Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 38/latex

\setcounter{section}{38}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die \definitionsverweis {Differentialgleichung zweiter Ordnung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime} }
{ =} { y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Löse damit das Anfangswertproblem
\mathdisp {y^{\prime \prime} = y \text{ mit } y(0)=3 \text{ und } y^\prime (0) = -2} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'=y} { }
mit der Anfangsbedingung $y(0)=1$. Bestimme zur Schrittweite
\mathl{s= { \frac{ 1 }{ k } }}{} die approximierenden Punkte $P_n$ gemäß dem Polygonzugverfahren. Bestimme insbesondere $P_k$. Was passiert mit $P_k$ für
\mathl{k \rightarrow \infty}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'=y \text{ mit } y(0)=1} { }
durch einen \definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'=y^3-y-4t+2t^2 \text{ mit } y(0)=2} { }
durch einen \definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{} bis zur vierten Ordnung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y^{\prime \prime} =- y \text{ mit } y(0)=0 \text{ und } y'(0) =1} { }
durch einen \definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}^{\prime \prime} = \begin{pmatrix} xt^2-y^2t \\xy \end{pmatrix} \text{ mit } \begin{pmatrix} x(0) \\y(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} x'(0) \\y'(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\-1 \end{pmatrix}} { }
durch einen \definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{} bis zur vierten Ordnung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}^{\prime \prime} = \begin{pmatrix} t^3-yt^2 \\tx^2y- \sinh t \end{pmatrix} \text{ mit } \begin{pmatrix} x(0) \\y(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} x'(0) \\y'(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\0 \end{pmatrix}} { }
durch einen \definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{} bis zur vierten Ordnung.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Schreibe ein Computerprogramm, das zu dem Vektorfeld aus Beispiel 38.7 zu einem Startzeitpunkt $t_0$, einem Startpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0 }
{ = }{ \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und einer vorgegebenen Schrittweite
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die approximierenden Punkte
\mathl{P_n}{} berechnet.

b) Berechne mit diesem Programm die Punkte $P_n$ für \aufzaehlungacht{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0 }
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 10 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ 0,1,2,3,4,5, 10 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0 }
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 100 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ 100 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0 }
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 1000 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ 1000 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0 }
{ = }{ \begin{pmatrix} 1,001 \\0,999 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 1000 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ 1000 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0 }
{ = }{ \begin{pmatrix} 1,01 \\0,99 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 1000 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{1000 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0 }
{ = }{ \begin{pmatrix} 1,1 \\0,9 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 1000 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ 1000 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0 }
{ = }{ -3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0 }
{ = }{ \begin{pmatrix} -2 \\5 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 10 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ 100 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0 }
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 1000 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ 1000 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{\zusatzklammer {Abzugeben ist lediglich Teil b), und zwar in einer leserfreundlichen Form.} {} {}} {}

\inputaufgabe
{}
{

a) Übersetze das \definitionsverweis {Anfangswertproblem zweiter Ordnung}{}{}
\mathdisp {y^{\prime \prime} =- y \text{ mit } y(0)=0 \text{ und } y'(0) = 1} { }
in ein \definitionsverweis {Differentialgleichungssystem erster Ordnung}{}{.}

b) Bestimme mit dem Polygonzugverfahren zur Schrittweite
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Näherungspunkte
\mathl{P_0,P_1,P_2,P_3,P_4}{} für dieses System.

c) Berechne den Wert des zugehörigen Streckenzuges an der Stelle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ = }{ \pi/2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'=y^2+t^2y-5ty^2+3t^3 \text{ mit } y(0)=0} { }
durch einen \definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{} bis zur vierten Ordnung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y^{\prime \prime} =y +(y')^2 \text{ mit } y(0)=0 \text{ und } y'(0) =1} { }
durch einen \definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{} bis zur vierten Ordnung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde alle polynomialen Lösungen der \definitionsverweis {Differentialgleichung dritter Ordnung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime \prime} }
{ =} { 9y -3t y' +y^{\prime \prime} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}^{\prime \prime} = \begin{pmatrix} x^2t-xyt+y^3-yt^3 \\x^3-xy^2+ \cos t \end{pmatrix} \text{ mit } \begin{pmatrix} x(0) \\y(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} x'(0) \\y'(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\-1 \end{pmatrix}} { }
durch einen \definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{} bis zur vierten Ordnung.

}
{} {}