Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/56/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 1 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 1 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 10 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 3 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 3 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleeinundzwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Abbildung} {} $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
}{Ein \stichwort {Polynom} {} über einem Körper $K$ in einer Variablen $X$.
}{Das
\stichwort {Maximum} {}
der Funktion
\maabbdisp {f} {M} {\R
} {}
wird im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\stichwort {angenommen} {.}
}{Eine
\stichwort {Treppenfunktion} {}
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem beschränkten reellen Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Eine \stichwort {Linearkombination} {} in einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
}{Die \stichwort {geometrische Vielfachheit} {} von einem \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$ zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
}{Ein Ausdruck der Form
\mathbedtermdisp { P=a_0 + a_1X+a_2X^2 + \cdots + a_nX^n }
{ mit } { a_i \in K }
{ und } { n \in \N } { } { } { }
heißt Polynom in einer Variablen über $K$.
}{Man sagt, dass $f$ in
\mathl{x \in M}{} das Maximum annimmt, wenn
\mathdisp {f(x) \geq f(x') \text{ für alle } x' \in M \text{ gilt}} { . }
}{Eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbdisp {t} {I} {\R
} {}
heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung
\mathdisp {a=a_0<a_1<a_2 < \cdots < a_{n-1} < a_n=b} { }
von $I$ gibt derart, dass $t$ auf jedem offenen Teilintervall
\mathl{]a_{i-1},a_{i}[}{}
\definitionsverweis {konstant}{}{}
ist.
}{Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine Familie von Vektoren in $V$. Dann heißt der Vektor
\mathdisp {s_1v_1+s_2v_2 + \cdots + s_nv_n \text{ mit } s_i \in K} { }
eine Linearkombination dieser Vektoren
}{Man nennt
\mathdisp {\operatorname{dim}_{ } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } \right) }} { }
die
geometrische Vielfachheit
des Eigenwerts.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Das
\stichwort {Folgenkriterium} {}
für die Stetigkeit einer Abbildung
\maabbdisp {f} {D} {\R
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{Die wichtigsten Eigenschaften des natürlichen Logarithmus.}{Die
\stichwort {Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Für
\maabb {f} {D} {\R} {}
sind folgende Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungzwei {$f$ ist stetig im Punkt $x$.
} {Für jede konvergente Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $D$ mit
\mathl{\lim_{n \rightarrow \infty} x_n =x}{} ist auch die Bildfolge
\mathl{{ \left( f(x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} konvergent mit dem Grenzwert $f(x)$.
}}{Der natürliche Logarithmus
\maabbeledisp {\ln} {\R_+ } {\R
} {x} { \ln x
} {,}
ist eine stetige, streng wachsende Funktion, die eine Bijektion zwischen
\mathkor {} {\R_+} {und} {\R} {} stiftet. Dabei gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ln (x \cdot y)
}
{ =} { \ln x + \ln y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x,y \in \R_+}{.}}{Es sei
\maabb {f} {[a,b]} {[c,d]
} {}
eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei $F$ eine Stammfunktion von $f$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(y)
}
{ \defeq} { y f^{-1} (y) - F(f^{-1}(y))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Stammfunktion der Umkehrfunktion
\mathl{f^{-1}}{.}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen
\mathkor {} {p} {und} {q} {}
größer ist.
\mathdisp {p= { \frac{ 573 }{ -1234 } } \text{ und } q = { \frac{ -2007 }{ 4322 } }} { . }
}
{
Multiplikation liefert
\mathdisp {573 \cdot 4322 =2476506 \text{ und } 1234 \cdot 2007 = 2476638} { . }
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{573}{1234}
}
{ \leq} { \frac{2007}{4322}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p
}
{ =} { \frac{573}{-1234}
}
{ =} { \frac{-573}{1234}
}
{ \geq} { \frac{-2007}{4322}
}
{ =} { q
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Warum gibt es für das Produkt der ersten $n$ natürlichen Zahlen \zusatzklammer {beginnend mit $1$} {} {} ein eigenes Symbol \zusatzklammer {die Fakultät} {} {,} aber nicht für die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen?
}
{
Die Summe aller natürlichen Zahlen von $1$ bis $n$ wird durch die Gaußsche Summenformel, also durch
\mathl{{ \frac{ n(n+1) }{ 2 } }}{} ausgerechnet, sodass es kein weiteres Symbol dafür in der Mathematik braucht.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Professor Knopfloch muss mal wieder Geschirr abwaschen. Bekanntlich wird die Spülgeschwindigkeit durch die internationale Maßeinheit \anfuehrung{ein Spüli}{} ausgedrückt. Ein Spüli liegt vor, wenn man einen Quadratmeter Geschirroberfläche pro Sekunde spült. Professor Knopflochs Spülgeschwindigkeit beträgt
\mathl{0,005}{} Spülies. Er muss $10$ große Teller mit einem Durchmesser von $30$ Zentimetern, $6$ kleine Teller mit einem Durchmesser von $20$ Zentimetern und $4$ zylinderförmige Becher, die $10$ Zentimeter hoch sind und einen Durchmesser von $6$ Zentimetern besitzen, spülen. Wie lange braucht er für den reinen Abwasch
\zusatzklammer {man ignoriere die Dicke des Geschirrs} {} {?}
}
{
Die
\zusatzklammer {beidseitige} {} {}
Fläche eines großen Tellers beträgt
\zusatzklammer {in Quadratmeter} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \cdot \pi \cdot 0,15^2
}
{ =} { 0,1413
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die eines kleinen Tellers
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \cdot \pi \cdot 0,1^2
}
{ =} { 0,0628
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die eines Bechers
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2( \pi \cdot 0,03^2 + 2 \cdot \pi \cdot 0,03 \cdot 0,1 )
}
{ =} { 2( 0,0028 +0,0188)
}
{ =} { 0,0432
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist die zu spülende Gesamtfläche gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{10 \cdot 0,1413 +6 \cdot 0,0628 + 4 \cdot 0,0432
}
{ =} {1,9626
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für einen Quadratmeter braucht er $200$ Sekunden, deshalb braucht er insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1,9626 \cdot 200
}
{ =} {392,52
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Sekunden, also ungefähr sechs einhalb Minuten.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bilden.
}
{
Die Körpereigenschaften für die komponentenweise definierte Addition sind klar, da die entsprechenden Eigenschaften für $\R$ gelten. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 \cdot (a+b { \mathrm i} )
}
{ =} { a+b { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
somit ist die $1$ das neutrale Element der Multiplikation. Die Kommutativität der Multiplikation ist ebenfalls von der Formel her klar. Zum Nachweis der Assoziativität der Multiplikation berechnen wir
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( (a+b { \mathrm i} ) (c+d { \mathrm i} ) \right) } (e+f { \mathrm i} )
}
{ =} { { \left( ac-bd + (bc + ad) { \mathrm i} \right) } (e+f { \mathrm i} )
}
{ =} { (ac-bd) e -(bc+ad) f + { \left( (ac-bd )f + (bc + ad) e \right) } { \mathrm i}
}
{ =} { ace-bd e -bcf -ad f + { \left( acf -bd f + bce + ad e \right) } { \mathrm i}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Ebenso ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (a+b { \mathrm i} ) { \left( (c+d { \mathrm i} ) (e+f { \mathrm i} ) \right) }
}
{ =} { (a+b { \mathrm i} ) { \left( ce - df + ( cf + de) { \mathrm i} \right) }
}
{ =} { a (ce-df) - b ( cf+de) + { \left( b (ce-df ) + a(cf + de ) \right) } { \mathrm i}
}
{ =} { ace-adf -bcf+ -b d e + { \left( bce -bd f + acf + ad e \right) } { \mathrm i}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b { \mathrm i}
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, so ist mindestens eine der Zahlen
\mathkor {} {a} {oder} {b} {}
von $0$ verschieden und damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^2 +b^2
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mathl{{ \frac{ a }{ a^2+b^2 } } -{ \frac{ b }{ a^2+b^2 } } { \mathrm i}}{} eine komplexe Zahl und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( a+b { \mathrm i} \right) } { \left( { \frac{ a }{ a^2+b^2 } } -{ \frac{ b }{ a^2+b^2 } } { \mathrm i} \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ a^2+b^2 } } { \left( a +b { \mathrm i} \right) } { \left( a-b { \mathrm i} \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ a^2+b^2 } } { \left( a^2 +b^2 \right) }
}
{ =} { 1
}
{ } {}
}
{}{}{,}
also besitzt jedes Element $\neq 0$ ein Inverses bezüglich der Multiplikation. Das Distributivgesetz folgt aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (a+b { \mathrm i} ) { \left( c+d { \mathrm i} + e+f { \mathrm i} \right) }
}
{ =} { (a+b { \mathrm i} ) { \left( ( c+e) + (d+f) { \mathrm i} \right) }
}
{ =} { a(c+e) -b(d+f) + ( a(d+f) +b(c+e) ) { \mathrm i}
}
{ =} { ac+ae -bd-bf + ( ad+af +bc+be ) { \mathrm i}
}
{ =} { ac-bd + (ad+bc) { \mathrm i} + ae-bf + (af+be) { \mathrm i}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { (a+b { \mathrm i} ) { \left( c+d { \mathrm i} \right) } + (a+b { \mathrm i} ) { \left( e+f { \mathrm i} \right) }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Berechne
\mathdisp {(-2x^3+3x^2+3x-2)^2} { }
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{(-2x^3+3x^2+3x-2)^2
}
{ =} { 4x^6 -12 x^5-3 x^4 +26 x^3-3x^2-12x +4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1+2)}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Grad}{}{}
folgende Eigenschaften erfüllt.
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P+Q)
}
{ \leq} { \max \{ \operatorname{grad} \, (P),\, \operatorname{grad} \, (Q)\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
} {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P \cdot Q)
}
{ =} { \operatorname{grad} \, (P) + \operatorname{grad} \, (Q)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{
Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { a_nX^n +a_{n-1} X^{n-1} + \cdots + a_2X^2 + a_1X+a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} { b_mX^m +b_{m-1} X^{m-1} + \cdots + b_2X^2 + b_1X+b_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_n,b_m
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mathkor {} {n = \operatorname{grad} \, (P)} {und} {m = \operatorname{grad} \, (Q)} {.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \neq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{\operatorname{max} (m,n)}{} der Grad der Summe, bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_n
}
{ \neq }{-b_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
dies auch der Grad des Summenpolynoms, im andern Fall wird der Grad kleiner
\zusatzklammer {die Summe kann $0$ sein, dann ist die Aussage als erfüllt zu interpretieren} {} {.}
Wegen
[[Körper/Integritätsbereich/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Körper/Integritätsbereich/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_nb_m
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mathl{a_nb_mX^{n+m}}{} der Leitterm des Produktpolynoms $PQ$, dessen Grad somit gleich
\mathl{n+m}{} ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x
}
{ \geq} {-8
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{7 x
}
{ \leq} { 10
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Q$.
}
{
Die Bedingungen bedeuten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq} { - { \frac{ 8 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \leq} { { \frac{ 10 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die Lösungsmenge ist also das Intervall
\mathl{[- { \frac{ 8 }{ 3 } } , { \frac{ 10 }{ 7 } } ]}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2-3x+ { \frac{ 4 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f(x)
}
{ =} {x^2-3x+ { \frac{ 4 }{ 3 } }
}
{ =} { { \left( x- { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ 9 }{ 4 } } + { \frac{ 4 }{ 3 } }
}
{ =} { { \left( x- { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^2 + { \frac{ -27+ 16 }{ 12 } }
}
{ =} { { \left( x- { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^2 -{ \frac{ 11 }{ 12 } }
}
}
{}
{}{.}
Da der quadratische Term links stets $\geq 0$ ist, ist
\mathl{-{ \frac{ 11 }{ 12 } }}{} der minimale Wert der Funktion.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Für die Zahl
\mathl{1000 000 \pi}{} soll eine rationale Approximation gefunden werden, die vom wahren Wert um höchstens ${ \frac{ 1 }{ 1000 } }$-stel abweicht. Wie gut muss eine Approximation für $\pi$ sein, dass man daraus eine solche gewünschte Approximation erhalten kann?
}
{
Man braucht eine rationale Approximation von $\pi$ mit einem Fehler von höchstens
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 1 000 000 000 } }}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei
\mathl{c \in K_+}{} ein Element in einem angeordneten Körper $K$ und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die
\definitionsverweis {Heron-Folge}{}{}
zur Berechnung von $\sqrt{c}$ mit dem Startwert
\mathl{x_0 \in K_+}{.} Es sei
\mathl{u \in K_+}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{c \cdot u^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_0
}
{ = }{ u x_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} die Heron-Folge zur Berechnung von $\sqrt{d}$ mit dem Startwert $y_0$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n
}
{ =} {u x_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{n\in \N}{.}
}
{
Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach $n$, wobei die Induktionsvoraussetzung direkt durch die Wahl des Startwerts gesichert ist. Es gelte also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n
}
{ =} {ux_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y_{n+1}
}
{ =} { { \frac{ y_n + { \frac{ d }{ y_n } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ u x_n + { \frac{ u^2 c }{ u x_n } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ u x_n + u \cdot { \frac{ c }{ x_n } } }{ 2 } }
}
{ =} { u \cdot { \frac{ x_n + { \frac{ c }{ x_n } } }{ 2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { u \cdot x_{n+1}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\maabb {f,g,h} {\R} {\R
} {}
Funktionen. Dabei seien
\mathkor {} {g} {und} {h} {}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
im Punkt $a$, es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(a)
}
{ = }{f(a)
}
{ = }{h(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ \leq }{f(x)
}
{ \leq }{h(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass auch $f$ in $a$ stetig ist.
}
{
Zunächst ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ = }{g(a)
}
{ = }{h(a)
}
{ \defeqr }{b
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir verwenden
das Folgenkriterium.
Es sei also
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine reelle Folge, die gegen $a$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
Wegen der Stetigkeit von $g$ konvergiert
\mathl{g(x_n)}{} gegen $b$ und wegen der Stetigkeit von $h$ konvergiert
\mathl{h(x_n)}{} ebenfalls gegen $b$. Dabei gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x_n)
}
{ \leq} {f(x_n)
}
{ \leq} { h(x_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund
des Quetschkriteriums
konvergiert auch $f(x_n)$ gegen $b$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.
}
{
Die Standardparabel ist durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und der Einheitskreis ist durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+y^2
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Die Schnittpunkte müssen beide Gleichungen simultan erfüllen. Wir ersetzen mit der ersten Gleichung $x^2$ in der zweiten Gleichung und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^2 +y-1
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ -1 \pm \sqrt{1+4} }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ -1 \pm \sqrt{5} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für das negative Vorzeichen ergibt sich keine Quadratwurzel, also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ -1 + \sqrt{5} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ =} { \pm \sqrt{ { \frac{ -1 + \sqrt{5} }{ 2 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die beiden Schnittpunkte sind also
\mathkor {} {\left( - \sqrt{ { \frac{ -1 + \sqrt{5} }{ 2 } } } , \, { \frac{ -1 + \sqrt{5} }{ 2 } } \right)} {und} {\left( \sqrt{ { \frac{ -1 + \sqrt{5} }{ 2 } } } , \, { \frac{ -1 + \sqrt{5} }{ 2 } } \right)} {.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{weiter}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbdisp {f} {\R_{\geq 1} } { \R_{\geq 1}
} {,}
die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \defeq} { \begin{cases} { \frac{ 2 }{ x } }\, , \text{ falls } x \leq 2 \, , \\ { \frac{ x }{ 2 } } \, , \text{ falls } x > 2 \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert ist.
\aufzaehlungsechs{Skizziere den Graphen der Funktion.
}{Zeige, dass $f$ wohldefiniert ist.
}{Bestimme die
\definitionsverweis {Fixpunkte}{}{}
von $f$.
}{Bestimme die
\definitionsverweis {Fixpunkte}{}{}
der Hintereinanderschaltung $f \circ f$.
}{Zeige, dass $f$ stetig ist.
}{Was hat die Abbildung mit der Halbierung eines Blatt Papieres zu tun?
}
}
{
\aufzaehlungsechs{
\mathl{\,}{}
}{Es ist lediglich zu zeigen, dass die Werte der Funktion wieder $\geq 1$ sind. Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq} {x
}
{ \leq} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ \geq} { { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ \geq} { { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ x } }
}
{ \geq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq} { 2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
ist ebenfalls
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ x }{ 2 } }
}
{ \geq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \leq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
lautet die Bedingung für einen Fixpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 2 }{ x } }
}
{ = }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was in diesem Abschnitt zur einzigen Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ \sqrt{2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
führt. Im anderen Bereich gibt es keine Lösung.
}{Für $x$ zwischen
\mathkor {} {1} {und} {2} {}
ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ x } }
}
{ \leq} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit ist in diesem Bereich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(f(x))
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ { \frac{ 2 }{ x } } } }
}
{ =} { x
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
diese Zahlen sind somit allesamt Fixpunkte der Hintereinanderschaltung. Bei $x$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2
}
{ <} {x
}
{ \leq} {4
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ x }{ 2 } }
}
{ \geq} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(f(x))
}
{ =} { f { \left( { \frac{ x }{ 2 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ { \frac{ x }{ 2 } } } }
}
{ =} { { \frac{ 4 }{ x } }
}
{ <} { 2
}
}
{}{}{,}
in diesem Bereich besitzt die Hintereinanderschaltung also keinen Fixpunkt. Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ >} {4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(f(x))
}
{ =} { { \frac{ x }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und es gibt keinen Fixpunkt.
}{Auf den beiden Abschnitten handelt es sich um rationale Funktionen, die stetig sind, und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
haben beide Ausdrücke den Wert $1$.
}{Zu einem Blatt Papier sei das Verhältnis der längeren Seite zur kürzeren
\zusatzklammer {eventuell gleichlangen} {} {}
Seite mit $x$ bezeichnet. Es liegt also das Verhältnis $x$ zu $1$ vor. Wenn das Blatt an der langen Seite halbiert wird, so sid die neuen Seitenlängen
\mathkor {} {{ \frac{ x }{ 2 } }} {und} {1} {.}
Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ 2 } }
}
{ \geq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, was genau bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq} { 2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der Fall ist, so ist das Verhältnis lange Seite zu kurzer Seite des halbierten Blattes gleich
\mathl{{ \frac{ x }{ 2 } }}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Von einem Rechteck sind der Umfang $U$ und die Fläche $A$ bekannt. Bestimme die Längen der Seiten des Rechtecks.
}
{
Zwei Seiten haben die Länge $a$, zwei andere Seiten die Länge $b$; gegebenenfalls ist $a = b$. Es gilt $U = 2a+2b$ und $A=ab$.
Auflösen der ersten Gleichung nach $b$ ergibt $b = \frac{U}{2}-a$. Einsetzen in die zweite Gleichung: $A = a\left(\frac{U}{2}-a\right) = a\frac{U}{2}-a^2$. Umstellen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: $a^2-\frac{U}{2} a + A = 0$.
Man beachte, dass der Wert unter der Wurzel nie negativ wird und nur für den Speziallfall eines Quadrats null wird: Alle allgemeinen Rechtecke haben im Verhältnis zum Quadrat bei gleicher Fläche einen größeren Umfang.
Also hat diese Gleichung typischerweise zwei Lösungen für $a$, nämlich $\frac{U}{4}\pm \sqrt{\frac{U^2}{16} - A}$. Eine der beiden Lösungen ist dann $a$, die andere ist $b$. Wenn unter der Wurzel der Wert null steht, hat man ein Quadrat und es gibt nur eine Lösung $a=b=U/4$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme den Grenzwert
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, { \frac{ x-1 }{ \ln x } }} { . }
}
{
Wir verwenden die
Regel von Hospital.
Die Ableitung der Zählerfunktion ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x-1)'
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Ableitung der Nennerfunktion ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \ln x \right) }'
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Funktion
\mathl{{ \frac{ 1 }{ x } }}{} hat keine Nullstelle in einer offenen Ungebung von $1$. Daher ist Hospital anwendbar und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, { \frac{ x-1 }{ \ln x } }
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, { \frac{ 1 }{ { \frac{ 1 }{ x } } } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \frac{ 1 }{ 1 } } } }
}
{ =} {1
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_0^1 { \frac{ r }{ \sqrt{1-r^2} } } dr} { . }
}
{
Mit der
Substitution
\mathl{r= \sin s}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_0^1 { \frac{ r }{ \sqrt{1-r^2} } } dr
}
{ =} { \int_0^{\pi/2} { \frac{ \sin s }{ \cos s } } \cos s ds
}
{ =} {\int_0^{\pi/2} \sin s ds
}
{ =} { (-\cos s) {{|}}_0 ^{\pi/2}
}
{ =} { 1
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Beweise die Additionstheoreme für den \definitionsverweis {Sinus}{}{} und den \definitionsverweis {Kosinus}{}{} unter Verwendung von \definitionsverweis {Drehmatrizen}{}{.}
}
{
Die Hintereinanderschaltung der Drehung um den Winkel $x$ und der Drehung um den Winkel $y$ ist die Drehung um den Winkel
\mathl{x+y}{.} Nach
[[Matrizenmultiplikation/Hintereinanderschaltung/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Matrizenmultiplikation/Hintereinanderschaltung/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
wird diese Hintereinanderschaltung durch das Matrixprodukt der beiden Drehmatrizen beschrieben. Somit ist aufgrund einer einfachen Matrizenmultiplikation
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \begin{pmatrix}
\operatorname{cos} \, (x+y) & - \operatorname{sin} \, (x+y) \\
\operatorname{sin} \, (x+y) & \operatorname{cos} \,(x+y)
\end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix}
\operatorname{cos} \, x & - \operatorname{sin} \, x \\
\operatorname{sin} \, x & \operatorname{cos} \,x
\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}
\operatorname{cos} \, y & - \operatorname{sin} \, y \\
\operatorname{sin} \, y & \operatorname{cos} \,y
\end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y & - \cos x \cdot \sin y - \sin x \cdot \cos y \\ \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y & \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Betrachten der Komponenten in der ersten Spalte ergibt die Behauptung.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit endlicher
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mathl{n= \operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) }}{.} Es seien $n$ Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} in $V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$.
}{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $V$.
}{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} sind
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.}
}
}
{
Eine Basis ist insbesondere ein Erzeugendensystem und linear unabhängig, deshalb folgt sowohl (2) als auch (3) aus (1). Es sei (2) erfüllt, d.h.
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} ist ein Erzeugendensystem. Wenn es keine Basis wäre, so wäre dieses System nach
Satz 23.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
kein minimales Erzeugendensystem und man könnte Vektoren herausnehmen, und es würde ein Erzeugendensystem bleiben. Dies widerspricht der Wohldefiniertheit der Dimension. Es sei (3) erfüllt, d.h.
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} ist ein System aus linear unabhängigen Vektoren. Wenn es keine Basis wäre, so wäre es nach
Satz 23.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
nicht maximal linear unabhängig, und man könnte es durch Hinzunahme von einem Vektor zu einem größeren linear unabhängigen System vergrößern. Auch dies wiederspricht der Wohldefiniertheit der Dimension.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
auf dem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$, es seien
\mathl{a,b \in K}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\mathl{a
\operatorname{Id}_{ V }}{} die
\definitionsverweis {Streckung}{}{}
zu $a$. Zeige, dass $b$ genau dann ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
zu $\varphi$ ist, wenn $ab$ ein Eigenwert zur Hintereinanderschaltung
\mathl{a
\operatorname{Id}_{ V } \circ \varphi}{} ist.
}
{
Es sei $b$ ein Eigenwert zu $\varphi$. Dann gibt es einen Vektor
\mathbed {v \in V} {}
{v \neq 0} {}
{} {} {} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v)
}
{ =} {bv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( a
\operatorname{Id}_{ V } \circ \varphi \right) } (v)
}
{ =} { a \varphi(v)
}
{ =} { ab v
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet, dass $ab$ Eigenwert zu
\mathl{a
\operatorname{Id}_{ V } \circ \varphi}{} ist. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^{-1}
\operatorname{Id}_{ V } \circ a
\operatorname{Id}_{ V } \circ \varphi
}
{ =} { \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt auch die andere Implikation.
}