Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorlesung 4/latex
\setcounter{section}{4}
\zwischenueberschrift{Injektive und surjektive Abbildungen}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {L} {und} {M} {}
Mengen und es sei
\maabbdisp {F} {L} {M} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Dann heißt $F$
\auflistungdrei{\definitionswort {injektiv}{,} wenn für je zwei verschiedene Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,x'
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} auch \mathkor {} {F(x)} {und} {F(x')} {} verschieden sind.
}{\definitionswort {surjektiv}{,} wenn es für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} mindestens ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x)
}
{ =} {y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{} gibt.
}{\definitionswort {bijektiv}{,} wenn $F$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
}
}
Diese Begriffe sind fundamental! Die Frage, ob eine Abbildung $F$ diese Eigenschaften besitzt, kann man anhand der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x)
}
{ =} {y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {in den beiden Variablen
\mathkor {} {x} {und} {y} {}} {} {}
erläutern. Die Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mindestens eine Lösung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \in} { L
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für diese Gleichung gibt, die Injektivität bedeutet, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
maximal eine Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für diese Gleichung gibt, und die Bijektivität bedeutet, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau eine Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für diese Gleichung gibt. Die Surjektivität entspricht also der Existenz von Lösungen, die Injektivität der Eindeutigkeit von Lösungen. Beide Fragestellungen durchziehen die Mathematik und können selbst wiederum häufig als die Surjektivität oder die Injektivität einer geeigneten Abbildung interpretiert werden.
Beim Nachweis der Injektivität einer Abbildung geht man häufig so vor, dass man zu zwei gegebenen Elementen
\mathkor {} {x} {und} {x'} {}
aus der Voraussetzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F(x)
}
{ = }{F(x')
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erschließt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{x'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Dies ist oft einfacher zu zeigen, als aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{x'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F(x)
}
{ \neq }{F(x')
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu schließen.
\inputbeispiel{}
{
Die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} {x^2
} {,}
ist weder injektiv noch surjektiv. Sie ist nicht
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
da die verschiedenen Zahlen
\mathkor {} {2} {und} {-2} {}
beide auf $4$ abgebildet werden. Sie ist nicht
\definitionsverweis {surjektiv}{}{,}
da nur nichtnegative Elemente erreicht werden
\zusatzklammer {eine negative Zahl hat keine reelle Quadratwurzel} {} {.}
Die Abbildung
\maabbeledisp {} {\R_{\geq 0} } {\R
} {x} {x^2
} {,}
ist injektiv, aber nicht surjektiv. Die Injektivität folgt beispielsweise so: Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist eine Zahl größer, sagen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ >} {y
}
{ \geq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Doch dann ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2
}
{ > }{ y^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2
}
{ \neq }{y^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Abbildung
\maabbeledisp {} {\R} {\R_{\geq 0}
} {x} {x^2
} {,}
ist nicht injektiv, aber surjektiv, da jede nichtnegative reelle Zahl eine Quadratwurzel besitzt. Die Abbildung
\maabbeledisp {} {\R_{\geq 0}} {\R_{\geq 0}
} {x} {x^2
} {,}
ist injektiv und surjektiv.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\maabb {F} {L} {M} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive Abbildung}{}{.}
Dann heißt die Abbildung
\maabbdisp {G} {M} {L} {,}
die jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf das eindeutig bestimmte Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F(x)
}
{ = }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
abbildet, die \definitionswort {Umkehrabbildung}{} zu $F$.
}
\inputdefinition
{}
{
Es seien $L,\, M$ und $N$ Mengen und \maabbeledisp {F} {L} {M } {x} {F(x) } {,} und \maabbeledisp {G} {M} {N } {y} {G(y) } {,} \definitionsverweis {Abbildungen}{}{.} Dann heißt die Abbildung \maabbeledisp {G \circ F} {L} {N } {x} {G(F(x)) } {,} die \definitionswort {Hintereinanderschaltung}{} der Abbildungen \mathkor {} {F} {und} {G} {.}
}
Es gilt also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (G \circ F)(x)
}
{ \defeq} { G(F(x))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die linke Seite durch die rechte Seite definiert wird. Wenn die beiden Abbildungen durch funktionale Ausdrücke gegeben sind, so wird die Hintereinanderschaltung dadurch realisiert, dass man den ersten Ausdruck anstelle der Variablen in den zweiten Ausdruck einsetzt
\zusatzklammer {und nach Möglichkeit vereinfacht} {} {.}
{Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
$L, M, N$ und $P$
Mengen und es seien
\maabbeledisp {F} {L} {M
} {x} {F(x)
} {,} \maabbeledisp {G} {M} {N
} {y} {G(y)
} {,}
und
\maabbeledisp {H} {N} {P
} {z} {H(z)
} {,}
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H \circ (G \circ F)
}
{ =} { (H \circ G) \circ F
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 4.6. }
\inputfakt{Endliche Menge/Gleiche Anzahl/Injektiv ist surjektiv/Fakt}{Satz}{}
{
Seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {endliche Mengen}{}{} mit $n$ Elementen. Dann sind für eine Abbildung \maabbdisp {F} {M} {N } {} die Begriffe \definitionsverweis {injektiv}{}{,} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} und \definitionsverweis {bijektiv}{}{} äquivalent.
}
\zwischenueberschrift{Polynome}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Ein Ausdruck der Form
\mathbedtermdisp { P=a_0 + a_1X+a_2X^2 + \cdots + a_nX^n }
{ mit } { a_i \in K }
{ und } { n \in \N } { } { } { }
heißt \definitionswort {Polynom in einer Variablen}{} über $K$.
}
Dabei heißen die Zahlen
\mathl{a_0,a_1 , \ldots , a_n}{} die \stichwort {Koeffizienten} {} des Polynoms. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen. Die Polynome mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißen \stichwort {konstante Polynome} {,} man schreibt sie einfach als $a_0$. Beim \stichwort {Nullpolynom} {} sind überhaupt alle Koeffizienten gleich $0$. Mit dem Summenzeichen kann man ein Polynom kurz als
\mathl{\sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } X^{ i}}{} schreiben.
\inputdefinition
{}
{
Der \definitionswort {Grad}{} eines von $0$ verschiedenen Polynoms
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {a_0 + a_1X+a_2X^2 + \cdots + a_nX^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_n
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $n$.
}
Das Nullpolynom bekommt keinen Grad. Der Koeffizient $a_n$, der zum Grad $n$ des Polynoms gehört, heißt \stichwort {Leitkoeffizient} {} des Polynoms. Der Ausdruck
\mathl{a_nX^n}{} heißt \stichwort {Leitterm} {} des Polynoms.
Die Gesamtheit aller Polynome über einem Körper $K$ heißt \stichwort {Polynomring} {} über $K$, er wird mit
\mathl{K[X]}{} bezeichnet. Dabei nennt man $X$ die \stichwort {Variable} {} des Polynomrings.
Zwei Polynome
\mathdisp {P= \sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } X^{ i} \text{ und } Q=\sum_{ i = 0 }^{ m } b_{ i } X^{ i}} { }
werden komponentenweise miteinander addiert, d.h. die Koeffizienten der Summe
\mathl{P+Q}{} sind einfach die Summe der Koeffizienten der beiden Polynome. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ > }{ m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die \anfuehrung{fehlenden}{} Koeffizienten von $Q$ als $0$ zu interpretieren. Diese Addition ist offenbar assoziativ und kommutativ, das Nullpolynom ist das neutrale Element und das negative Polynom $-P$ erhält man, indem man jeden Koeffizienten von $P$ negiert.
Zwei Polynome lassen sich auch miteinander multiplizieren, wobei man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^n \cdot X^m
}
{ \defeq} { X^{n+m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
setzt und diese Multiplikationsregel \anfuehrung{distributiv fortsetzt}{,} d.h. man multipliziert \anfuehrung{alles mit allem}{} und muss dann aufaddieren. Die Multiplikation ist also explizit durch folgende Regel gegeben:
\mathdisp {{ \left( \sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } X^{ i } \right) } \cdot { \left( \sum_{ j = 0 }^{ m } b_{ j } X^{ j } \right) } = \sum_{ k = 0 }^{ n+m } c_{ k } X^{ k } \text{ mit } c_{ k} =\sum_{ r= 0}^{ k } a_{ r } b_{ k - r }} { . }
Für den Grad gelten die beiden folgenden Regeln
\auflistungzwei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P+Q)
}
{ \leq} { \max \{ \operatorname{grad} \, (P),\, \operatorname{grad} \, (Q) \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P \cdot Q)
}
{ =} { \operatorname{grad} \, (P) + \operatorname{grad} \, (Q)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Polynomialdeg5.svg} }
\end{center}
\bildtext {Der Graph einer Polynomfunktion von $\R$ nach $\R$ vom Grad $5$.} }
\bildlizenz { Polynomialdeg5.svg } {} {Geek3} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
In ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\stichwort {einsetzen} {,} indem man die Variable $X$ an jeder Stelle durch $a$ ersetzt. Dies führt zu einer Abbildung
\maabbeledisp {} {K} {K
} {a} {P(a)
} {,}
die die durch das Polynom definierte \stichwort {Polynomfunktion} {} heißt.
Wenn
\mathkor {} {P} {und} {Q} {}
Polynome sind, so kann man die Hintereinanderschaltung
\mathl{P \circ Q}{} einfach beschreiben: man muss in $P$ überall die Variable $X$ durch $Q$ ersetzen
\zusatzklammer {und alles ausmultiplizieren und aufaddieren} {} {.}
Das Ergebnis ist wieder ein Polynom. Man beachte, dass es dabei auf die Reihenfolge ankommt.
\zwischenueberschrift{Division mit Rest}
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Polynomring_über_Körper/Eine_Variable/Division_mit_Rest/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P,T
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Polynome mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q,R
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {P = T Q + R \text{ und mit } \operatorname{grad} \, (R) < \operatorname{grad} \, (T)
\text{ oder } R = 0} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
von $P$. Wenn der Grad von $T$ größer als der Grad von $P$ ist, so ist
\mathkor {} {Q=0} {und} {R=P} {}
eine Lösung, so dass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nach der Vorbemerkung auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (TP)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also ist $T$ ein konstantes Polynom, und damit ist
\zusatzklammer {da
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{T
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $K$ ein Körper ist} {} {}
\mathkor {} {Q=P/T} {und} {R=0} {}
eine Lösung. Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P)
}
{ = }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben
\mathkor {} {P= a_nX^n + \cdots + a_1X+a_0} {und} {T= b_kX^k + \cdots + b_1X+b_0} {}
mit
\mathl{a_n, b_k \neq 0,\, k \leq n}{.} Dann gilt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ = }{ { \frac{ a_n }{ b_k } } X^{n-k}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ P'
}
{ \defeq} { P-TH
}
{ =} { 0X^n + { \left( a_{n-1} - \frac{a_n}{b_k} b_{k-1} \right) } X^{n-1} + \cdots + { \left( a_{n-k} - \frac{a_n}{b_k} b_{0} \right) } X^{n-k} + a_{n-k-1}X^{n-k-1} + \cdots + a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Dieses Polynom $P'$ hat einen Grad kleiner als $n$ und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt
\mathkor {} {Q'} {und} {R'} {}
mit
\mathdisp {P' = T Q' + R' \text{ mit } \operatorname{grad} \, (R') < \operatorname{grad} \, (T)
\text{ oder } R' = 0} { . }
Daraus ergibt sich insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { P'+TH
}
{ =} { TQ'+TH+R'
}
{ =} { T(Q'+H)+R'
}
{ } {}
}
{}{}{,}
so dass also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ Q'+H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ R'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Lösung ist.
\teilbeweis {}{}{}
{Zur Eindeutigkeit sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ TQ+R
}
{ = }{ TQ'+R'
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T(Q-Q')
}
{ = }{ R'-R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da die Differenz
\mathl{R'-R}{} einen Grad kleiner als
\mathl{\operatorname{grad} \, (T)}{} besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ R'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ Q'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
lösbar.}
{}
Die Berechnung der Polynome
\mathkor {} {Q} {und} {R} {}
heißt \stichwort {Polynomdivision} {.} Wir geben dazu ein Beispiel über den komplexen Zahlen.
\inputbeispiel{}
{
Wir führen die
\definitionsverweis {Polynomdivision}{}{}
\mathdisp {P=(4+3 { \mathrm i} )X^3+X^2+5 { \mathrm i} \text{ durch } T=(1+ { \mathrm i} )X^2+X -3 +2 { \mathrm i}} { }
aus. Das Inverse zu
\mathl{1+ { \mathrm i}}{} ist
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 2 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } { \mathrm i}}{} und daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (4+3 { \mathrm i} ) (1+ { \mathrm i} )^{-1}
}
{ =} { (4+3 { \mathrm i} ) { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } { \mathrm i} \right) }
}
{ =} { 2 + { \frac{ 3 }{ 2 } } -2 { \mathrm i} + { \frac{ 3 }{ 2 } } { \mathrm i}
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 2 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } { \mathrm i}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Daher beginnt $Q$ mit
\mathl{{ \left( { \frac{ 7 }{ 2 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } { \mathrm i} \right) } X}{} und es ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ ( (1+ { \mathrm i} )X^2+X -3 +2 { \mathrm i} ) { \left( { \frac{ 7 }{ 2 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } { \mathrm i} \right) } X
}
{ =} { (4+3 { \mathrm i} ) X^3 + { \left( { \frac{ 7 }{ 2 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } { \mathrm i} \right) } X^2 + { \left( -{ \frac{ 19 }{ 2 } } + { \frac{ 17 }{ 2 } } { \mathrm i} \right) } X
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies muss man nun von $P$ abziehen und erhält
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{P - { \left( (4+3 { \mathrm i} ) X^3 + { \left( { \frac{ 7 }{ 2 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } { \mathrm i} \right) } X^2 + { \left( -{ \frac{ 19 }{ 2 } } + { \frac{ 17 }{ 2 } } { \mathrm i} \right) } X \right) }
}
{ =} { { \left( -{ \frac{ 5 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } { \mathrm i} \right) } X^2 + { \left( { \frac{ 19 }{ 2 } } -{ \frac{ 17 }{ 2 } } { \mathrm i} \right) } X + 5 { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Auf dieses Polynom
\zusatzklammer {nennen wir es $P'$} {} {}
wird das gleiche Verfahren angewendet. Man berechnet
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( -{ \frac{ 5 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } { \mathrm i} \right) } { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } { \mathrm i} \right) }
}
{ =} { -1 + { \frac{ 3 }{ 2 } } { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Daher ist der konstante Term von $Q$ gleich
\mathl{-1 + { \frac{ 3 }{ 2 } } { \mathrm i}}{} und es ergibt sich
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ { \left( (1+ { \mathrm i} )X^2+X -3 +2 { \mathrm i} \right) } { \left( -1 + { \frac{ 3 }{ 2 } } { \mathrm i} \right) }
}
{ =} { { \left( -{ \frac{ 5 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } { \mathrm i} \right) } X^2 + { \left( -1 + { \frac{ 3 }{ 2 } } { \mathrm i} \right) } X - { \frac{ 13 }{ 2 } } { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ziehen wir von $P'$ ab und erhalten
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{P' - { \left( { \left( -{ \frac{ 5 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } { \mathrm i} \right) } X^2 + { \left( -1 + { \frac{ 3 }{ 2 } } { \mathrm i} \right) } X - { \frac{ 13 }{ 2 } } { \mathrm i} \right) }
}
{ =} { { \left( { \frac{ 21 }{ 2 } } -10 { \mathrm i} \right) } X + { \frac{ 23 }{ 2 } } { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist der Rest $R$, die vollständige Division mit Rest ist also
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{(4+3 { \mathrm i} )X^3+X^2+5 { \mathrm i}
}
{ =} { ((1+ { \mathrm i} )X^2+X -3 +2 { \mathrm i} ) { \left( { \left( { \frac{ 7 }{ 2 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } { \mathrm i} \right) } X-1 + { \frac{ 3 }{ 2 } } { \mathrm i} \right) } + { \left( { \frac{ 21 }{ 2 } } -10 { \mathrm i} \right) } X + { \frac{ 23 }{ 2 } } { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Polynomring (Körper)/Nullstellen/Linearer Faktor/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $a$ genau dann eine
\definitionsverweis {Nullstelle}{}{}
von $P$, wenn $P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms\zusatzfussnote {\mathlk{X-a}{} heißt dann ein \stichwort {Linearfaktor} {} des Polynoms $P$} {.} {}
\mathl{X-a}{} ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wenn $P$ ein Vielfaches von
\mathl{X-a}{} ist, so kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {(X-a)Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem weiteren Polynom $Q$ schreiben. Einsetzen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(a)
}
{ =} { (a-a) Q(a)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Im Allgemeinen gibt es
aufgrund der Division mit Rest
eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { (X-a)Q +R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder aber den Grad $0$ besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(a)
}
{ =} { R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so muss der Rest
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein, und das bedeutet, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (X-a)Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
\inputfaktbeweis
{Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom
\zusatzklammer {\mathlk{\neq 0}{}} {} {}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$d$.}
\faktfolgerung {Dann besitzt $P$ maximal $d$ Nullstellen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $d$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ = }{ 0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei $a$ eine Nullstelle von $P$
\zusatzklammer {falls $P$ keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig} {} {.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ Q(X-a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Lemma 4.9
und $Q$ hat den Grad
\mathl{d-1}{,} so dass wir auf $Q$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom $Q$ hat also maximal
\mathl{d-1}{} Nullstellen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(b)
}
{ = }{ Q(b)(b-a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies kann nach
Lemma 2.4 (5)
nur dann $0$ sein, wenn einer der Faktoren $0$ ist, so dass eine Nullstelle von $P$ gleich $a$ ist oder aber eine Nullstelle von $Q$ ist. Es gibt also maximal $d$ Nullstellen von $P$.
{Polynom/K/Produkt von linearen Polynomen und nullstellenfrei/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$.}
\faktfolgerung {Dann besitzt jedes
\mathl{P \in K[X],\, P \neq 0,}{} eine Produktzerlegung
\mathdisp {P= (X- \lambda_1)^{\mu_1} \cdots (X- \lambda_k)^{\mu_k} \cdot Q} { }
mit
\mathl{\mu_j \geq 1}{} und einem nullstellenfreien Polynom $Q$.}
\faktzusatz {Dabei sind die auftretenden verschiedenen Zahlen
\mathl{\lambda_1 , \ldots , \lambda_k}{} und die zugehörigen Exponenten
\mathl{\mu_1 , \ldots , \mu_k}{}
\zusatzklammer {bis auf die Reihenfolge} {} {} eindeutig bestimmt.}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 4.15. }
Es gilt allgemeiner, dass die Zerlegung eines Polynoms in irreduzible Faktoren im Wesentlichen eindeutig ist.
\zwischenueberschrift{Der Fundamentalsatz der Algebra}
In der letzten Vorlesung haben wir gesehen, dass jede komplexe Zahl eine Quadratwurzel besitzt. Daraus folgt direkt, dass jedes Polynom vom Grad $2$ über den komplexen Zahlen eine Nullstelle besitzt. Allgemeiner gilt der folgende \stichwort {Fundamentalsatz der Algebra} {,} den wir hier ohne Beweis erwähnen.
\inputfakt{Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Jedes nichtkonstante
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{{\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}}
\faktfolgerung {besitzt eine
\definitionsverweis {Nullstelle}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt, dass jedes von $0$ verschiedene Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ {\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in Linearfaktoren zerfällt, d.h. man kann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { c(X-z_1)(X-z_2) \cdot (X-z_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit eindeutig bestimmten komplexen Zahlen
\mathl{z_1 , \ldots , z_n}{} schreiben
\zusatzklammer {wobei Wiederholungen erlaubt sind} {} {.}
\zwischenueberschrift{Rationale Funktionen}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Function-1_x.svg} }
\end{center}
\bildtext {Man kann auch Brüche $P/Q$ von Polynomen als Funktionen auffassen, die außerhalb der Nullstellen des Nenners definiert sind. Das Beispiel zeigt den Graph der rationalen Funktion $1/X$.} }
\bildlizenz { Function-1 x.svg } {} {Qualc1} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Zu
\definitionsverweis {Polynomen}{}{}
\mathbed {P,Q \in \R [X]} {}
{Q \neq 0} {}
{} {} {} {,}
heißt die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {} {D} { \R
} {z} { { \frac{ P(z) }{ Q(z) } }
} {,}
wobei $D$ das
\definitionsverweis {Komplement}{}{}
der
\definitionsverweis {Nullstellen}{}{}
von $Q$ ist, eine \definitionswort {rationale Funktion}{.}
}
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