Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/7/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	${}\sum$
Punkte	3	3	5	4	6	4	3	5	6	10	4	5	6	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung.
2. Die Norm zu einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}\mathbb {R}$- Vektorraum ${}V$.
3. Eine Lösung zu einem Anfangswertproblem

   $v'=f(t,v){\text{ und }}(t_{0},w)\in I\times U$

   zu einem Vektorfeld

   $f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

4. Das totale Differential in einem Punkt ${}P\in V$ einer in diesem Punkt total differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   (dabei seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume).

5. Die Hesse-Form zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

   $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$.

6. Eine Quader-Überpflasterung einer Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.
2. Die Kettenregel für differenzierbare Kurven.
3. Der Satz über implizite Abbildungen.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung.

Aufgabe * (4 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

${\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$

des ${}\mathbb {R} ^{3}$ an.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Stetigkeit linearer Abbildungen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven Abbildung

$\varphi \colon [0,1]\longrightarrow [0,1]\subseteq \mathbb {R} ,$

die nicht rektifizierbar ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

${}y'=ty-2t^{2}+1\,$

und

${}y(0)=0\,$

durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung ${}3$.

Aufgabe * (5 (1+2+2) Punkte)

Wir betrachten ein Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

der Form

${}F(x,y)=g(x,y){\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}\,$

mit einer stetigen Funktion ${}g\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$.

1. Zeige, dass für jeden Punkt ${}(x,y)$ der Richtungsvektor ${}F(x,y)$ senkrecht auf dem Ortsvektor ${}(x,y)$ steht.
2. Es sei ${}{\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}$ eine Lösung der Differentialgleichung ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'=F(x,y)$. Zeige, dass ${}x^{2}(t)+y^{2}(t)$ konstant ist.
3. Es sei

   $z\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto z(t),$

   eine Lösung der Differentialgleichung

   ${}z'=g(\cos z,\sin z)\,$

   in der einen Variablen ${}z$. Zeige, dass

   ${}{\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos z(t)\\\sin z(t)\end{pmatrix}}\,$

   eine Lösung der Differentialgleichung ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'=F(x,y)$ ist.

Aufgabe * (6 (4+2) Punkte)

1. Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

   $f\colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {\sqrt {x}}{y}},$

   im Punkt ${}(1,2)$ in Richtung ${}(3,-1)$ mit einer direkten Limesbetrachtung unter Verwendung der Regel von Hospital.

2. Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe des totalen Differentials.

Aufgabe * (10 Punkte)

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der auf der abgeschlossenen Kreisscheibe ${}B\left(0,1\right)={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$ definierten Funktion

$f\colon B\left(0,1\right)\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{3}-y^{2}-y.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über das Wegintegral in einem Gradientenfeld.

Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Die Grundfläche eines Kochtopfes sei eine Kreisscheibe mit Radius ${}13$ cm, der Topf sei ${}10$ cm hoch und auf die Höhe von ${}7{,}7$ cm mit Wasser gefüllt. Eine Kartoffel wird in den Topf geworfen und taucht voll unter, wobei das Wasser auf eine Höhe von ${}8{,}8$ cm ansteigt.

a) Berechne das Volumen der Kartoffel (rechne mit ${}\pi =3{,}14$; Einheit nicht vergessen)!

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?

c) Handelt es sich um eine große oder um eine kleine Kartoffel?

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus ${}[a,b]$ mit einer reellen Zahl aus ${}[c,d]$ addiert?

b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus ${}[a,b]$ mit einer reellen Zahl aus ${}[c,d]$ multiplizert?

c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus ${}[a,b]$ durch eine reelle Zahl aus ${}[c,d]$ (${}c>0$) dividiert?