Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 42/latex

\setcounter{section}{42}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen des \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} \sin t & 0 \\ 0 & { \frac{ 1 }{ t } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -\sin t \\t^5 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne zum Vektorfeld \maabbeledisp {F} { { \left( \R \setminus \{0\} \right) } \times \R^2} {\R^2 } { \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} } { F(t,x,y) = \begin{pmatrix} x \sin t - \sin t \\ { \frac{ y }{ t } } +t^5 \end{pmatrix} } {} aus Aufgabe 42.1 das transformierte Vektorfeld zur durch die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}}{} gegebenen linearen Abbildung $\varphi$. Bestimme die Lösungen zu diesem transformierten Vektorfeld.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen des \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} t & 1-t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen des \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & t \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen des \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & t \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen \zusatzklammer {für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{t }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} des \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & t^3-t \\ 0 & { \frac{ 1 }{ t } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{} und seien \maabbdisp {f_{11},f_{12},f_{21},f_{22}} {I} { \R } {} \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_{11}(t)f_{22}(t)- f_{21}(t)f_{12}(t) }
{ \neq} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir betrachten das \definitionsverweis {lineare Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ f'_{11} f_{22} -f'_{12} f_{21} }{ f_{11} f_{22} - f_{21} f_{12} } } & { \frac{ -f'_{11} f_{12} + f'_{12} f_{11} }{ f_{11} f_{22} - f_{21} f_{12} } } \\ { \frac{ f'_{21} f_{22} - f'_{22} f_{21} }{ f_{11} f_{22} - f_{21} f_{12} } } & { \frac{ -f_{12} f'_{21} + f'_{22} f_{11} }{ f_{11} f_{22} - f_{21} f_{12} } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass sowohl
\mathl{\begin{pmatrix} f_{11} \\f_{21} \end{pmatrix}}{} als auch
\mathl{\begin{pmatrix} f_{12} \\f_{22} \end{pmatrix}}{} Lösungen des Differentialgleichungssystems sind.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen des \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & t^2-t+5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen des \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} -2 & -t^2-3t+4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {lineare Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} \cos t & - \sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Erstelle eine Differentialgleichung in einer Variablen, die die Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z(t) }
{ = }{ x^2(t)+y^2(t) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zu einer Lösung
\mathl{(x,y)}{} erfüllen muss. }{Finde eine Lösung für $z(t)$ aus Teil (1). }{Finde eine nichttriviale Lösung des Differentialgleichungssystems. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde eine nichttriviale Lösung \zusatzklammer {für \mathlk{t>1}{}} {} {} zum \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 4t^4 -1 }{ t^5-t } } & { \frac{ -3t }{ t^4 - 1 } } \\ { \frac{ -t }{ t^4 - 1 } } & { \frac{ 3t^4-2 }{ t^5-t } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Hilfe von Aufgabe 42.7.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Löse mit einem \definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{} das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} t^2-1 & t^3+t+2 \\ t+3 & t^2+t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} (0) }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bis zur fünften Ordnung.

}
{} {}

Die für
\mathbed {t \in \R} {}
{-1 < t< 1} {}
{} {} {} {,} und ein
\mathl{n\in \N}{} definierte \definitionsverweis {lineare Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y^{\prime \prime} - \frac{2t}{1-t^2}y'+ \frac{n(n+1)}{1-t^2} y =0} { }
heißt \definitionswort {Legendresche Differentialgleichung}{} zum Parameter $n$.

\inputaufgabe
{5}
{

Zeige, dass das $n$-te \stichwort {Legendre-Polynom} {\zusatzfussnote {Hier bedeutet das hochgestellte \mathlk{(n)}{} die $n$-te Ableitung} {.} {}}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2^n (n!) } } ((t^2-1)^n)^{(n)}} { }
eine Lösung der \definitionsverweis {Legendreschen Differentialgleichung}{}{} zum Parameter $n$ ist.

}
{} {}