Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/25/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	1	2	4	11	4	4	5	4	4	5	3	5	6	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Eine bijektive Abbildung
$f\colon M\longrightarrow N.$
Ein lokales Maximum einer Funktion
$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

( $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge) in einem Punkt ${}x\in D$ .
Die reelle Exponentialfunktion zu einer Basis ${}b>0$ .
Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion
$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$
Die durch eine Matrix festgelegte lineare Abbildung.
Der Eigenraum zu ${}\lambda \in K$ und einem Endomorphismus
$\varphi \colon V\longrightarrow V$

auf einem ${}K$ - Vektorraum ${}V$ .

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Das Quotientenkriterium für eine reelle Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ .
Die Kettenregel für differenzierbare Funktionen ${}f,g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ .
Der Charakterisierungssatz für eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem ${}K$ - Vektorraum ${}V$ .

Aufgabe * (1 Punkt)

Beurteile die Snookerweisheit „Ein Snookerspiel kann man in der ersten Session nicht gewinnen, aber verlieren“ vom logischen Standpunkt aus.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${}5$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${}8$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige

{}\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}2^{j}=3^{n}\,

durch Induktion.

Aufgabe * (11 (5+4+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}a,b\neq 0$ Elemente aus ${}K$ . Beweise die folgenden Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten ${}m,n\in \mathbb {Z}$ . Dabei darf man die entsprechenden Gesetze für Exponenten aus ${}\mathbb {N}$ sowie die Tatsachen, dass das Inverse des Inversen wieder das Ausgangselement ist und dass das Inverse von ${}u^{k}$ gleich ${}{\left(u^{-1}\right)}^{k}$ ist, verwenden.

${}a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$
${}{\left(a^{m}\right)}^{n}=a^{mn}\,.$
${}(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$ . Zeige, dass ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$ ist, wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zu jeder natürlichen Zahl ${}k$ sei eine Nullfolge ${}y_{k}$ gegeben, das ${}n$ -te Folgenglied der ${}k$ -ten Folge sei mit ${}y_{kn}$ bezeichnet. Ist die Folge ${}z_{n}$ , deren ${}n$ -tes Folgenglied durch

{}z_{n}=\prod _{k=1}^{n}y_{kn}\,

gegeben ist, ebenfalls eine Nullfolge?

Aufgabe * (5 Punkte)

Berechne

{\left(x-{\frac {{\sqrt {3}}+1}{4}}\right)}^{2}{\left(x-{\frac {-{\sqrt {3}}+1}{4}}\right)}^{2}-{\frac {1}{8}}x-{\frac {1}{64}}.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte ${}(-1,1)$ und ${}(4,-2)$ verläuft.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1]

induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion

[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1]

induziert.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.

Aufgabe * (3 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

{}4x-5y+7z=-3\,,

{}-2x+4y+3z=9\,,

{}x=-2\,.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$ - Vektorräume mit ${}\dim _{K}{\left(V\right)}=n$ und ${}\dim _{K}{\left(W\right)}=m$ . Welche Dimension besitzt der Produktraum ${}V\times W$ ?