Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/4/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	4	3	3	2	6	7	2	7	4	7	4	5	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung

   $y'=f(t,y).$

2. Ein euklidischer Vektorraum.
3. Das Wegintegral zu einem stetigen Vektorfeld ${}F\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ längs eines stetig differenzierbaren Weges ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$.
4. Eine polynomiale Funktion

   $f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

5. Ein lokales Maximum einer Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem metrischen Raum ${}M$ in einem Punkt ${}x\in M$.

6. Die Rotationsmenge (um die ${}x$-Achse) zu einer Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über differenzierbare Kurven und Komponentenfunktionen.
2. Der Satz über den Zusammenhang von Anfangswertproblemen und Integralgleichungen.
3. Die Transformationsformel für Volumina zu einem Diffeomorphismus ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung (${}y>0$)

$y'=t^{2}y^{3}$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das orthogonale Komplement zu der von ${}{\begin{pmatrix}5\\-3\\4\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}2\\4\\-7\end{pmatrix}}$ erzeugten Ebene ${}E\subseteq \mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Wegintegral ${}\int _{\gamma }F$ zum Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (y,x),$

längs des Weges

$\gamma \colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,e^{t}).$

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum, ${}u\in V$ ein fixierter Vektor und

$F\colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V$

ein stetiges Vektorfeld mit der Eigenschaft

${}F(t,v)=F(t,v+u)\,$

für alle ${}v\in V$. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow V$

eine Lösung zur Differentialgleichung

${}v'=F(t,v)\,.$

Zeige, dass auch

${}\psi (t):=\varphi (t)+u\,$

eine Lösung dieser Differentialgleichung ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über eine Differentialgleichung höherer Ordnung und das zugehörige System erster Ordnung.

Aufgabe * (7 (5+2) Punkte)

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

b) Löse das Anfangswertproblem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung

${}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und es seien ${}v,w$ gleichgerichtete Beobachtervektoren. Zeige

${}\left\langle v,w\right\rangle <0\,.$

Aufgabe * (7 (2+1+1+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f(x,y):={\begin{cases}{\frac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}{\text{ für }}(x,y)\neq (0,0)\,,\\0{\text{ für }}(x,y)=(0,0)\,.\end{cases}}\,$

a) Zeige, dass ${}f$ stetig ist.

b) Zeige, dass die Einschränkung von ${}f$ auf jede Gerade durch den Nullpunkt eine lineare Abbildung ist.

c) Zeige, dass zu ${}f$ im Nullpunkt in jede Richtung die Richtungsableitung existiert.

d) Zeige, dass ${}f$ im Nullpunkt nicht total differenzierbar ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=e^{x-y^{2}},$

im Punkt ${}(1,1)$.

Aufgabe * (7 (1+2+4) Punkte)

Wir betrachten die Funktion ${}f(x,y)=x^{3}-y^{3}$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$.

1. Bestimme die kritischen Punkte von ${}f$.
2. Zeige, dass ${}f$ keine lokalen Extrema besitzt.
3. Es sei

   ${}S^{1}={\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,$

   der Einheitskreis und ${}g\colon S^{1}\rightarrow \mathbb {R}$ die Einschränkung von ${}f$ auf ${}S^{1}$. Bestimme die lokalen Extrema von ${}g$.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow ,\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left({\frac {x}{y}},\,{\frac {y}{1+x^{2}}}\right).$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y\right)$.
2. Bestimme die kritischen Punkte von ${}\varphi$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien ${}P_{1}=(a_{1},b_{1}),\,P_{2}=(a_{2},b_{2})$ und ${}P_{3}=(a_{3},b_{3})$ drei Punkte im ${}\mathbb {R} ^{2}$. Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit ${}a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},a_{3},b_{3}$ dar.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Schwerpunkt derjenigen Fläche, die auf ${}[-1,1]$ durch die Standardparabel und die durch ${}y=1$ gegebene Gerade begrenzt wird.