Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 38

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung

$y^{\prime \prime }=y.$

Löse damit das Anfangswertproblem

$y^{\prime \prime }=y\text{ mit }y(0)=3\text{ und }{y}^{\prime }(0)=-2.$

Aufgabe

Wir betrachten die Differentialgleichung

$y^{\prime }=y$

mit der Anfangsbedingung $y(0)=1$. Bestimme zur Schrittweite $s=\frac{1}{k}$ die approximierenden Punkte $P_n$ gemäß dem Polygonzugverfahren. Bestimme insbesondere $P_k$. Was passiert mit $P_k$ für $k\to \mathrm{\infty }$?

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

$y^{\prime }=y\text{ mit }y(0)=1$

durch einen Potenzreihenansatz.

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

$y^{\prime }=y^3-y-4t+2t^2\text{ mit }y(0)=2$

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

$y^{\prime \prime }=-y\text{ mit }y(0)=0\text{ und }{y}^{\prime }(0)=1$

durch einen Potenzreihenansatz.

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

${\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}^{\prime \prime }=\left(\begin{array}{c}x{t}^2-y^{2}t\\ xy\end{array}\right)\text{ mit }\left(\begin{array}{c}x(0)\\ y(0)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\text{ und }\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }(0)\\ y^{\prime }(0)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

${\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}^{\prime \prime }=\left(\begin{array}{c}{t}^3-y{t}^2\\ t{x}^{2}y-\sinh t\end{array}\right)\text{ mit }\left(\begin{array}{c}x(0)\\ y(0)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\text{ und }\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }(0)\\ y^{\prime }(0)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)$

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (6 Punkte)

a) Schreibe ein Computerprogramm, das zu dem Vektorfeld aus Beispiel 38.7 zu einem Startzeitpunkt $t_0$, einem Startpunkt  $P_0=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$  und einer vorgegebenen Schrittweite  $s>0$  die approximierenden Punkte $P_n$ berechnet.

b) Berechne mit diesem Programm die Punkte $P_n$ für

1.  $t_0=0$,   $P_0=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$,   $s=\frac{1}{10}$,   $n=0,1,2,3,4,5,10$. 
2.  $t_0=0$,   $P_0=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$,   $s=\frac{1}{100}$,   $n=100$. 
3.  $t_0=0$,   $P_0=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$,   $s=\frac{1}{1000}$,   $n=1000$. 
4.  $t_0=0$,   $P_0=\left(\begin{array}{c}1,001\\ 0,999\end{array}\right)$,   $s=\frac{1}{1000}$,   $n=1000$. 
5.  $t_0=0$,   $P_0=\left(\begin{array}{c}1,01\\ 0,99\end{array}\right)$,   $s=\frac{1}{1000}$,   $n=1000$. 
6.  $t_0=0$,   $P_0=\left(\begin{array}{c}1,1\\ 0,9\end{array}\right)$,   $s=\frac{1}{1000}$,   $n=1000$. 
7.  $t_0=-3$,   $P_0=\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\end{array}\right)$,   $s=\frac{1}{10}$,   $n=100$. 
8.  $t_0=0$,   $P_0=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$,   $s=\frac{1}{1000}$,   $n=1000$. 

(Abzugeben ist lediglich Teil b), und zwar in einer leserfreundlichen Form.)

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

a) Übersetze das Anfangswertproblem zweiter Ordnung

$y^{\prime \prime }=-y\text{ mit }y(0)=0\text{ und }{y}^{\prime }(0)=1$

in ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung.

b) Bestimme mit dem Polygonzugverfahren zur Schrittweite  $s=\frac{1}{2}$  die Näherungspunkte $P_0,P_1,P_2,P_3,P_4$ für dieses System.

c) Berechne den Wert des zugehörigen Streckenzuges an der Stelle  $t=\pi /2$. 

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y^{\prime }=y^2+t^{2}y-5t{y}^2+3t^3\text{ mit }y(0)=0$

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y^{\prime \prime }=y+(y^{\prime }{)}^2\text{ mit }y(0)=0\text{ und }{y}^{\prime }(0)=1$

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde alle polynomialen Lösungen der Differentialgleichung dritter Ordnung

$y^{\prime \prime \prime }=9y-3t{y}^{\prime }+y^{\prime \prime }.$

Aufgabe (6 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

${\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}^{\prime \prime }=\left(\begin{array}{c}{x}^{2}t-xyt+y^3-y{t}^3\\ x^3-x{y}^2+\cos t\end{array}\right)\text{ mit }\left(\begin{array}{c}x(0)\\ y(0)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\text{ und }\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }(0)\\ y^{\prime }(0)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)$

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.