Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 43

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei ${}M$ eine quadratische ${}n\times n$-Matrix über ${}\mathbb {K}$. Es sei ${}\varphi _{1}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung

$v'=Mv+z_{1}(t)$

und ${}\varphi _{2}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung

$v'=Mv+z_{2}(t).$

Zeige, dass ${}\varphi _{1}+\varphi _{2}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung

$v'=Mv+z_{1}(t)+z_{2}(t)$

ist.

Aufgabe

Sei

$v'=Mv$

ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten, sei ${}L$ der Lösungsraum dieses Systems und sei ${}t_{0}\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die Abbildung

$L\longrightarrow \mathbb {K} ^{n},\,\varphi \longmapsto \varphi (t_{0}),$

ein Vektorraum-Isomorphismus ist.

Aufgabe

Wie transformieren sich in Lemma 43.5 die Anfangsbedingungen?

Aufgabe

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&0\\0&-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-11\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem

${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&-3\\4&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe *

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

b) Löse das Anfangswertproblem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung

${}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe *

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.$

b) Löse das Anfangswertproblem

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

mit der Anfangsbedingung ${}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}}$.

Aufgabe *

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&-4\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Es sei ${}M(t)=(a_{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}$ eine (variable) ${}n\times n$-Matrix, deren Einträge Funktionen

$a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

seien. Es sei ${}u\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}\lambda$ für alle ${}t\in I$. Zeige, dass ${}e^{\lambda t}\cdot u$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung ${}v'=Mv$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}M(t)=(a_{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}$ eine (variable) ${}n\times n$-Matrix, deren Einträge stetige Funktionen

$a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

seien. Es sei ${}u\in \mathbb {R} ^{n}$ ein

(konstanter) Eigenvektor von ${}M(t)$ zum (variablen, von ${}t$ differenzierbar abhängigen) Eigenwert ${}\lambda (t)$. Zeige durch ein Beispiel, dass ${}e^{\lambda (t)t}\cdot u$ keine Lösung der linearen Differentialgleichung ${}v'=Mv$ sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}M(t)=(a_{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}$ eine (variable) ${}n\times n$-Matrix, deren Einträge stetige Funktionen

$a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

seien. Es sei ${}u(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ ein

(variabler, von ${}t$ differenzierbar abhängiger) Eigenvektor von ${}M(t)$ zum konstanten Eigenwert ${}\lambda$. Zeige durch ein Beispiel, dass ${}e^{\lambda t}\cdot u(t)$ keine Lösung der linearen Differentialgleichung ${}v'=Mv$ sein muss.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&3&2\\0&2&5\\0&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\\v_{3}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&3\\0&7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\-4\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem

${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&0&0\\0&0&3&1\\0&0&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (6 Punkte)

Sei ${}\lambda \in \mathbb {C}$. Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die allgemeine Lösung des linearen Differentialgleichungssystems

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}t^{2}+e^{t}\\t\end{pmatrix}}.$