Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/21/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	4	6	4	4	4	2	4	6	4	5	2	4	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Anna kann sich nicht zwischen Heinrich und Konrad entscheiden, deshalb lässt sie sich vom Zufall leiten. Sie wohnt an einer U-Bahn-Station der Linie ${}5$, die von Heinsheim nach Konsau fährt. Heinrich wohnt in Heinsheim und Konrad in Konsau. Wenn Anna Lust auf ein Date hat, geht sie einfach zu ihrer Station und nimmt die erstbeste U-Bahn, die gerade kommt. Die U-Bahnen fahren in beide Richtungen im Zehn-Minuten-Takt und die U-Bahnen nach Heinsheim fahren ${}:\!01,:\!11,:\!21$ etc. Nach einiger Zeit stellt Anna fest, dass sie Konrad viermal so häufig besucht wie Heinrich. Wann fahren die U-Bahnen nach Konsau ab?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

1. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
2. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
3. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
4. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Für eine Klausur verteilt Professor Knopfloch Nummern ${}n$ von ${}1$ bis ${}150$ an die Studenten. Diese sollen sich gemäß ihrer Nummer ${}n$ vor der Halle ungefähr mit einem Abstand (in Meter)

${}a(n)=5+4\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor \,$

zum Eingang aufstellen, wobei der zur Verfügung stehende Platz in etwa ein Viertelkreissektor mit dem Eingang als Mittelpunkt ist.

1. Ist die Abbildung

   $a\colon \{1,\ldots ,150\}\longrightarrow \mathbb {N}$

   injektiv?

2. Ist die Abbildung

   $a\colon \{1,\ldots ,150\}\longrightarrow \{1,\ldots ,53\}$

   surjektiv?

3. Wie viele Leute sollen einen Abstand von ${}49$ Meter zum Eingang einnehmen?
4. Welche Vorteile (Nachteile) hat die gewählte Abstandsfunktion gegenüber der Funktion

   ${}b(n)=5+4n\,.$

Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei

$f\colon K\longrightarrow K$

eine bijektive Abbildung mit der Umkehrfunktion ${}f^{-1}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. ${}f$ ist genau dann streng wachsend, wenn ${}f^{-1}$ streng wachsend ist.
2. ${}f$ ist genau dann streng fallend, wenn ${}f^{-1}$ streng fallend ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen ${}f_{n}$. Sie besagt (für $n\geq 2$)

${}f_{n+1}f_{n-1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ zwei konvergente reelle Folgen mit ${}x_{n}\geq y_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass dann ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$ gilt.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}z\in \mathbb {R} ,\,\vert {z}\vert <1$. Bestimme und beweise eine Formel für die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{k}.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ und seien

$f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei ${}n$-mal differenzierbare Funktionen. Zeige, dass

${}(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\,$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Extrema und das Wachstumsverhalten der rationalen Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {x}{x^{2}+1}}.$

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

stetig mit

${}\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0\,$

für jede stetige Funktion ${}g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$. Zeige ${}f=0$.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im ${}\mathbb {R} ^{2}$, die durch die beiden Punkte ${}(2,3)$ und ${}(5,-7)$ verläuft.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen und sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}v_{1},v_{2},v_{3},\ldots$ eine Aufzählung (ohne Wiederholung) der Elemente aus ${}V$. Nach wie vielen Elementen kann man sich sicher sein, dass diese ein Erzeugendensystem von ${}V$ sind?

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine quadratische Matrix, die man als

${}M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\,$

mit quadratischen Matrizen ${}A,B,C$ und ${}D$ schreiben kann. Zeige durch ein Beispiel, dass die Beziehung

${}\det M=\det A\cdot \det D-\det B\cdot \det C\,$

im Allgemeinen nicht gilt.