Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/28/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 9 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 6 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 65 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Betrag} {} einer reellen Zahl.
}{Der \stichwort {Imaginärteil} {} einer komplexen Zahl $z$.
}{Die \stichwort {reelle Exponentialfunktion} {.}
}{Eine \stichwort {Stammfunktion} {} zu einer Funktion \maabb {f} {]a,b[} {\R } {.}
}{Die \stichwort {Matrizenmultiplikation} {.}
}{Die \stichwort {lineare Unabhängigkeit} {} von Vektoren $v_1 , \ldots , v_n$ in einem $K$-Vektorraum $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Für eine reelle Zahl
\mathl{x \in \R}{} ist der Betrag folgendermaßen definiert.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ =} { \begin{cases} x, \text{ falls } x \geq 0 \, , \\ -x, \text{ falls } x < 0 \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
}{Zu einer komplexen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{a+b { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man $b$ den Imaginärteil von $z$.
}{Die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} { \exp x \defeq \sum_{ n =0}^\infty \frac{ x^{ n } }{n!}
} {,}
heißt
\zusatzklammer {reelle} {} {}
Exponentialfunktion.
}{Eine Funktion
\maabb {F} {{]a,b[}} {\R
} {}
heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $]a,b[$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist und
\mathl{F'(x)=f(x)}{} für alle
\mathl{x \in {]a,b[}}{} gilt.
}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $A$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
und $B$ eine $n\times p$-Matrix über $K$. Dann ist das Matrixprodukt
\mathdisp {AB} { }
diejenige
\mathl{m\times p}{-}Matrix, deren Einträge durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{ik}
}
{ =} {\sum_{j = 1}^n a_{ij} b_{jk}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben sind.
}{Die Vektoren $v_1 , \ldots , v_n$ heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung
\mathdisp {\sum_{i=1}^n a_i v_i =0} { }
nur bei
\mathl{a_i=0}{} für alle $i$ möglich ist.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über beschränkte Teilmengen} {} von $\R$.}{Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produktes.}{Der Satz über die Beziehung von Stetigkeit und Riemann-Integrierbarkeit.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Jede nichtleere nach oben beschränkte
Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum
in $\R$.}{Es seien
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k } \text{ und } \sum_{ k = 0}^\infty b_{ k }} { }
zwei absolut konvergente Reihen reeller Zahlen.
Dann ist auch das Cauchy-Produkt
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty c_{ k }}{} absolut konvergent und für die Summe gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ k = 0}^\infty c_{ k }
}
{ =} { { \left( \sum_{ k = 0}^\infty a_{ k } \right) } \cdot { \left( \sum_{ k = 0}^\infty b_{ k } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Sei $I$ ein reelles Intervall und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine stetige Funktion. Dann ist $f$ Riemann-integrierbar.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es seien
$L, M, N$ und $P$
Mengen und es seien
\maabbeledisp {F} {L} {M
} {x} {F(x)
} {,} \maabbeledisp {G} {M} {N
} {y} {G(y)
} {,}
und
\maabbeledisp {H} {N} {P
} {z} {H(z)
} {,}
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H \circ (G \circ F)
}
{ =} { (H \circ G) \circ F
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Zwei Abbildungen
\maabb {\alpha, \beta} {L} {P
} {}
sind genau dann gleich, wenn für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha(x)
}
{ = }{\beta(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ ( H \circ ( G \circ F)) (x)
}
{ =} { H( ( G \circ F) (x) )
}
{ =} { H( G(F(x)) )
}
{ =} { ( H \circ G ) (F(x))
}
{ =} { (( H \circ G ) \circ F)(x)
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{9 (2+1+2+2+2)}
{
Zwei Schwimmer, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} schwimmen auf einer $50$-Meter-Bahn einen Kilometer lang. Schwimmer $A$ schwimmt $3 m/s$ \zusatzklammer {das ist besser als der Weltrekord} {} {} und Schwimmer $B$ schwimmt $2 m/s$. \aufzaehlungfuenf{Erstelle in einem Diagramm für beide Schwimmer den Graphen der jeweiligen Abbildung, die für die Zeit zwischen \mathkor {} {0} {und} {100} {} Sekunden angibt, wie weit der Schwimmer von der Startlinie zu diesem Zeitpunkt \zusatzklammer {wirklich, also unter Berücksichtigung der Wenden} {} {} entfernt ist. }{Wie weit von der Startlinie entfernt befindet sich Schwimmer $A$ \zusatzklammer {und Schwimmer $B$} {} {} nach $30$ Sekunden? }{Nach wie vielen Sekunden begegnen sich die beiden Schwimmer zum ersten Mal \zusatzklammer {abgesehen vom Start} {} {?} }{Wie oft begegnen sich die beiden Schwimmer \zusatzklammer {Start mitzählen} {} {?} }{Wie oft überrundet Schwimmer $A$ den Schwimmer $B$? }
}
{
\aufzaehlungfuenf{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Graphzweischwimmer.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Graphzweischwimmer.png } {Mgausmann} {} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
$\,$
}{Nach $30$ Sekunden hat Schwimmer $A$ $90$ Meter zurückgelegt, er ist also $50$ Meter hin und $40$ Meter zurückgeschwommen. Somit befindet er sich $10$ Meter vom Start entfernt. Nach $30$ Sekunden hat Schwimmer $B$ $60$ Meter zurückgelegt, er befindet sich also $40$ Meter vom Start entfernt.
}{Die erste Begegnung findet statt, wenn Schwimmer $A$ das erste Mal zurückschwimmt und $B$ noch hinschwimmt. Wir machen den Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 t
}
{ =} { 50 -3 (t- 16 { \frac{ 2 }{ 3 } } )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5t
}
{ =} {100
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t
}
{ =} {20
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Nach $100$ Sekunden sind beide Schwimmer wieder am Startpunkt
\zusatzklammer {siehe die Skizze} {} {,}
$A$ hat dabei $300$ Meter zurückgelegt, $B$ nur $200$ Meter. In diesem Zeitraum begegnen sie sich fünfmal
\zusatzklammer {den Start mitgezählt, die letzte Begegnung jedoch nicht} {} {,}
dies wiederholt sich dreimal und dann muss $A$ noch $100$ Meter schwimmen, wobei er $B$ noch einmal unterwegs begegnet. Dies führt auf $17$ Begegnungen.
}{Schwimmer $A$ überrundet Schwimmer $B$ dreimal, nämlich am Startpunkt nach $100 s$, nach $200 s$ und nach $300 s$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein beliebiges Element. Bestimme, welche Potenzen $a^n$ man
\zusatzklammer {ausgehend von $a$ und bei optimaler Verwertung von Zwischenschritten} {} {}
mit einer, zwei, drei oder vier Multiplikationen erhalten kann.
}
{
Wir gehen rekursiv vor, da jede Potenz sich durch Multiplikation einer zuvor erhaltenen Potenz ergibt. Wenn dabei die Faktoren gleiche Potenzen verwenden, müssen diese nicht doppelt gezählt werden, da man ja die Ergebnisse von Zwischenmultiplikationen wiederverwenden kann.
Mit einer Multiplikation kann man offenbar nur
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^2
}
{ = }{ a \cdot a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erhalten.
Mit zwei Multiplikationen kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^3
}
{ =} { a \cdot a^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^4
}
{ =} { (a^2) \cdot (a^2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erhalten und sonst keine Potenz, da ja alle möglichen Multiplikationen notiert wurden.
Mit drei Multiplikationen kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^5
}
{ =} { (a^4) \cdot a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^6
}
{ =} { (a^4) \cdot (a^2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^8
}
{ =} { (a^4) \cdot (a^4)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erhalten. $a^7$ kann man nicht mit drei Multiplikationen erreichen, da in
\zusatzklammer {dem einzigen ernsthaften Kandidat} {} {}
\mathl{(a^3) \cdot (a^4)}{} schon vier Multiplikationen drin sind.
Mit vier Multiplikationen kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^7
}
{ =} { (a^6) \cdot a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^9
}
{ =} { (a^8) \cdot a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^{10}
}
{ =} { (a^8) \cdot (a^2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^{12}
}
{ =} { (a^8) \cdot (a^4)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^{16}
}
{ =} { (a^8) \cdot (a^8)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erhalten. Weitere Möglichkeiten gibt es nicht. Wenn nämlich $a^8$ nicht als Faktor vorkommt, so gibt es von den noch nicht abgedeckten Potenzen nur
\mathl{(a^5) \cdot (a^6)}{,} doch dieser Aufbau braucht fünf Multiplikationen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6 (2+4)}
{
Zeige, dass in $\R$ die folgenden Eigenschaften gelten.
\aufzaehlungzwei {Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es eine natürliche Zahl $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \frac{1}{n}
}
{ \leq }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Zu zwei reellen Zahlen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ <} { y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es eine rationale Zahl
\mathl{n/k}{}
\zusatzklammer {mit $n \in \Z,\, k \in \N_+$} {} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ <} { { \frac{ n }{ k } }
}
{ <} {y
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1). Es ist $x^{-1}$ eine wohldefinierte, nach
Lemma 5.2 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) (7)
positive reelle Zahl. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es eine natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ > }{x^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies ist nach
Lemma 5.2 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) (6)
äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{1}{n}
}
{ =} {n^{-1}
}
{ <} { (x^{-1})^{-1}
}
{ =} {x
}
{ } {}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2).
Wegen
\mathl{y>x}{} ist
\mathl{y-x >0}{} und daher gibt es nach (2) ein
\mathl{k \in \N_+}{} mit
\mathl{\frac{1}{k} < y-x}{.} Wegen (1) gibt es auch ein
\mathl{n' \in \N}{} mit
\mathl{n' \frac{1}{k} > x}{.} Wegen der Archimedes-Eigenschaft gibt es ein
\mathl{\tilde{n} \in \N}{} mit
\mathl{\tilde{n} \geq -xk}{.} Nach
Lemma 5.2 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) (3)
gilt daher
\mathl{(- \tilde{n} ) { \frac{ 1 }{ k } } \leq x}{.} Daher gibt es auch ein
\mathl{n \in \Z}{} derart, dass
\mathdisp {n \frac{1}{k} > x \text{ und } (n-1) \frac{1}{k} \leq x} { }
ist. Damit ist einerseits
\mathl{x < \frac{n}{k}}{} und andererseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{n}{k}
}
{ =} { \frac{n-1}{k} + \frac{1}{k}
}
{ <} { x + y-x
}
{ =} {y
}
{ } {}
}
{}{}{}
wie gewünscht.}
{}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
$f$ vom Grad
\mathl{\leq 2}{,} für welches
\mathdisp {f(1) =10 ,\, f(-2) = 1,\, f(3) = 16} { }
gilt.
}
{
Mit dem Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {aX^2+bX+c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelangen wir zum linearen Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a+b+c
}
{ =} {10
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 4a -2b+c
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 9 a +3 b+c
}
{ =} {16
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Gleichungen
\mathl{II-I}{} und
\mathl{III-I}{} sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3a -3b
}
{ =} {- 9
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{8 a +2b
}
{ =} { 6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich
\zusatzklammer {
\mathl{2 II' +3 III'}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 30 a
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} {7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { 3X+7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N } }{} eine Cauchy-Folge in
\mathl{\Q}{,} die keine Nullfolge sei. Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass entweder alle
\mathl{x_n}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
positiv oder negativ sind.
}
{
Da
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} keine Nullfolge ist, gibt es ein
\mathl{\epsilon >0}{} derart, dass es zu jedem
\mathl{n_0 \in \N}{} ein
\mathl{n \geq n_0}{} mit
\mathl{\betrag { x_n } > \epsilon}{} gibt. Da es sich um eine Cauchy-Folge handelt, gibt es zu
\mathl{\epsilon/2}{} ein $k$ derart, dass für alle
\mathl{m,n \geq k}{} die Abschätzung $\betrag { x_m-x_n } \leq \epsilon/2$ gilt. Es sei nun $n \geq k$ so gewählt, dass
\mathl{\betrag { x_n } > \epsilon}{} ist.
Bei
\mathl{x_n > 0}{} gilt für alle
\mathl{m \geq n}{} die Abschätzung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ x_m
}
{ =} { x_n+x_m-x_n
}
{ \geq} { x_n - { \frac{ \epsilon }{ 2 } }
}
{ \geq} { \epsilon - { \frac{ \epsilon }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ \epsilon }{ 2 } }
}
}
{}
{}{,}
so dass für
\mathl{m \geq n}{} alle Folgenglieder positiv sind.
Bei
\mathl{x_n < 0}{} gilt für alle
\mathl{m \geq n}{} die Abschätzung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ x_m
}
{ =} { x_n+x_m-x_n
}
{ \leq} { x_n + { \frac{ \epsilon }{ 2 } }
}
{ \leq} {- \epsilon + { \frac{ \epsilon }{ 2 } }
}
{ =} { - { \frac{ \epsilon }{ 2 } }
}
}
{}
{}{,}
so dass für
\mathl{m \geq n}{} alle Folgenglieder negativ sind.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.
}
{
Für jedes $x$ und jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x-1) { \left( \sum_{ k = 0}^n x^k \right) }
}
{ =} { x^{n+1} -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher gilt für die
\definitionsverweis {Partialsummen}{}{}
die Beziehung
\zusatzklammer {bei $x \neq 1$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s_n
}
{ =} { \sum_{ k = 0}^n x^k
}
{ =} { \frac{ x^{n+1} -1}{ x-1 }
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Für
\mathl{n \rightarrow \infty}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ < }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
dies wegen
Lemma 8.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
und
Aufgabe 8.25 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \frac{-1}{x-1}
}
{ = }{ \frac{1}{1-x}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { 2x^3-4x+5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für alle
\mathl{x \in \R}{} die folgende Beziehung gilt: Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x-3 }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 800 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(3) }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Unter der Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x-3 }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 800 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { f(x)-f(3) }
}
{ =} { \betrag { 2x^3-4x+5 - 2 \cdot 3^3 + 4 \cdot 3 -5 }
}
{ =} { \betrag { 2 (x^3-3^3) -4 (x-3) }
}
{ \leq} { 2 \betrag { x^3-3^3 } + 4 \betrag { x-3 }
}
{ \leq} { 2 \betrag { x-3 } \cdot \betrag { x^2+3x+3^2 } + { \frac{ 4 }{ 800 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \leq} { 2 \cdot { \frac{ 1 }{ 800 } } \cdot \betrag { 16 +12 +9 } + { \frac{ 4 }{ 800 } }
}
{ =} { { \frac{ 78 }{ 800 } }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10 } }
}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { 1- { \frac{ x^2 }{ 2 } } + { \frac{ x^4 }{ 24 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $f$ zwischen
\mathkor {} {1} {und} {2} {}
eine Nullstelle besitzt, und bestimme diese bis auf einen Fehler von ${ \frac{ 1 }{ 4 } }$.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(1)
}
{ =} { 1- { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 24 } }
}
{ >} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(2)
}
{ =} { 1- 2 + { \frac{ 16 }{ 24 } }
}
{ =} { -1 + { \frac{ 2 }{ 3 } }
}
{ <} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
deshalb gibt es nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle zwischen
\mathkor {} {1} {und} {2} {.}
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f \left( \frac{ 3 }{ 2 } \right)
}
{ =} { 1- { \frac{ \left( \frac{ 3 }{ 2 } \right)^2 }{ 2 } } + { \frac{ \left( \frac{ 3 }{ 2 } \right)^4 }{ 24 } }
}
{ =} { 1- { \frac{ 9 }{ 8 } } + { \frac{ 27 }{ 128 } }
}
{ =} { { \frac{ 11 }{ 128 } }
}
{ >} { 0
}
}
{}
{}{.}
Deshalb gibt es eine Nullstelle in
\mathl{[ { \frac{ 3 }{ 2 } } ,2]}{.} Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f \left( \frac{ 7 }{ 4 } \right)
}
{ =} { 1- { \frac{ \left( \frac{ 7 }{ 4 } \right)^2 }{ 2 } } + { \frac{ \left( \frac{ 7 }{ 4 } \right)^4 }{ 24 } }
}
{ =} { 1- { \frac{ 49 }{ 32 } } + { \frac{ 2401 }{ 6144 } }
}
{ =} { { \frac{ 6144-9408+ 2401 }{ 1536 } }
}
{ <} { 0
}
}
{}
{}{.}
Eine Nullstelle liegt also in
\mathl{[ { \frac{ 3 }{ 2 } } , { \frac{ 7 }{ 4 } } ]}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Beweise den Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen
\mathl{x \mapsto x^\alpha}{.}
}
{
Nach
Definition .
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^\alpha
}
{ =} { \exp \left( \alpha \, \ln x \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
nach $x$ ist aufgrund von
Satz 16.3 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
und
Korollar 16.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
unter Verwendung
der Kettenregel
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x^\alpha \right) }'
}
{ =} { { \left( \exp \left( \alpha \, \ln x \right) \right) }'
}
{ =} { \frac{\alpha}{x} \cdot \exp \left( \alpha\, \ln x \right)
}
{ =} { \frac{\alpha}{x} x^\alpha
}
{ =} { \alpha x^{\alpha -1}
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.
}
{
Wegen der Stetigkeit von $f$ und der vorausgesetzten stetigen Differenzierbarkeit von $g$ existieren beide Integrale. Es sei $F$ eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
von $f$, die aufgrund von
Korollar 19.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
existiert. Nach der
Kettenregel
hat die zusammengesetzte Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ t \mapsto F(g(t))
}
{ =} { (F \circ g)(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Ableitung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F'(g(t)) g'(t)
}
{ = }{ f(g(t))g'(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher gilt insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f(g(t)) g'(t) \, d t
}
{ =} { (F \circ g) | _{ a } ^{ b }
}
{ =} { F(g(b)) - F(g(a))
}
{ =} { F | _{ g(a) } ^{ g(b) }
}
{ =} { \int_{ g(a) }^{ g(b) } f(s) \, d s }
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen
\maabbdisp {g} {\R} {\R
} {}
und ein kompaktes Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [a,b]
}
{ \subset }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung
\zusatzklammer {es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird} {} {.}
}
{
Aufgrund des
Mittelwertsatz der Integralrechnung,
angewendet auf die Ableitung $g'$, gibt es ein
\mathl{c \in [a,b]}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(b)-g(a)
}
{ =} { \int_a^b g'(t) dt
}
{ =} { (b-a)g'(c)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Division durch
\mathl{b-a}{} liefert den
Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1\\0 \end{pmatrix}, \, v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0\\0 \end{pmatrix}} {} {v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\1 \end{pmatrix}} {und} {v_4 = \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0\\0 \end{pmatrix}} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im $\R^4$.
}
{
In den Spalten von
\mathl{M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }}{} müssen die Koordinaten der Vektoren $v_j$ bezüglich der Standardbasis $u_i$ stehen, also ist direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Umgekehrt ist wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1
}
{ = }{ v_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_2
}
{ = }{ v_4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_3
}
{ = }{ v_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_4
}
{ = }{ v_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei $B$ eine
$n \times p$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
und $A$ eine $m\times n$-Matrix und es seien
\mathdisp {K^p \stackrel{B}{\longrightarrow} K^n \stackrel{A}{\longrightarrow} K^m} { }
die zugehörigen
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Matrixprodukt}{}{}
\mathl{A \circ B}{} die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.
}
{
Die Gleichheit von linearen Abbildungen kann man auf der
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
\mathl{e_1 , \ldots , e_p}{} des $K^p$ nachweisen. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( A \circ B \right) } { \left( e_k \right) }
}
{ =} { A(B(e_k))
}
{ =} {A { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } b_{jk} e_j \right) }
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } b_{jk} { \left( \sum_{ i = 1 }^{ m } a_{ij} e_i \right) }
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ m } { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } a_{ij} b_{jk} \right) } e_i
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ m } c_{ik} e_i
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Dabei sind die Koeffizienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{ik}
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } a_{ij} b_{jk}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gerade die Einträge in der
\definitionsverweis {Produktmatrix}{}{}
\mathl{A \circ B}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{,}
die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
mit
\definitionsverweis {Vielfachheiten}{}{}
und die
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
zur reellen
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { . }
}
{
Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \det \begin{pmatrix} x & -1 & 0 \\ -1 & x & 0 \\0 & 0 & x \end{pmatrix}
}
{ =} {x^3-x
}
{ =} { x (x^2 -1)
}
{ =} { x (x-1)(x+1)
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Somit sind $0,1,-1$ Eigenwerte mit algebraischer und geometrischer Vielfachheit $1$.
Der Eigenraum zu $0$ ist der Kern von
\mathl{\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}{.} Dieser ist
\mathdisp {\R \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}} { . }
Der Eigenraum zu $1$ ist der Kern von
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}{.} Dieser ist
\mathdisp {\R \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0 \end{pmatrix}} { . }
Der Eigenraum zu $-1$ ist der Kern von
\mathl{\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}{.} Dieser ist
\mathdisp {\R \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 0 \end{pmatrix}} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
mit $n$
\zusatzklammer {paarweise} {} {}
verschiedenen
\definitionsverweis {Eigenwerten}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
von $M$ das Produkt der Eigenwerte ist.
}
{
Aufgrund der verschiedenen Eigenwerte ist $\varphi$ nach
Korollar 28.10 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{.}
Es gibt daher nach
[[Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Charakterisierungen/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Charakterisierungen/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
eine invertierbare Matrix $B$ derart, dass
\mathdisp {BMB^{-1}} { }
eine Diagonalmatrix ist, wobei in der Diagonalen die verschiedenen Eigenwerte
\mathl{d_1 , \ldots , d_n}{} stehen. Nach
[[Determinante/Multiplikationssatz/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Determinante/Multiplikationssatz/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
und
Lemma 26.8 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { \det BMB^{-1}
}
{ =} { d_1 \cdots d_n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}