Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/28/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	2	9	5	6	3	4	4	3	3	2	4	2	2	2	4	4	65

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Betrag einer reellen Zahl.
2. Der Imaginärteil einer komplexen Zahl ${}z$.
3. Die reelle Exponentialfunktion.
4. Eine Stammfunktion zu einer Funktion ${}f\colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R}$.
5. Die Matrizenmultiplikation.
6. Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem ${}K$-Vektorraum ${}V$.

Lösung

1. Für eine reelle Zahl ${}x\in \mathbb {R}$ ist der Betrag folgendermaßen definiert.

   ${}\vert {x}\vert ={\begin{cases}x,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\-x,{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}\,$

2. Zu einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ nennt man ${}b$ den Imaginärteil von ${}z$.
3. Die Funktion

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},$

   heißt (reelle) Exponentialfunktion.

4. Eine Funktion ${}F\colon {]a,b[}\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Stammfunktion zu ${}f$, wenn ${}F$ auf ${}]a,b[$ differenzierbar ist und ${}F'(x)=f(x)$ für alle ${}x\in {]a,b[}$ gilt.
5. Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$- Matrix und ${}B$ eine ${}n\times p$-Matrix über ${}K$. Dann ist das Matrixprodukt

   $AB$

   diejenige ${}m\times p$-Matrix, deren Einträge durch

   ${}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$

   gegeben sind.

6. Die Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung

   $\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}=0$

   nur bei ${}a_{i}=0$ für alle ${}i$ möglich ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über beschränkte Teilmengen von ${}\mathbb {R}$.
2. Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produktes.
3. Der Satz über die Beziehung von Stetigkeit und Riemann-Integrierbarkeit.

Lösung

1. Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum in ${}\mathbb {R}$.
2. Es seien

   $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$

   zwei absolut konvergente Reihen reeller Zahlen. Dann ist auch das Cauchy-Produkt ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ absolut konvergent und für die Summe gilt

   ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)}\,.$

3. Sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige Funktion. Dann ist ${}f$ Riemann-integrierbar.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ und ${}P$ Mengen und es seien

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

$G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$

und

$H\colon N\longrightarrow P,\,z\longmapsto H(z),$

Abbildungen. Zeige, dass dann

${}H\circ (G\circ F)=(H\circ G)\circ F\,$

gilt.

Lösung

Zwei Abbildungen ${}\alpha ,\beta \colon L\rightarrow P$ sind genau dann gleich, wenn für jedes ${}x\in L$ die Gleichheit ${}\alpha (x)=\beta (x)$ gilt. Es sei also ${}x\in L$. Dann ist

${}{\begin{aligned}(H\circ (G\circ F))(x)&=H((G\circ F)(x))\\&=H(G(F(x)))\\&=(H\circ G)(F(x))\\&=((H\circ G)\circ F)(x).\end{aligned}}$

Aufgabe (9 (2+1+2+2+2) Punkte)

Zwei Schwimmer, ${}A$ und ${}B$, schwimmen auf einer ${}50$-Meter-Bahn einen Kilometer lang. Schwimmer ${}A$ schwimmt ${}3m/s$ (das ist besser als der Weltrekord) und Schwimmer ${}B$ schwimmt ${}2m/s$.

1. Erstelle in einem Diagramm für beide Schwimmer den Graphen der jeweiligen Abbildung, die für die Zeit zwischen ${}0$ und ${}100$ Sekunden angibt, wie weit der Schwimmer von der Startlinie zu diesem Zeitpunkt (wirklich, also unter Berücksichtigung der Wenden) entfernt ist.
2. Wie weit von der Startlinie entfernt befindet sich Schwimmer ${}A$ (und Schwimmer ${}B$) nach ${}30$ Sekunden?
3. Nach wie vielen Sekunden begegnen sich die beiden Schwimmer zum ersten Mal (abgesehen vom Start)?
4. Wie oft begegnen sich die beiden Schwimmer (Start mitzählen)?
5. Wie oft überrundet Schwimmer ${}A$ den Schwimmer ${}B$?

Lösung

1. 

   ${}\,$

   
   

   
   

   
   

   
   

2. Nach ${}30$ Sekunden hat Schwimmer ${}A$ ${}90$ Meter zurückgelegt, er ist also ${}50$ Meter hin und ${}40$ Meter zurückgeschwommen. Somit befindet er sich ${}10$ Meter vom Start entfernt. Nach ${}30$ Sekunden hat Schwimmer ${}B$ ${}60$ Meter zurückgelegt, er befindet sich also ${}40$ Meter vom Start entfernt.
3. Die erste Begegnung findet statt, wenn Schwimmer ${}A$ das erste Mal zurückschwimmt und ${}B$ noch hinschwimmt. Wir machen den Ansatz

   ${}2t=50-3(t-16{\frac {2}{3}})\,.$

   Dies führt auf

   ${}5t=100\,,$

   also

   ${}t=20\,.$

4. Nach ${}100$ Sekunden sind beide Schwimmer wieder am Startpunkt (siehe die Skizze), ${}A$ hat dabei ${}300$ Meter zurückgelegt, ${}B$ nur ${}200$ Meter. In diesem Zeitraum begegnen sie sich fünfmal (den Start mitgezählt, die letzte Begegnung jedoch nicht), dies wiederholt sich dreimal und dann muss ${}A$ noch ${}100$ Meter schwimmen, wobei er ${}B$ noch einmal unterwegs begegnet. Dies führt auf ${}17$ Begegnungen.
5. Schwimmer ${}A$ überrundet Schwimmer ${}B$ dreimal, nämlich am Startpunkt nach ${}100s$, nach ${}200s$ und nach ${}300s$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}a\in K$ ein beliebiges Element. Bestimme, welche Potenzen ${}a^{n}$ man (ausgehend von ${}a$ und bei optimaler Verwertung von Zwischenschritten) mit einer, zwei, drei oder vier Multiplikationen erhalten kann.

Lösung

Wir gehen rekursiv vor, da jede Potenz sich durch Multiplikation einer zuvor erhaltenen Potenz ergibt. Wenn dabei die Faktoren gleiche Potenzen verwenden, müssen diese nicht doppelt gezählt werden, da man ja die Ergebnisse von Zwischenmultiplikationen wiederverwenden kann.

Mit einer Multiplikation kann man offenbar nur ${}a^{2}=a\cdot a$ erhalten.

Mit zwei Multiplikationen kann man

${}a^{3}=a\cdot a^{2}\,$

und

${}a^{4}=(a^{2})\cdot (a^{2})\,$

erhalten und sonst keine Potenz, da ja alle möglichen Multiplikationen notiert wurden.

Mit drei Multiplikationen kann man

${}a^{5}=(a^{4})\cdot a\,,$

${}a^{6}=(a^{4})\cdot (a^{2})\,,$

${}a^{8}=(a^{4})\cdot (a^{4})\,$

erhalten. ${}a^{7}$ kann man nicht mit drei Multiplikationen erreichen, da in (dem einzigen ernsthaften Kandidat) ${}(a^{3})\cdot (a^{4})$ schon vier Multiplikationen drin sind.

Mit vier Multiplikationen kann man

${}a^{7}=(a^{6})\cdot a\,,$

${}a^{9}=(a^{8})\cdot a\,,$

${}a^{10}=(a^{8})\cdot (a^{2})\,,$

${}a^{12}=(a^{8})\cdot (a^{4})\,$

und

${}a^{16}=(a^{8})\cdot (a^{8})\,$

erhalten. Weitere Möglichkeiten gibt es nicht. Wenn nämlich ${}a^{8}$ nicht als Faktor vorkommt, so gibt es von den noch nicht abgedeckten Potenzen nur ${}(a^{5})\cdot (a^{6})$, doch dieser Aufbau braucht fünf Multiplikationen.

Aufgabe (6 (2+4) Punkte)

Zeige, dass in ${}\mathbb {R}$ die folgenden Eigenschaften gelten.

1. Zu jedem ${}x>0$ gibt es eine natürliche Zahl ${}n$ mit ${}{\frac {1}{n}}\leq x$.
2. Zu zwei reellen Zahlen

   ${}x<y\,$

   gibt es eine rationale Zahl ${}n/k$ (mit ${}n\in \mathbb {Z} ,\,k\in \mathbb {N} _{+}$) mit

   ${}x<{\frac {n}{k}}<y\,.$

Lösung

(1). Es ist ${}x^{-1}$ eine wohldefinierte, nach Lemma 5.2 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))  (7) positive reelle Zahl. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es eine natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}n>x^{-1}$. Dies ist nach Lemma 5.2 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))  (6) äquivalent zu

${}{\frac {1}{n}}=n^{-1}<(x^{-1})^{-1}=x\,.$

(2). Wegen ${}y>x$ ist ${}y-x>0$ und daher gibt es nach (2) ein ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}{\frac {1}{k}}<y-x$. Wegen (1) gibt es auch ein ${}n'\in \mathbb {N}$ mit ${}n'{\frac {1}{k}}>x$. Wegen der Archimedes-Eigenschaft gibt es ein ${}{\tilde {n}}\in \mathbb {N}$ mit ${}{\tilde {n}}\geq -xk$. Nach Lemma 5.2 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))  (3) gilt daher ${}(-{\tilde {n}}){\frac {1}{k}}\leq x$. Daher gibt es auch ein ${}n\in \mathbb {Z}$ derart, dass

$n{\frac {1}{k}}>x{\text{ und }}(n-1){\frac {1}{k}}\leq x$

ist. Damit ist einerseits ${}x<{\frac {n}{k}}$ und andererseits

${}{\frac {n}{k}}={\frac {n-1}{k}}+{\frac {1}{k}}<x+y-x=y\,$

wie gewünscht.

Aufgabe (3 Punkte)

Man finde ein Polynom ${}f$ vom Grad ${}\leq 2$, für welches

$f(1)=10,\,f(-2)=1,\,f(3)=16$

gilt.

Lösung

Mit dem Ansatz

${}f=aX^{2}+bX+c\,$

gelangen wir zum linearen Gleichungssystem

${}a+b+c=10\,,$

${}4a-2b+c=1\,,$

${}9a+3b+c=16\,.$

Die Gleichungen ${}II-I$ und ${}III-I$ sind

${}3a-3b=-9\,$

und

${}8a+2b=6\,.$

Daraus ergibt sich (${}2II'+3III'$)

${}30a=0\,,$

also

${}a=0\,.$

Daraus ergibt sich

${}b=3\,$

und

${}c=7\,.$

Es ist also

${}f=3X+7\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}\mathbb {Q}$, die keine Nullfolge sei. Zeige, dass es ein ${}N\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass entweder alle ${}x_{n}$, ${}n\geq N$, positiv oder negativ sind.

Lösung

Da ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ keine Nullfolge ist, gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass es zu jedem ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ ein ${}n\geq n_{0}$ mit ${}\vert {x_{n}}\vert >\epsilon$ gibt. Da es sich um eine Cauchy-Folge handelt, gibt es zu ${}\epsilon /2$ ein ${}k$ derart, dass für alle ${}m,n\geq k$ die Abschätzung ${}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq \epsilon /2$ gilt. Es sei nun ${}n\geq k$ so gewählt, dass ${}\vert {x_{n}}\vert >\epsilon$ ist.

Bei ${}x_{n}>0$ gilt für alle ${}m\geq n$ die Abschätzung

${}{\begin{aligned}x_{m}&=x_{n}+x_{m}-x_{n}\\&\geq x_{n}-{\frac {\epsilon }{2}}\\&\geq \epsilon -{\frac {\epsilon }{2}}\\&={\frac {\epsilon }{2}},\end{aligned}}$

so dass für ${}m\geq n$ alle Folgenglieder positiv sind.

Bei ${}x_{n}<0$ gilt für alle ${}m\geq n$ die Abschätzung

${}{\begin{aligned}x_{m}&=x_{n}+x_{m}-x_{n}\\&\leq x_{n}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&\leq -\epsilon +{\frac {\epsilon }{2}}\\&=-{\frac {\epsilon }{2}},\end{aligned}}$

so dass für ${}m\geq n$ alle Folgenglieder negativ sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.

Lösung

Für jedes ${}x$ und jedes ${}n\in \mathbb {N}$ gilt die Beziehung

${}(x-1){\left(\sum _{k=0}^{n}x^{k}\right)}=x^{n+1}-1\,$

und daher gilt für die Partialsummen die Beziehung (bei ${}x\neq 1$)

${}s_{n}=\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}\,.$

Für ${}n\rightarrow \infty$ und ${}\vert {x}\vert <1$ konvergiert dies wegen Lemma 8.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) und Aufgabe 8.25 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) gegen ${}{\frac {-1}{x-1}}={\frac {1}{1-x}}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

${}f(x)=2x^{3}-4x+5\,.$

Zeige, dass für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die folgende Beziehung gilt: Wenn

${}\vert {x-3}\vert \leq {\frac {1}{800}}\,,$

dann ist

${}\vert {f(x)-f(3)}\vert \leq {\frac {1}{10}}\,.$

Lösung

Unter der Bedingung

${}\vert {x-3}\vert \leq {\frac {1}{800}}\,$

ist

${}{\begin{aligned}\vert {f(x)-f(3)}\vert &=\vert {2x^{3}-4x+5-2\cdot 3^{3}+4\cdot 3-5}\vert \\&=\vert {2(x^{3}-3^{3})-4(x-3)}\vert \\&\leq 2\vert {x^{3}-3^{3}}\vert +4\vert {x-3}\vert \\&\leq 2\vert {x-3}\vert \cdot \vert {x^{2}+3x+3^{2}}\vert +{\frac {4}{800}}\\&\leq 2\cdot {\frac {1}{800}}\cdot \vert {16+12+9}\vert +{\frac {4}{800}}\\&={\frac {78}{800}}\\&\leq {\frac {1}{10}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

${}f(x)=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}\,.$

Zeige, dass ${}f$ zwischen ${}1$ und ${}2$ eine Nullstelle besitzt, und bestimme diese bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{4}}$.

Lösung

Es ist

${}f(1)=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24}}>0\,$

und

${}f(2)=1-2+{\frac {16}{24}}=-1+{\frac {2}{3}}<0\,,$

deshalb gibt es nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle zwischen ${}1$ und ${}2$. Es ist

${}{\begin{aligned}f\left({\frac {3}{2}}\right)&=1-{\frac {\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}}{2}}+{\frac {\left({\frac {3}{2}}\right)^{4}}{24}}\\&=1-{\frac {9}{8}}+{\frac {27}{128}}\\&={\frac {11}{128}}\\&>0.\end{aligned}}$

Deshalb gibt es eine Nullstelle in ${}[{\frac {3}{2}},2]$. Es ist

${}{\begin{aligned}f\left({\frac {7}{4}}\right)&=1-{\frac {\left({\frac {7}{4}}\right)^{2}}{2}}+{\frac {\left({\frac {7}{4}}\right)^{4}}{24}}\\&=1-{\frac {49}{32}}+{\frac {2401}{6144}}\\&={\frac {6144-9408+2401}{1536}}\\&<0.\end{aligned}}$

Eine Nullstelle liegt also in ${}[{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}}]$.

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen ${}x\mapsto x^{\alpha }$.

Lösung

Nach Definition . ist

${}x^{\alpha }=\exp \left(\alpha \,\ln x\right)\,.$

Die Ableitung nach ${}x$ ist aufgrund von Satz 16.3 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) und Korollar 16.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) unter Verwendung der Kettenregel gleich

${}{\left(x^{\alpha }\right)}'={\left(\exp \left(\alpha \,\ln x\right)\right)}'={\frac {\alpha }{x}}\cdot \exp \left(\alpha \,\ln x\right)={\frac {\alpha }{x}}x^{\alpha }=\alpha x^{\alpha -1}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.

Lösung

Wegen der Stetigkeit von ${}f$ und der vorausgesetzten stetigen Differenzierbarkeit von ${}g$ existieren beide Integrale. Es sei ${}F$ eine Stammfunktion von ${}f$, die aufgrund von Korollar 19.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) existiert. Nach der Kettenregel hat die zusammengesetzte Funktion

${}t\mapsto F(g(t))=(F\circ g)(t)\,$

die Ableitung ${}F'(g(t))g'(t)=f(g(t))g'(t)$. Daher gilt insgesamt

${}\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=(F\circ g)|_{a}^{b}=F(g(b))-F(g(a))=F|_{g(a)}^{g(b)}=\int _{g(a)}^{g(b)}f(s)\,ds\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

und ein kompaktes Intervall ${}[a,b]\subset \mathbb {R}$ aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird).

Lösung

Aufgrund des Mittelwertsatz der Integralrechnung, angewendet auf die Ableitung ${}g'$, gibt es ein ${}c\in [a,b]$ mit

${}g(b)-g(a)=\int _{a}^{b}g'(t)dt=(b-a)g'(c)\,.$

Division durch ${}b-a$ liefert den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ und ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ für die Standardbasis ${}{\mathfrak {u}}$ und die durch die Vektoren

$v_{1}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},\,\,v_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,v_{4}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}$

gegebene Basis ${}{\mathfrak {v}}$ im ${}\mathbb {R} ^{4}$.

Lösung

In den Spalten von ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ müssen die Koordinaten der Vektoren ${}v_{j}$ bezüglich der Standardbasis ${}u_{i}$ stehen, also ist direkt

${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}\,.$

Umgekehrt ist wegen ${}u_{1}=v_{2}$, ${}u_{2}=v_{4}$, ${}u_{3}=v_{1}$, ${}u_{4}=v_{3}$

${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&1&0&0\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}B$ eine ${}n\times p$- Matrix und ${}A$ eine ${}m\times n$-Matrix und es seien

$K^{p}{\stackrel {B}{\longrightarrow }}K^{n}{\stackrel {A}{\longrightarrow }}K^{m}$

die zugehörigen linearen Abbildungen. Zeige, dass das Matrixprodukt ${}A\circ B$ die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.

Lösung

Die Gleichheit von linearen Abbildungen kann man auf der Standardbasis ${}e_{1},\ldots ,e_{p}$ des ${}K^{p}$ nachweisen. Es ist

${}{\begin{aligned}{\left(A\circ B\right)}{\left(e_{k}\right)}&=A(B(e_{k}))\\&=A{\left(\sum _{j=1}^{n}b_{jk}e_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}b_{jk}{\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij}e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{m}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)}e_{i}\\&=\sum _{i=1}^{m}c_{ik}e_{i}.\end{aligned}}$

Dabei sind die Koeffizienten

${}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$

gerade die Einträge in der Produktmatrix ${}A\circ B$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix

${\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$

Lösung

Das charakteristische Polynom ist

${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}x&-1&0\\-1&x&0\\0&0&x\end{pmatrix}}&=x^{3}-x\\&=x(x^{2}-1)\\&=x(x-1)(x+1).\end{aligned}}$

Somit sind ${}0,1,-1$ Eigenwerte mit algebraischer und geometrischer Vielfachheit ${}1$.

Der Eigenraum zu ${}0$ ist der Kern von ${}{\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$. Dieser ist

$\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.$

Der Eigenraum zu ${}1$ ist der Kern von ${}{\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$. Dieser ist

$\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}.$

Der Eigenraum zu ${}-1$ ist der Kern von ${}{\begin{pmatrix}-1&-1&0\\-1&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$. Dieser ist

$\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ eine Matrix mit ${}n$ (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von ${}M$ das Produkt der Eigenwerte ist.

Lösung

Aufgrund der verschiedenen Eigenwerte ist ${}\varphi$ nach Korollar 28.10 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) diagonalisierbar. Es gibt daher nach [[Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Charakterisierungen/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Charakterisierungen/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]] eine invertierbare Matrix ${}B$ derart, dass

$BMB^{-1}$

eine Diagonalmatrix ist, wobei in der Diagonalen die verschiedenen Eigenwerte ${}d_{1},\ldots ,d_{n}$ stehen. Nach [[Determinante/Multiplikationssatz/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Determinante/Multiplikationssatz/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]] und Lemma 26.8 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) ist

${}\det M=\det BMB^{-1}=d_{1}\cdots d_{n}\,.$