Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/55/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Punkte 3 3 1 2 3 4 5 3 2 2 2 4 2 3 5 3 4 5 4 1 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine surjektive Abbildung
  2. Die bestimmte Divergenz einer reellen Folge gegen .
  3. Der Tangens.
  4. Die Taylor-Reihe im Punkt zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion .
  5. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion
  6. Die Matrizenmultiplikation.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Quotientenkriterium für eine reelle Reihe .
  2. Die Beziehung zwischen differenzierbar und stetig.
  3. Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.


Aufgabe * (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

w w w
w f w
f w w
f f f


Aufgabe * (2 Punkte)

Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.


Aufgabe * (3 Punkte)

Heidi Gonzales bringt eine Schokolade der Größe Teilstücke mit zum Treffen ihrer Abgabegruppen, wo Andreas, Peter und Sabine schon hungrig warten. Deshalb soll die Schokolade so schnell wie möglich in die Teilstücke zerlegt werden. Ein Teilungsvorgang ist die Teilung der Schokolade oder einer in einem Zwischenschritt schon entstandenen Teilschokolade längs einer Quer- oder einer Längsrille.Jede Person kann an einer Teilschokolade eine Teilung durchführen. Ein Teilungsvorgang dauert eine Sekunde. Wie lange dauert es im schnellsten Fall, bis die Schokolade in die Einzelstücke vollständig zerlegt ist?


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten das kommutative Diagramm

von Mengen und Abbildungen, d.h. es gilt

Es seien und bijektiv.

  1. Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn injektiv ist.
  2. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn surjektiv ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass für die Abschätzung

gilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms

und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in und in an.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine nichtnegative reelle Zahl. Für jedes , gelte . Zeige .


Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten die Folgen (für )

und

Konvergiert die Folge

in ? Falls ja, was ist der Grenzwert?


Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)

Karl möchte mit seinem programmierbaren Taschenrechner den Wert der Reihe annähernd berechnen. Die Anzeige des Rechners besitzt Nachkommastellen. Der Rechner schafft pro Sekunde eine Addition (also ein Reihenglied wird zur bisherigen Summe draufaddiert) der Reihe und zeigt das neue Ergebnis direkt an. Karl hat richtig programmiert und denkt sich folgende Strategie aus: „Wenn die Anzeige eine ganze Stunde lang immer das gleiche anzeigt, so wird das wohl ziemlich nah am Ergebnis sein, so dass ich das als eine gute Annäherung nehmen kann. Der Rechner soll dann aufhören“.

  1. Was ist ungefähr das letzte Reihenglied, das aufaddiert wird?
  2. Was ist von der Strategie zu halten?


Aufgabe * (2 Punkte)

Drücke

mit einer einzigen Wurzel aus.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Kreis mit Mittelpunkt und Radius und ein gegeben. Für welches verläuft die Tangente zu an den oberen Kreisbogen durch den Punkt ?


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Quotientenregel für differenzierbare Funktionen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Betragsfunktion


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Es sei eine Basis eines -Vektorraumes . Es seien von verschiedene Elemente.


a) Zeige, dass ebenfalls eine Basis von ist.

b) Bestimme die Übergangsmatrix .

c) Bestimme die Übergangsmatrix .

d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.

e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Determinante zur Matrix


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar ist oder nicht.