Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/22/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 2 2 3 4 4 4 5 3 4 5 3 3 4 2 3 3 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Durchschnitt von Mengen und .
  2. Die Konvergenz einer reellen Folge gegen .
  3. Der Logarithmus zur Basis , , einer positiven reellen Zahl .
  4. Der Differenzenquotient zu einer Funktion in einem Punkt .
  5. Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
  6. Eine Linearkombination in einem -Vektorraum.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die stetige Umkehrfunktion.
  2. Die Periodizätseigenschaften für Sinus und Kosinus (ohne spezielle Werte).
  3. Der Satz über lineare Abbildungen zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl eine Primzahl?


Aufgabe * (3 Punkte)

Heidi Gonzales beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Heidelbeeren zu ernähren, und ihre Nahrungszufuhr gleichmäßig über ihre Wachzeit (16 Stunden pro Tag) zu verteilen. Ihr Kalorienbedarf liegt bei kcal und Gramm Heidelbeeren enthalten kcal. Eine mittlere Heidelbeere wiegt Gramm. In welchem Abstand muss sie sich eine Heidelbeere einwerfen?


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise durch Induktion, dass für

die Abschätzung

gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Man finde ein Polynom von minimalem Grad mit


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion
mit
nur im Nullpunkt stetig ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von ist?


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

eine Funktion, die die Funktionalgleichung

für alle erfülle und die in differenzierbar sei. Zeige, dass dann in jedem Punkt differenzierbar ist und die Beziehung mit einem festen gilt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung in einem Extremum.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung zur rationalen Funktion

im Entwicklungspunkt .


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Stammfunktion der Umkehrfunktion.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Durchschnittswert der Quadratwurzel für . Vergleiche diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von und und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von und der Wurzel von .


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

im gegebene Gerade.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass

gilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper und sei

ein von verschiedener Vektor. Man finde ein lineares Gleichungssystem in Variablen mit Gleichungen, dessen Lösungsraum genau

ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum wohldefiniert ist, also unabhängig von der gewählten Basis.