Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/10/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 1 3 3 3 7 8 6 2 2 2 4 5 4 4 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Durchschnitt von Mengen und .
  2. Der Real- und der Imaginärteil einer komplexen Zahl .
  3. Eine beschränkte Teilmenge von reellen Zahlen.
  4. Der Tangens.
  5. Das Unterintegral einer nach unten beschränkten Funktion
  6. Der Kern einer linearen Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .
  2. Die Ableitung der reellen Exponentialfunktion.
  3. Der Satz über Zeilenrang und Spaltenrang.


Aufgabe * (1 Punkt)

Die Weihnachtsferien begannen am 22.12.2015 (erster Ferientag) und endeten am 6.1.2016 (letzter Ferientag). Wie lange dauerten die Ferien?


Aufgabe (3 Punkte)

Illustriere die dritte binomische Formel durch eine geeignete geometrische Figur.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise durch Induktion, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen (beginnend bei ) stets eine Quadratzahl ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, ausgehend von den Axiomen für einen angeordneten Körper, dass gilt.


Aufgabe * (7 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

die einem Vierertupel das Vierertupel

zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.


Aufgabe * (8 (2+1+2+1+2) Punkte)

Es sei . Zu einem Startwert sei eine reelle Folge rekursiv durch
definiert. Zeige die folgenden Aussagen.

(a) Bei ist für alle und die Folge ist streng fallend.

(b) Bei ist die Folge konstant.

(c) Bei ist für alle und die Folge ist streng wachsend.

(d) Die Folge konvergiert.

(e) Der Grenzwert ist .


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom vom Grad gibt derart, dass für alle ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Fridolin sagt:

„Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion

gilt und . Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen und geben, also eine Zahl mit . Es ist doch aber stets .“

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion, die mit der Diagonalen zwei Schnittpunkte besitze. Zeige, dass der Graph der Ableitung einen Schnittpunkt mit der durch definierten Geraden besitzt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis .


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien

periodische Funktionen mit den Periodenlängen bzw. . Der Quotient sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch eine periodische Funktion ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Kern der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

  1. Bestimme die invertierbaren -Matrizen über dem Körper mit zwei Elementen.
  2. Welche davon sind zu sich selbst invers?


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Es sei

  1. Bestimme das charakteristische Polynom zu .
  2. Bestimme die Eigenwerte mit Vielfachheiten von über .
  3. Bestimme die Eigenräume von über .




Anhang

Eine Stammfunktion von ist