Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/28/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 1 1 9 4 6 3 4 4 3 3 2 4 2 2 2 4 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Betrag einer reellen Zahl.
  2. Der Real- und der Imaginärteil einer komplexen Zahl .
  3. Die reelle Exponentialfunktion.
  4. Eine Stammfunktion zu einer Funktion .
  5. Die Matrizenmultiplikation.
  6. Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren in einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Für eine reelle Zahl ist der Betrag folgendermaßen definiert.
  2. Zu einer komplexen Zahl nennt man den Realteil und den Imaginärteil von .
  3. Die Funktion

    heißt (reelle) Exponentialfunktion.

  4. Eine Funktion heißt Stammfunktion zu , wenn auf differenzierbar ist und für alle gilt.
  5. Es sei ein Körper und es sei eine -Matrix und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt

    diejenige -Matrix, deren Einträge durch

    gegeben sind.

  6. Die Vektoren heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung

    nur bei für alle möglich ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über beschränkte Teilmengen von .
  2. Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produktes.
  3. Der Satz über die Beziehung von Stetigkeit und Riemann-Integrierbarkeit.


Lösung

  1. Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum in .
  2. Es seien

    zwei absolut konvergente Reihen reeller Zahlen. Dann ist auch das Cauchy-Produkt absolut konvergent und für die Summe gilt

  3. Sei ein reelles Intervall und sei
    eine stetige Funktion. Dann ist Riemann-integrierbar.


Aufgabe (1 Punkt)

Man finde eine äquivalente Formulierung für die Aussage „Frau Maier-Sengupta hat nicht alle Tassen im Schrank“ mit Hilfe einer Existenzaussage.


Lösung

Es gibt eine Tasse, die Frau Maier-Sengupta nicht im Schrank hat.


Aufgabe (1 Punkt)

Es seien und Mengen und es seien

und

Abbildungen. Zeige, dass dann

gilt.


Lösung

Zwei Abbildungen sind genau dann gleich, wenn für jedes die Gleichheit gilt. Sei also . Dann ist


Aufgabe (9 (2+1+2+2+2) Punkte)

Zwei Schwimmer, und , schwimmen auf einer -Meter-Bahn einen Kilometer lang. Schwimmer schwimmt (das ist besser als der Weltrekord) und Schwimmer schwimmt .

  1. Erstelle in einem Diagramm für beide Schwimmer den Graphen der jeweiligen Abbildung, die für die Zeit zwischen und Sekunden angibt, wie weit der Schwimmer von der Startlinie zu diesem Zeitpunkt (wirklich, also unter Berücksichtigung der Wenden) entfernt ist.
  2. Wie weit von der Startlinie entfernt befindet sich Schwimmer (und Schwimmer ) nach Sekunden?
  3. Nach wie vielen Sekunden begegnen sich die beiden Schwimmer zum ersten Mal (abgesehen vom Start)?
  4. Wie oft begegnen sich die beiden Schwimmer (Start mitzählen)?
  5. Wie oft überrundet Schwimmer den Schwimmer ?


Lösung

  1. Graphzweischwimmer.png





  2. Nach Sekunden hat Schwimmer Meter zurückgelegt, er ist also Meter hin und Meter zurückgeschwommen. Somit befindet er sich Meter vom Start entfernt. Nach Sekunden hat Schwimmer Meter zurückgelegt, er befindet sich also Meter vom Start entfernt.
  3. Die erste Begegnung findet statt, wenn Schwimmer das erste Mal zurückschwimmt und noch hinschwimmt. Wir machen den Ansatz

    Dies führt auf

    also

  4. Nach Sekunden sind beide Schwimmer wieder am Startpunkt (siehe die Skizze), hat dabei Meter zurückgelegt, nur Meter. In diesem Zeitraum begegnen sie sich fünfmal (den Start mitgezählt, die letzte Begegnung jedoch nicht), dies wiederholt sich dreimal und dann muss noch Meter schwimmen, wobei er noch einmal unterwegs begegnet. Dies führt auf Begegnungen.
  5. Schwimmer überrundet Schwimmer dreimal, nämlich am Startpunkt nach , nach und nach .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und ein beliebiges Element. Bestimme, welche Potenzen man (ausgehend von und bei optimaler Verwertung von Zwischenschritten) mit einer, zwei, drei oder vier Multiplikationen erhalten kann.


Lösung

Wir gehen rekursiv vor, da jede Potenz sich durch Multiplikation einer zuvor erhaltenen Potenz ergibt. Wenn dabei die Faktoren gleiche Potenzen verwenden, müssen diese nicht doppelt gezählt werden, da man ja die Ergebnisse von Zwischenmultiplikationen wiederverwenden kann.

Mit einer Multiplikation kann man offenbar nur erhalten.

Mit zwei Multiplikationen kann man

und

erhalten und sonst keine Potenz, da ja alle möglichen Multiplikationen notiert wurden.

Mit drei Multiplikationen kann man

erhalten. kann man nicht mit drei Multiplikationen erreichen, da in (dem einzigen ernsthaften Kandidat) schon vier Multiplikationen drin sind.

Mit vier Multiplikationen kann man

und

erhalten. Weitere Möglichkeiten gibt es nicht. Wenn nämlich nicht als Faktor vorkommt, so gibt es von den noch nicht abgedeckten Potenzen nur , doch dieser Aufbau braucht fünf Multiplikationen.


Aufgabe (6 (2+4) Punkte)

Zeige, dass in einem archimedisch angeordneten Körper die folgenden Eigenschaften gelten.

  1. Zu jedem gibt es eine natürliche Zahl mit .
  2. Zu zwei Elementen gibt es eine rationale Zahl (mit ) mit


Lösung

(1). Es ist eine wohldefinierte, nach Lemma 5.2 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))  (7) positive reelle Zahl. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es eine natürliche Zahl mit . Dies ist nach Lemma 5.2 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))  (6) äquivalent zu


(2). Wegen ist und daher gibt es nach (2) ein mit . Wegen (1) gibt es auch ein mit . Wegen der Archimedes-Eigenschaft gibt es ein mit . Nach Lemma 5.2 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))  (3) gilt daher . Daher gibt es auch ein derart, dass

ist. Damit ist einerseits und andererseits

wie gewünscht.


Aufgabe (3 Punkte)

Man finde ein Polynom vom Grad , für welches

gilt.


Lösung

Mit dem Ansatz

gelangen wir zum linearen Gleichungssystem

Die Gleichungen und sind

und

Daraus ergibt sich ()

also

Daraus ergibt sich

und

Es ist also


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Cauchy-Folge in , die keine Nullfolge sei. Zeige, dass es ein derart gibt, dass entweder alle , , positiv oder negativ sind.


Lösung

Da keine Nullfolge ist, gibt es ein derart, dass es zu jedem ein mit gibt. Da es sich um eine Cauchy-Folge handelt, gibt es zu ein derart, dass für alle die Abschätzung gilt. Sei nun so gewählt, dass ist.

Bei gilt für alle die Abschätzung

so dass für alle Folgenglieder positiv sind.

Bei gilt für alle die Abschätzung

so dass für alle Folgenglieder negativ sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.


Lösung

Für jedes und jedes gilt die Beziehung

und daher gilt für die Partialsummen die Beziehung (bei )

Für und konvergiert dies wegen Lemma 8.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) und Aufgabe 8.22 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) gegen .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

Zeige, dass für alle die folgende Beziehung gilt: Wenn

dann ist


Lösung

Unter der Bedingung

ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

Zeige, dass zwischen und eine Nullstelle besitzt, und bestimme diese bis auf einen Fehler von .


Lösung

Es ist

und

deshalb gibt es nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle zwischen und . Es ist

Deshalb gibt es eine Nullstelle in . Es ist

Eine Nullstelle liegt also in .


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen .


Lösung

Nach Definition . ist

Die Ableitung nach ist aufgrund von Satz 16.3 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) und Korollar 16.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) unter Verwendung der Kettenregel gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.


Lösung

Wegen der Stetigkeit von und der vorausgesetzten stetigen Differenzierbarkeit von existieren beide Integrale. Es sei eine Stammfunktion von , die aufgrund von Korollar 19.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) existiert. Nach der Kettenregel hat die zusammengesetzte Funktion

die Ableitung . Daher gilt insgesamt


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen

und ein kompaktes Intervall aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird).


Lösung

Aufgrund des Mittelwertsatz der Integralrechnung, angewendet auf die Ableitung , gibt es ein mit

Division durch liefert den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren

gegebene Basis im .


Lösung

In den Spalten von müssen die Koordinaten der Vektoren bezüglich der Standardbasis stehen, also ist direkt

Umgekehrt ist wegen


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine -Matrix und eine -Matrix und es seien

die zugehörigen linearen Abbildungen. Zeige, dass das Matrixprodukt die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.


Lösung

Die Gleichheit von linearen Abbildungen kann man auf der Standardbasis des nachweisen. Es ist

Dabei sind die Koeffizienten

gerade die Einträge in der Produktmatrix .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix


Lösung

Das charakteristische Polynom ist

Somit sind Eigenwerte mit algebraischer und geometrischer Vielfachheit .

Der Eigenraum zu ist der Kern von . Dieser ist

Der Eigenraum zu ist der Kern von . Dieser ist

Der Eigenraum zu ist der Kern von . Dieser ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine Matrix mit (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von das Produkt der Eigenwerte ist.


Lösung

Aufgrund der verschiedenen Eigenwerte ist nach Korollar 28.10 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) diagonalisierbar. Es gibt daher nach [[Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Charakterisierungen/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Charakterisierungen/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))]] eine invertierbare Matrix derart, dass

eine Diagonalmatrix ist, wobei in der Diagonalen die verschiedenen Eigenwerte stehen. Nach [[Determinante/Multiplikationssatz/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Determinante/Multiplikationssatz/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))]] und Fakt ***** ist