Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/51/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 1 2 1 5 3 4 4 5 10 3 1 5 5 3 6 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die leere Menge.
  2. Eine reelle Intervallschachtelung.
  3. Ein isoliertes lokales Maximum einer Funktion .
  4. Der Differenzenquotient zu einer Funktion in einem Punkt .
  5. Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion .
  6. Der von einer Familie von Vektoren , aus einem -Vektorraum aufgespannte Untervektorraum.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über hintereinandergeschaltete stetige Funktionen.
  2. Der Satz über die Monotonieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen.
  3. Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung


Aufgabe * (1 Punkt)

Formuliere die Kontraposition zu folgender Aussage von Professor Knopfloch: „Wenn Sie mein Schreiben vollständig gelesen und verstanden haben, dann antworten Sie mit Ihrer Uni-email“.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine Menge und zwei verschiedene Elemente. Definiere durch eine Fallunterscheidung eine Bijektion von nach , die und vertauscht, und sonst alle Elemente unverändert lässt.


Aufgabe * (1 Punkt)

Berechne


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die allgemeine binomische Formel.


Aufgabe * (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Aufgabe * (4 Punkte)

Betrachte die Folge und . Welche der Pseudokonvergenzbegriffe (siehe Angeordneter Körper/Folge/Pseudokonvergenz/Pseudo/Definition) treffen zu?


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.


Aufgabe * (5 (1+3+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

auf .

  1. Bestimme die erste und die zweite Ableitung von .
  2. Bestimme die lokalen Extrema von .
  3. Bestimme das Monotonieverhalten von .


Aufgabe * (10 Punkte)

Es sei

eine Riemann-integrierbare Funktion. Zu sei

diejenige untere Treppenfunktion zu zur äquidistanten Unterteilung in gleichlange Intervalle, die auf dem Teilintervall

(für sei das Intervall rechtsseitig abgeschlossen) das Infimum von , , annimmt. Zeige, dass die Folge der Treppenintegrale zu gegen konvergiert.


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Wir betrachten die beiden Funktionen

und

  1. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von und
  2. Die beiden Graphen schließen eine endliche Fläche ein. Bestimme deren Flächeninhalt.


Aufgabe * (1 Punkt)

Beschreibe die Gerade im , die durch die beiden Punkte und verläuft, in Punktvektorform.


Aufgabe * (5 (3+1+1) Punkte)

In der großen Pause fährt das Süßwarenmobil von Raul Zucchero auf den Schulhof. Gabi kauft einen Schokoriegel, zwei Packungen Brausepulver und drei saure Zungen und zahlt dafür €. Lucy kauft zwei Schokoriegel, eine Packung Brausepulver und zwei saure Zungen und zahlt dafür €. Veronika kauft drei Packungen Brausepulver und vier saure Zungen und zahlt dafür einen Euro.

  1. Kann man daraus die Preise rekonstruieren?
  2. Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise volle positive Centbeträge sind?
  3. Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise positive Vielfache von Zehn-Cent-Beträgen sind?


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren

gegebene Basis im .


Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen -Vektorraum und eine lineare Abbildung , die surjektiv, aber nicht injektiv ist.


Aufgabe * (6 (1+1+1+1+2) Punkte)

Wir betrachten Matrizen der Form

  1. Berechne
  2. Ist die Matrizenmultiplikation für solche Matrizen kommutativ?
  3. Bestimme die Determinante von .
  4. Man gebe eine Matrix der Form

    an, die nicht invertierbar ist.

  5. Sei

    invertierbar. Ist die Inverse der Matrix ebenfalls von diesem Typ?



Anhang


Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei .

  1. Man sagt, dass die Folge gegen hypervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , und alle gilt die Beziehung
  2. Man sagt, dass die Folge gegen supervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  3. Man sagt, dass die Folge gegen megavergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein derart, dass für alle und jedes , , die Beziehung

    gilt.

  4. Man sagt, dass die Folge gegen pseudovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass die Beziehung

    gilt.

  5. Man sagt, dass die Folge gegen semivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , und jedem gibt es ein , , derart, dass die Beziehung

    gilt.

  6. Man sagt, dass die Folge gegen protovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein , , derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  7. Man sagt, dass die Folge gegen quasivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein , , und ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  8. Man sagt, dass die Folge gegen deuterovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.