Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/25/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 1 2 4 11 4 4 5 4 4 5 3 5 6 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine bijektive Abbildung
  2. Ein lokales Maximum einer Funktion

    ( eine Teilmenge) in einem Punkt .

  3. Die reelle Exponentialfunktion zu einer Basis .
  4. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion
  5. Die durch eine Matrix festgelegte lineare Abbildung.
  6. Der Eigenraum zu und einem Endomorphismus

    auf einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Quotientenkriterium für eine reelle Reihe .
  2. Die Kettenregel für differenzierbare Funktionen .
  3. Der Charakterisierungssatz für eine Basis in einem -Vektorraum .


Aufgabe * (1 Punkt)

Beurteile die Snookerweisheit „Ein Snookerspiel kann man in der ersten Session nicht gewinnen, aber verlieren“ vom logischen Standpunkt aus.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von und der andere ein Fassungsvermögen von Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige

durch Induktion.


Aufgabe * (11 (5+4+2) Punkte)

Es sei ein Körper und seien Elemente aus . Beweise die folgenden Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten . Dabei darf man die entsprechenden Gesetze für Exponenten aus sowie die Tatsachen, dass das Inverse des Inversen wieder das Ausgangselement ist und dass das Inverse von gleich ist, verwenden.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Sei ein Polynom und . Zeige, dass genau dann eine Nullstelle von ist, wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zu jeder natürlichen Zahl sei eine Nullfolge gegeben, das -te Folgenglied der -ten Folge sei mit bezeichnet. Ist die Folge , deren -tes Folgenglied durch

gegeben ist, ebenfalls eine Nullfolge?


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

stetig ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte und verläuft.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion

induziert.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.


Aufgabe * (3 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume mit und . Welche Dimension besitzt der Produktraum ?


Aufgabe * (6 (2+3+1) Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von .

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.