Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 12/kontrolle

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass es in kein Element mit gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .


Aufgabe Aufgabe 12.3 ändern

Es sei eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann gegen konvergiert, wenn es für jedes ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die durch

gegebene Folge () auf Konvergenz.


Aufgabe * Aufgabe 12.5 ändern

Es seien und zwei konvergente reelle Folgen mit für alle . Zeige, dass dann gilt.


Aufgabe * Aufgabe 12.6 ändern

Es seien und drei reelle Folgen. Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen diesen Grenzwert konvergiert.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert . Zeige, dass dann auch die Folge

konvergiert, und zwar gegen .


In den beiden folgenden Aufgaben geht es um die Folge der Fibonacci-Zahlen.

Die Folge der Fibonacci-Zahlen ist rekursiv definiert durch


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen . Sie besagt (für )


Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion die Binet-Formel für die Fibonacci-Zahlen. Diese besagt, dass

gilt ().


Aufgabe Referenznummer erstellen

Man untersuche die folgenden Teilmengen auf die Begriffe obere Schranke, untere Schranke, Supremum, Infimum, Maximum und Minimum.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. ,
  8. ,
  9. .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Untersuche die durch

gegebene Folge () auf Konvergenz.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten Folge.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die reelle Folge

gegen konvergiert.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Untersuche die durch

gegebene Folge auf Konvergenz.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Seien und Folgen reeller Zahlen und sei die Folge definiert durch und . Zeige, dass genau dann konvergiert, wenn und gegen den gleichen Grenzwert konvergieren.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten reellen Folge.



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