Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/56/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Punkte 3 3 2 2 3 5 2 3 1 2 1 3 3 3 10 4 2 3 3 3 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  2. Ein Polynom über einem Körper in einer Variablen .
  3. Das Maximum der Funktion

    wird im Punkt angenommen.

  4. Eine Treppenfunktion

    auf einem beschränkten reellen Intervall .

  5. Eine Linearkombination in einem -Vektorraum.
  6. Die geometrische Vielfachheit von einem Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Lösung

  1. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird.
  2. Ein Ausdruck der Form
    mit

    heißt Polynom in einer Variablen über .

  3. Man sagt, dass in das Maximum annimmt, wenn
  4. Eine Funktion

    heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

    von gibt derart, dass auf jedem offenen Teilintervall konstant ist.

  5. Es sei eine Familie von Vektoren in . Dann heißt der Vektor

    eine Linearkombination dieser Vektoren

  6. Man nennt

    die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Abbildung

    in einem Punkt

    .
  2. Die wichtigsten Eigenschaften des natürlichen Logarithmus.
  3. Die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion.


Lösung

  1. Für sind folgende Aussagen äquivalent.
    1. ist stetig im Punkt .
    2. Für jede konvergente Folge in mit ist auch die Bildfolge konvergent mit dem Grenzwert .
  2. Der natürliche Logarithmus

    ist eine stetige, streng wachsende Funktion, die eine Bijektion zwischen und stiftet. Dabei gilt

    für alle .
  3. Es sei eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei eine Stammfunktion von . Dann ist
    eine Stammfunktion der Umkehrfunktion .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen und größer ist.


Lösung

Multiplikation liefert

Daher ist

und damit ist


Aufgabe (2 Punkte)

Warum gibt es für das Produkt der ersten natürlichen Zahlen (beginnend mit ) ein eigenes Symbol (die Fakultät), aber nicht für die Summe der ersten natürlichen Zahlen?


Lösung Die Summe aller natürlichen Zahlen bis n wird durch die Gaußsche Summenformel ausgerechnet, sodass es kein weiters Zrichen dafür in der Mathematik braucht.


Aufgabe (3 Punkte)

Professor Knopfloch muss mal wieder Geschirr abwaschen. Bekanntlich wird die Spülgeschwindigkeit durch die internationale Maßeinheit „ein Spüli“ ausgedrückt. Ein Spüli liegt vor, wenn man einen Quadratmeter Geschirroberfläche pro Sekunde spült. Professor Knopflochs Spülgeschwindigkeit beträgt Spülies. Er muss große Teller mit einem Durchmesser von Zentimetern, kleine Teller mit einem Durchmesser von Zentimetern und zylinderförmige Becher, die Zentimeter hoch sind und einen Durchmesser von Zentimetern besitzen, spülen. Wie lange braucht er für den reinen Abwasch (man ignoriere die Dicke des Geschirrs)?


Lösung

Die (beidseitige) Fläche eines großen Tellers beträgt (in Quadratmeter)

die eines kleinen Tellers

und die eines Bechers

Somit ist die zu spülende Gesamtfläche gleich

Für einen Quadratmeter braucht er Sekunden, deshalb braucht er insgesamt

Sekunden, also ungefähr sechs einhalb Minuten.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.


Lösung

Die Körpereigenschaften für die komponentenweise definierte Addition sind klar, da die entsprechenden Eigenschaften für gelten. Es ist

somit ist die das neutrale Element der Multiplikation. Die Kommutativität der Multiplikation ist ebenfalls von der Formel her klar. Zum Nachweis der Assoziativität der Multiplikation berechnen wir

Ebenso ist

Wenn

ist, so ist mindestens eine der Zahlen oder von verschieden und damit ist . Somit ist eine komplexe Zahl und es gilt

also besitzt jedes Element ein Inverses bezüglich der Multiplikation. Das Distributivgesetz folgt aus


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

  1. ,
  2. .


Lösung

Es seien

und

mit , also und . Bei ist der Grad der Summe, bei ist bei dies auch der Grad des Summenpolynoms, im andern Fall wird der Grad kleiner (die Summe kann sein, dann ist die Aussage als erfüllt zu interpretieren). Wegen [[Körper/Integritätsbereich/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Körper/Integritätsbereich/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))]] ist und somit ist der Leitterm des Produktpolynoms , dessen Grad somit gleich ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

und

über .


Lösung

Die Bedingungen bedeuten

und

die Lösungsmenge ist also das Intervall .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion


Lösung

Es ist

Da der quadratische Term links stets ist, ist der minimale Wert der Funktion.


Aufgabe (1 Punkt)

Für die Zahl soll eine rationale Approximation gefunden werden, die vom wahren Wert um höchstens -stel abweicht. Wie gut muss eine Approximation für sein, dass man daraus eine solche gewünschte Approximation erhalten kann?


Lösung

Man braucht eine rationale Approximation von mit einem Fehler von höchstens .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Element in einem angeordneten Körper und sei die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert . Sei , , und die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert . Zeige

für alle .


Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach , wobei die Induktionsvoraussetzung direkt durch die Wahl des Startwerts gesichert ist. Es gelte also

Dann ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei und seien Funktionen. Dabei seien und stetig im Punkt und es gelte für alle . Zeige, dass auch in stetig ist.


Lösung

Zunächst ist . Wir verwenden das Folgenkriterium. Sei also eine reelle Folge, die gegen konvergiert. Wegen der Stetigkeit von konvergiert gegen und wegen der Stetigkeit von konvergiert ebenfalls gegen . Dabei gilt

Aufgrund des Quetschkriteriums konvergiert auch gegen .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.


Lösung

Die Standardparabel ist durch die Gleichung

und der Einheitskreis ist durch die Gleichung

gegeben. Die Schnittpunkte müssen beide Gleichungen simultan erfüllen. Wir ersetzen mit der ersten Gleichung in der zweiten Gleichung und erhalten

Also ist

Für das negative Vorzeichen ergibt sich keine Quadratwurzel, also ist

und

Die beiden Schnittpunkte sind also und .


Aufgabe weiter

Wir betrachten die Abbildung

die durch

definiert ist.

  1. Skizziere den Graphen der Funktion.
  2. Zeige, dass wohldefiniert ist.
  3. Bestimme die Fixpunkte von .
  4. Bestimme die Fixpunkte von der Hintereinanderschaltung .
  5. Zeige, dass stetig ist.
  6. Was hat die Abbildung mit der Halbierung eines Blatt Papieres zu tun?


Lösung

  1. Es ist lediglich zu zeigen, dass die Werte der Funktion wieder sind. Bei

    ist

    und damit

    bei

    ist ebenfalls

  2. Bei lautet die Bedingung für einen Fixpunkt , was in diesem Abschnitt zur einzigen Lösung führt. Im anderen Bereich gibt es keine Lösung.
  3. Für zwischen und ist auch

    und damit ist in diesem Bereich

    diese Zahlen sind somit allesamt Fixpunkte der Hintereinanderschaltung. Bei mit

    ist

    und somit

    in diesem Bereich besitzt die Hintereinanderschaltung also keinen Fixpunkt. Bei

    ist

    und es gibt keinen Fixpunkt.

  4. Auf den beiden Abschnitten handelt es sich um rationale Funktionen, die stetig sind, und bei haben beide Ausdrücke den Wert .
  5. Zu einem Blatt Papier sei das Verhältnis der längeren Seite zur kürzeren (eventuell gleichlangen) Seite mit bezeichnet. Es liegt also das Verhältnis zu vor. Wenn das Blatt an der langen Seite halbiert wird, so sid die neuen Seitenlängen und . Wenn

    ist, was genau bei

    der Fall ist, so ist das Verhältnis lange Seite zu kurzer Seite des halbierten Blattes gleich .


Aufgabe (4 Punkte)

Von einem Rechteck sind der Umfang und die Fläche bekannt. Bestimme die Längen der Seiten des Rechtecks.


Lösung

Zwei Seiten haben die Länge , zwei andere Seiten die Länge ; gegebenenfalls ist . Es gilt und .

Auflösen der ersten Gleichung nach ergibt . Einsetzen in die zweite Gleichung: . Umstellen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: .

Man beachte, dass der Wert unter der Wurzel nie negativ wird und nur für den Speziallfall eines Quadrats null wird: Alle allgemeinen Rechtecke haben im Verhältnis zum Quadrat bei gleicher Fläche einen größeren Umfang.

Also hat diese Gleichung typischerweise zwei Lösungen für , nämlich . Eine der beiden Lösungen ist dann , die andere ist . Wenn unter der Wurzel der Wert null steht, hat man ein Quadrat und es gibt nur eine Lösung .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert


Lösung

Wir verwenden die Regel von Hospital. Die Ableitung der Zählerfunktion ist

und die Ableitung der Nennerfunktion ist

Die Funktion hat keine Nullstelle in einer offenen Ungebung von . Daher ist Hospital anwendbar und es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral


Lösung

Mit der Substitution ist


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus unter Verwendung von Drehmatrizen.


Lösung

Die Hintereinanderschaltung der Drehung um den Winkel und der Drehung um den Winkel ist die Drehung um den Winkel . Nach [[Matrizenmultiplikation/Hintereinanderschaltung/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Matrizenmultiplikation/Hintereinanderschaltung/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))]] wird diese Hintereinanderschaltung durch das Matrixprodukt der beiden Drehmatrizen beschrieben. Somit ist aufgrund einer einfachen Matrizenmultiplikation

Betrachten der Komponenten in der ersten Spalte ergibt die Behauptung.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit endlicher Dimension . Es seien Vektoren in gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. bilden eine Basis von .
  2. bilden ein Erzeugendensystem von .
  3. sind linear unabhängig.


Lösung

Eine Basis ist insbesondere ein Erzeugendensystem und linear unabhängig, deshalb folgt sowohl (2) als auch (3) aus (1). Sei (2) erfüllt, d.h. ist ein Erzeugendensystem. Wenn es keine Basis wäre, so wäre dieses System nach Satz 23.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) kein minimales Erzeugendensystem und man könnte Vektoren herausnehmen, und es würde ein Erzeugendensystem bleiben. Dies widerspricht der Wohldefiniertheit der Dimension. Sei (3) erfüllt, d.h. ist ein System aus linear unabhängigen Vektoren. Wenn es keine Basis wäre, so wäre es nach Satz 23.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) nicht maximal linear unabhängig, und man könnte es durch Hinzunahme von einem Vektor zu einem größeren linear unabhängigen System vergrößern. Auch dies wiederspricht der Wohldefiniertheit der Dimension.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung auf dem -Vektorraum , es seien mit und es sei die Streckung zu . Zeige, dass genau dann ein Eigenwert zu ist, wenn ein Eigenwert zur Hintereinanderschaltung ist.


Lösung

Sei ein Eigenwert zu . Dann gibt es einen Vektor , , mit

Dann ist

Dies bedeutet, dass Eigenwert zu ist. Wegen

gilt auch die andere Implikation.