Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 76/latex

\setcounter{section}{76}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^2 \setminus \{ (0,0) \} } {\R^2 \setminus \{ (0,0) \} } {(u,v)} { \left( { \frac{ -u }{ u^2+v^2 } } , \, { \frac{ -v }{ u^2+v^2 } } \right) } {,} ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

Auf einer Kugeloberfläche
\mathl{K \subseteq \R^3}{} nennt man einen Durchschnitt von $K$ mit einer Ebene, die durch den Kugelmittelpunkt läuft, einen \stichwort {Großkreis} {} auf $K$. Zwei Punkte
\mathbed {P,Q \in K} {}
{P \neq Q} {}
{} {} {} {,} heißen \stichwort {antipodal} {,} wenn ihre Verbindungsgerade durch den Kugelmittelpunkt läuft.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Kugeloberfläche. Zeige, dass je zwei nicht \definitionsverweis {antipodale Punkte}{}{}
\mathbed {P,Q \in K} {}
{P \neq Q} {}
{} {} {} {,} auf genau einem \definitionsverweis {Großkreis}{}{} von $K$ liegen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {offener Ball}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U { \left( P,r \right) } }
{ \subseteq }{ \R^m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} $C^\infty$-\definitionsverweis {diffeomorph}{}{} zum $\R^m$ ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Bild}{}{} der \definitionsverweis {Großkreise}{}{} durch die beiden Pole auf der \definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{} unter der \definitionsverweis {stereographischen Projektion}{}{} vom Nordpol aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Zeige, dass auf der \definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subset }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch folgende Zuordnung eine \definitionsverweis {Metrik}{}{} festgelegt wird. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mathl{d(P,Q)}{} die Länge des \zusatzklammer {kürzeren} {} {} Verbindungsweges von $P$ nach $Q$ auf dem durch diese Punkte festgelegten \definitionsverweis {Großkreis}{}{} \zusatzklammer {berücksichtige auch die Fälle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $P,Q$ \definitionsverweis {antipodal}{}{}} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{8}
{

Wir fixieren die beiden Punkte $N=(0,0,1)$ und $P=(1,0,0)$ auf der \definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{} $K$. Es sei $G$ die Verbindungsgerade und es sei $H$ die zu $G$ senkrechte Ebene durch $N$. Führe auf $H$ einen parametrisierten Einheitskreis $E$ mit $N$ als Mittelpunkt ein. Bestimme zu $S \in E$ die Länge des \zusatzklammer {kürzeren} {} {} Weges von $N$ nach $P$ auf demjenigen Kreis, der durch den Schnitt von $K$ mit der durch \mathkor {} {N,P} {und} {S} {} gegebenen Ebene festgelegt ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgabe zum Hochladen}

\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Erstelle eine Animation, die die geometrischen Objekte aus Aufgabe 76.6 darstellt.

}
{} {}