Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/55/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	4	5	3	2	2	2	4	2	4	5	3	4	5	4	1	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine surjektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M.$

2. Die bestimmte Divergenz einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}+\infty$.
3. Der Tangens.
4. Die Taylor-Reihe im Punkt ${}a$ zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion ${}f$.
5. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

6. Die Matrizenmultiplikation.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Quotientenkriterium für eine reelle Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$.
2. Die Beziehung zwischen differenzierbar und stetig.
3. Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.

Aufgabe * (3 Punkte)

Heidi Gonzales bringt eine Schokolade der Größe ${}4\times 6$ Teilstücke mit zum Treffen ihrer Abgabegruppen, wo Andreas, Peter und Sabine schon hungrig warten. Deshalb soll die Schokolade so schnell wie möglich in die Teilstücke zerlegt werden. Ein Teilungsvorgang ist die Teilung der Schokolade oder einer in einem Zwischenschritt schon entstandenen Teilschokolade längs einer Quer- oder einer Längsrille. Jede Person kann an einer Teilschokolade eine Teilung durchführen. Ein Teilungsvorgang dauert eine Sekunde. Wie lange dauert es im schnellsten Fall, bis die Schokolade in die Einzelstücke vollständig zerlegt ist?

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}A&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&B&\\\!\!\!\!\!g\downarrow &&\downarrow h\!\!\!\!\!&\\L&{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}&M&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

von Mengen und Abbildungen, d.h. es gilt

${}h\circ \varphi =\psi \circ g\,.$

Es seien ${}g$ und ${}h$ bijektiv.

1. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann injektiv ist, wenn ${}\psi$ injektiv ist.
2. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn ${}\psi$ surjektiv ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass für ${}n\geq 3$ die Abschätzung

${}n^{n+1}\geq (n+1)^{n}\,$

gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms

$X^{3}-1$

und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in ${}\mathbb {R} [X]$ und in ${}{\mathbb {C} }[X]$ an.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion

${}f(x)=x^{2}-3x+{\frac {4}{3}}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}x\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine nichtnegative reelle Zahl. Für jedes ${}\epsilon \in \mathbb {R} ,\,\epsilon >0$, gelte ${}x\leq \epsilon$. Zeige ${}x=0$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten die Folgen (für ${}n\geq 1$)

${}x_{n}:={\frac {1-n^{2}}{n}}\,$

und

${}y_{n}:=n\,.$

Konvergiert die Folge

${}z_{n}:=x_{n}+y_{n}\,$

in ${}\mathbb {R}$? Falls ja, was ist der Grenzwert?

Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)

Karl möchte mit seinem programmierbaren Taschenrechner den Wert der Reihe ${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ annähernd berechnen. Die Anzeige des Rechners besitzt ${}8$ Nachkommastellen. Der Rechner schafft pro Sekunde eine Addition (also ein Reihenglied wird zur bisherigen Summe draufaddiert) der Reihe und zeigt das neue Ergebnis direkt an. Karl hat richtig programmiert und denkt sich folgende Strategie aus: „Wenn die Anzeige eine ganze Stunde lang immer das gleiche anzeigt, so wird das wohl ziemlich nah am Ergebnis sein, sodass ich das als eine gute Annäherung nehmen kann. Der Rechner soll dann aufhören“.

1. Was ist ungefähr das letzte Reihenglied, das aufaddiert wird?
2. Was ist von der Strategie zu halten?

Aufgabe * (2 Punkte)

Drücke

${\sqrt[{3}]{4}}\cdot {\sqrt[{5}]{7}}$

mit einer einzigen Wurzel aus.

Aufgabe * (4 (1+2+1) Punkte)

1. Bestimme die Tangente der Exponentialfunktion durch den Punkt ${}(0,e^{0})=(0,1)$.
2. Bestimme die Gerade durch den Nullpunkt, die tangential an den Graphen der Exponentialfunktion ist.
3. Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden aus (1) und (2).

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Quotientenregel für differenzierbare Funktionen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Betragsfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert .$

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}x&+7y&\,\,\,\,-z&-3w&=&0\\x&+y&+2z&\,\,\,\,-w&=&1\\&+2y&-3z&+2w&=&3\\&\,\,\,\,-y&-5z&+4w&=&-2\,.\end{matrix}}$

Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Es sei ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis eines ${}K$- Vektorraumes ${}V$. Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ von ${}0$ verschiedene Elemente.

a) Zeige, dass ${}{\mathfrak {w}}=a_{1}v_{1},a_{2}v_{2},a_{3}v_{3},\ldots ,a_{n}w_{n}$ ebenfalls eine Basis von ${}V$ ist.

b) Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}$.

c) Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$.

d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}1\\2\\3\\\vdots \\n\end{pmatrix}}$ besitzt.

e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}1\\2\\2^{2}\\\vdots \\2^{n}\end{pmatrix}}$ besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Determinante zur Matrix

${\begin{pmatrix}0&7&4&11&8\\0&0&3&7&6\\0&0&0&1&5\\0&0&0&0&2\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

${\begin{pmatrix}-4&-1&-2&3\\6&7&7&1\\0&0&3&-2\\0&0&6&2\end{pmatrix}}$

trigonalisierbar ist oder nicht.