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Regularität, dass
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{}
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( V \right) }
}
{ \geq }{ \dim_{ } { \left( W \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet die Regularität, dass
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{}
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist. Insbesondere bedeutet bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( V \right) }
}
{ = }{ \dim_{ } { \left( W \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Regularität in $P$, dass das totale Differential
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
ist und dass daher die Voraussetzung im
Satz über die lokale Umkehrbarkeit
erfüllt ist.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {(x,y)} {(x^2-y,x+xy)
} {.}
Diese Abbildung ist
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
und die
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(x,y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2x & -1 \\ 1+y & x \end{pmatrix}} { . }
Die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
davon ist
\mathdisp {2x^2+1+y} { , }
so dass die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ \neq} {-2x^2-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {regulären Punkte}{}{}
der Abbildung charakterisiert. Im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} liegt beispielsweise ein regulärer Punkt vor, so dass dort aufgrund des
Satzes über die lokale Umkehrbarkeit
lokal eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
vorliegt, d.h. es gibt
\definitionsverweis {offene Umgebungen}{}{}
\mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {}
von
\mathl{(0,0)}{} derart, dass die
\definitionsverweis {eingeschränkte Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi {{|}}_{U_1}} {U_1} {U_2
} {}
bijektiv ist
\zusatzklammer {mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung} {} {.}
Wie groß kann dabei $U_1$ gewählt werden? Wir beschränken uns auf
\definitionsverweis {offene Ballumgebungen}{}{}
\mathl{U { \left( (0,0),r \right) }}{.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
enthält eine solche Kreisscheibe zwei Punkte der Form
\mathdisp {( \pm x,-1)} { . }
Diese werden unter $\varphi$ auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi( \pm x, -1)
}
{ =} { \left( x^2-(-1) , \, x+x(-1) \right)
}
{ =} { \left( x^2+1 , \, 0 \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
abgebildet, also auf den gleichen Punkt. Daher ist die Einschränkung der Abbildung auf eine solche Kreisscheibe nicht
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
und auf einer solchen Menge kann es keine Umkehrabbildung geben.
Betrachten wir hingegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_1
}
{ =} { U { \left( (0,0),1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_2
}
{ \defeq} { \varphi(U_1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Da $U_1$ keine
\definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{}
enthält, ist nach
Aufgabe 50.9
das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
$U_2$
\definitionsverweis {offen}{}{.}
Die eingeschränkte Abbildung
\maabb {\varphi {{|}}_{U_1}} {U_1} {U_2
} {}
ist nach Definition von $U_2$
\definitionsverweis {surjektiv}{}{,}
so dass nur die
\definitionsverweis {Injektivität}{}{}
zu untersuchen ist.
Das Gleichungssystem
\mathdisp {x^2-y = u \text{ und } x+xy = v} { }
führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { x^2 - u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x (1+x^2 -u)
}
{ =} { x^3 + (1-u)x
}
{ =} { v
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Seien
\mathkor {} {(x,y)} {und} {(\tilde{x},\tilde{y})} {}
aus
\mathl{U { \left( (0,0) ,1 \right) }}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(x,y)
}
{ =} { \varphi( \tilde{x} , \tilde{y})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^3+(1-u)x
}
{ =} { v
}
{ =} { \tilde{x}^3 + (1-u) \tilde{x}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { x^3 - \tilde{x}^3 + (1-u) (x- \tilde{x} )
}
{ =} { (x- \tilde{x} ) { \left( x^2+x \tilde{x} + \tilde{x}^2 + 1-u \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ \tilde{x}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{ \tilde{y}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{ \tilde{x}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+x \tilde{x} + \tilde{x}^2 + 1-u
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein. Dies bedeutet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{ x^2-u
}
{ = }{ - x \tilde{x} - \tilde{x}^2 -1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ebenso
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{y}
}
{ = }{ -x \tilde{x} -x^2 -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x(y+1)
}
{ =} {v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y+1
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
müssen
\mathkor {} {x} {und} {v} {}
das gleiche Vorzeichen besitzen. Daher müssen auch
\mathkor {} {x} {und} {\tilde{x}} {}
das gleiche Vorzeichen besitzen. Daraus folgt aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { - x \tilde{x} - \tilde{x}^2 -1
}
{ \leq} {-1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so dass es in der offenen Kreisumgebung mit Radius $1$ keine zwei verschiedenen Urbilder geben kann.
Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_1
}
{ = }{ U { \left( (0,0),1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt also eine Bijektion
\maabb {} {U_1} {U_2
} {}
vor.
}
Wir haben schon für die komplexen Zahlen Polarkoordinaten verwendet, siehe
Satz 29.12.
Hier besprechen wir Polarkoordinaten in Hinblick auf lokale Umkehrbarkeit.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Passaggio_in_coordinate_polari.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Passaggio in coordinate polari.svg } {} {Cronholm144} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputbeispiel{}
{
Die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {(r, \alpha)} { (r \cos \alpha , r \sin \alpha )
} {,}
heißt \stichwort {Polarkoordinatenauswertung} {.} Sie ordnet einem Radius $r$ und einem Winkel $\alpha$
\zusatzklammer {wegen diesen Bedeutungen schränkt man den Definitionsbereich häufig ein} {} {}
denjenigen Punkt der Ebene
\zusatzklammer {in kartesischen Koordinaten} {} {}
zu, zu dem man gelangt, wenn man in Richtung des Winkels
\zusatzklammer {gemessen von der $x$-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn} {} {}
die Strecke $r$ zurücklegt. Sie ist in jedem Punkt
\mathl{(r,\alpha)}{}
\definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} \cos \alpha & - r \sin \alpha \\ \sin \alpha & r \cos \alpha \end{pmatrix}} { . }
Diese Abbildung ist nicht
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
da die Abbildung im zweiten Argument, also im Winkel $\alpha$,
\definitionsverweis {periodisch}{}{}
mit der Periode $2 \pi$ ist. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\zusatzgs {unabhängig von $\alpha$} {}
das Bild gleich
\mathl{(0,0)}{.} Ferner ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(-r, \alpha + \pi )
}
{ = }{\varphi(r, \alpha)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Abbildung kann also nicht global invertierbar sein.
Die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der Jacobi-Matrix ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r( \cos^{ 2 } \alpha + \sin^{ 2 } \alpha )
}
{ =} { r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt also nach
Satz 14.13
ein
\definitionsverweis {bijektives}{}{}
\definitionsverweis {totales Differential}{}{}
vor. Nach dem
Satz über die lokale Umkehrabbildung
gibt es zu jedem Punkt
\mathl{(r, \alpha)}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (r, \alpha)
}
{ \in }{U_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine bijektive Abbildung
\maabbdisp {\varphi {{|}} _{U_1}} { U_1} {U_2 = \varphi(U_1)
} {.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man beispielsweise als offene Umgebung das
\definitionsverweis {offene Rechteck}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_1
}
{ =} { {]r- \delta, r+ \delta[} \times {]\alpha - \epsilon, \alpha+ \epsilon [}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ > }{ \delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi
}
{ > }{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wählen. Das Bild davon, also $U_2$, ist der Schnitt des
\zusatzklammer {offenen} {} {}
Kreisringes zu den Radien
\mathkor {} {r-\delta} {und} {r+ \delta} {}
und dem
\zusatzklammer {offenen} {} {}
\definitionsverweis {Kreissektor}{}{,}
der durch die beiden Winkel
\mathkor {} {\alpha- \epsilon} {und} {\alpha+ \epsilon} {}
begrenzt ist.
Man kann diese Abbildung zu einer
\definitionsverweis {bijektiven Abbildung}{}{,}
und zwar zu einem
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{,}
auf großen offenen Mengen einschränken, beispielsweise zu
\maabbeledisp {} {\R_+ \times {]- \pi, \pi[}} { \R^2 \setminus { \left\{ (x,0) \mid x \leq 0 \right\} }
} {(r, \alpha)} {(r \cos \alpha , r \sin \alpha )
} {.}
Die Bijektivität folgt dabei aus den grundlegenden Eigenschaften der
\definitionsverweis {trigonometrischen Funktionen}{}{,}
siehe insbesondere
Satz 29.11.
Wenn man das offene Intervall
\mathl{]{-\pi}, \pi[}{} durch das halboffene Intervall
\mathl{]{-\pi}, \pi]}{} ersetzt, so bekommt man eine Bijektion zwischen
\mathl{\R_+ \times {]{-\pi}, \pi]}}{} und
\mathl{\R^2 \setminus \{ (0,0) \}}{.} Man kann aber nicht von einem Diffeomorphismus sprechen, da dies nur für offene Mengen definiert ist. Die Umkehrabbildung ist übrigens noch nicht einmal
\definitionsverweis {stetig}{}{.}
}
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