Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/46/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	1	3	3	1	2	2	5	3	3	5	3	5	3	3	2	4	1	9	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein angeordneter Körper.
2. Die absolute Konvergenz einer reellen Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$.
3. Eine ungerade Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
4. Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem beschränkten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

5. Ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines ${}K$-Vektorraumes ${}V$.
6. Der Kern einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen zwei ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Regel für die Konvergenz der inversen Folge einer reellen Folge.
2. Die Periodizätseigenschaften für Sinus und Kosinus (ohne spezielle Werte).
3. Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen.

Aufgabe * (1 Punkt)

In einer psychologischen Längsschnittstudie wird die Entwicklung von Einstellungen und Verhaltensweisen von Personen untersucht. Ein Fallbeispiel: Im Alter von ${}20$ Jahren geht Linda regelmäßig auf Demonstrationen, sie hilft im Eine-Welt-Laden mit, braut ökologisches Bier, kocht Bio-Gemüse und studiert manchmal Soziologie.

Welcher der folgenden Befunde ist nach 10 Jahren am unwahrscheinlichsten?

1. Linda arbeitet für eine Versicherungsagentur.
2. Linda engagiert sich bei Attac und arbeitet für eine Versicherungsagentur.
3. Linda engagiert sich bei Attac.

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir fassen die Lösung eines Sudokus (unabhängig von Zahlenvorgaben) als eine Abbildung

$\{1,2,\ldots ,9\}\times \{1,2,\ldots ,9\}\longrightarrow \{1,2,\ldots ,9\},\,(i,j)\longmapsto a_{i,j},$

auf. Charakterisiere mit dem Begriff der Bijektivität, dass eine korrekte Lösung vorliegt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere die Funktion

$\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto -\left\lfloor -x\right\rfloor .$

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestätige die Gleichung

${}(-2+{\mathrm {i} })^{3}+(-2-{\mathrm {i} })^{3}=(1+{\mathrm {i} })^{4}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}-7x+5.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Berechne

${\left(x-{\frac {{\sqrt {3}}+1}{4}}\right)}^{2}{\left(x-{\frac {-{\sqrt {3}}+1}{4}}\right)}^{2}-{\frac {1}{8}}x-{\frac {1}{64}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Konzept „Approximation“ anhand typischer Beispiele.

Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}={\frac {7n^{4}-2n^{2}+5}{4n^{4}-5n^{3}+n-6}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge,

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion und ${}x\in T$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${}f$ ist stetig im Punkt ${}x$.
2. Für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel

${}{\left(f^{2}\right)}'=2f\cdot f'\,$

mit Hilfe von

${}fg={\frac {1}{4}}{\left((f+g)^{2}-(f-g)^{2}\right)}\,.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den zweiten Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}f\in \mathbb {R} [X]$ ein Polynom vom Grad ${}n$ und ${}a\in \mathbb {R}$. Zeige unter Verwendung der Taylor-Formel, dass das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ zu ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}a$ mit ${}f$ übereinstimmt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von

${}f(x)=-e^{\sin x}\cos x-e^{x}\sin \left(e^{x}\right)+{\frac {7x}{x^{2}+3}}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix}}\,$

mit ${}\lambda \in K$. Zeige durch Induktion, dass

${}M^{n}={\begin{pmatrix}\lambda ^{n}&n\lambda ^{n-1}\\0&\lambda ^{n}\end{pmatrix}}\,$

ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen. Bestimme die Anzahl der nicht invertierbaren ${}2\times 2$- Matrizen über ${}K$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Determinante zur Matrix

${\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\1&1&1&0&0\\0&1&1&1&0\\0&0&1&1&1\\0&0&0&1&1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (9 (2+3+4) Punkte)

Wir betrachten die reelle Matrix

${}M={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}\,.$

a) Bestimme

$M^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

für ${}n=1,2,3,4$.

b) Sei

${}{\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}}:=M^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\,.$

Erstelle eine Beziehung zwischen den Folgen ${}x_{n}$ und ${}y_{n}$ und Rekursionsformeln für diese Folgen.

c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu ${}M$.