Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/40/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 4 2 3 1 3 5 1 5 2 4 4 3 4 9 7 1 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine bijektive Abbildung
  2. Die Konvergenz einer reellen Folge gegen .
  3. Die geometrische Reihe für .
  4. Der Kotangens.
  5. Ein Vektorraum über einem Körper .
  6. Der Kern einer linearen Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Cauchykriterium für Reihen.
  2. Der Satz von Rolle.
  3. Der Satz über Basiswechsel bei einem Endomorphismus.


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Es sei , , eine Familie von Mengen. Wir setzen

a) Zeige

b) Zeige, dass die Vereinigung disjunkt ist, dass also

für ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.


Aufgabe * (1 Punkt)

Eine Termitenkönigin legt Eier pro Tag und lebt zwanzig Jahre lang (am . Februar legt sie keine Eier). Wie viele Eier legt sie in ihrem Leben?


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

eine quadratische Gleichung über einem Körper , und es sei eine Lösung davon. Zeige, dass auch eine Lösung der Gleichung ist.


Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

  1. Bestimme die Glieder der Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startglied
  2. Finde ganze Zahlen

    mit


Aufgabe (1 Punkt)

Jemand sagt zur Folge . „Der Zähler und der Nenner gehen hier beide gegen unendlich. Doch der Nenner geht deutlich schneller gegen unendlich, deshalb konvergiert die Folge gegen “. Beurteile diese Argumentation.


Aufgabe * (5 Punkte)

Eisenbeis Sprungrampe.png

Frau Dr. Eisenbeis möchte für ihre Neffen Richy und Franky eine Fahrrad-Sprungrampe basteln. Die Steigung soll entlang eines Kreissegmentes der Länge (alle Angaben in Meter) verlaufen und eine Sprunghöhe von erreichen (siehe Bild). Welche (implizite) Bedingung muss der Winkel erfüllen (die Bedingung muss so sein, dass sie mit einer Intervallhalbierung gelöst werden könnte, diese muss aber nicht durchgeführt werden)?


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei und seien Funktionen. Dabei seien und differenzierbar im Punkt und es gelte für alle . Ferner sei

Zeige, dass auch in differenzierbar ist, und dass

gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Regel von l'Hospital.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

für .


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten -Vektorraum .


Aufgabe * (9 (1+1+6+1) Punkte)

Aus den Rohstoffen und werden verschiedene Produkte hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen (jeweils in geeigneten Einheiten).

11 5 3
8 4 6
7 30 1
12 0 15

a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.

b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.

Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?

c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.

Zeige, dass man daraus kein Produkttupel ohne Abfall produzieren kann.

d) Wie viel vom Produkt kann man mit den unter c) gelieferten Rohstoffen produzieren, wie viel vom Produkt ?


Aufgabe * (7 (5+2) Punkte)

Es sei eine -Matrix über dem Körper mit dem Rang .

  1. Zeige, dass es eine -Matrix und eine -Matrix , beide mit dem Rang , mit gibt.
  2. Sei . Zeige, dass es nicht möglich ist, mit einer -Matrix und einer -Matrix zu schreiben.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Eigenvektoren der Funktion , .