Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 42

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}\sin t&0\\0&{\frac {1}{t}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-\sin t\\t^{5}\end{pmatrix}}\,$

für ${}t>0$.

Aufgabe

Berechne zum Vektorfeld

$F\colon {\left(\mathbb {R} \setminus \{0\}\right)}\times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto F(t,x,y)={\begin{pmatrix}x\sin t-\sin t\\{\frac {y}{t}}+t^{5}\end{pmatrix}}$

aus Aufgabe 42.1 das transformierte Vektorfeld zur durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}2&5\\1&6\end{pmatrix}}$ gegebenen linearen Abbildung ${}\varphi$. Bestimme die Lösungen zu diesem transformierten Vektorfeld.

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}t&1-t\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&t\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&t\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen (für ${}t>0$) des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&t^{3}-t\\0&{\frac {1}{t}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und seien

$f_{11},f_{12},f_{21},f_{22}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

differenzierbare Funktionen mit

${}f_{11}(t)f_{22}(t)-f_{21}(t)f_{12}(t)\neq 0\,$

für alle ${}t\in I$. Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}{\frac {f'_{11}f_{22}-f'_{12}f_{21}}{f_{11}f_{22}-f_{21}f_{12}}}&{\frac {-f'_{11}f_{12}+f'_{12}f_{11}}{f_{11}f_{22}-f_{21}f_{12}}}\\{\frac {f'_{21}f_{22}-f'_{22}f_{21}}{f_{11}f_{22}-f_{21}f_{12}}}&{\frac {-f_{12}f'_{21}+f'_{22}f_{11}}{f_{11}f_{22}-f_{21}f_{12}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Zeige, dass sowohl ${}{\begin{pmatrix}f_{11}\\f_{21}\end{pmatrix}}$ als auch ${}{\begin{pmatrix}f_{12}\\f_{22}\end{pmatrix}}$ Lösungen des Differentialgleichungssystems sind.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&t^{2}-t+5\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-2&-t^{2}-3t+4\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (8 (2+6) Punkte)

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

1. Erstelle eine Differentialgleichung in einer Variablen, die die Funktion ${}z(t)=x^{2}(t)+y^{2}(t)$ zu einer Lösung ${}(x,y)$ erfüllen muss.
2. Finde eine Lösung für ${}z(t)$ aus Teil (1).
3. Finde eine nichttriviale Lösung des Differentialgleichungssystems.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde eine nichttriviale Lösung (für $t>1$) zum linearen Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}{\frac {4t^{4}-1}{t^{5}-t}}&{\frac {-3t}{t^{4}-1}}\\{\frac {-t}{t^{4}-1}}&{\frac {3t^{4}-2}{t^{5}-t}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit Hilfe von Aufgabe 42.7.

Aufgabe (4 Punkte)

Löse mit einem Potenzreihenansatz das Anfangswertproblem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}t^{2}-1&t^{3}+t+2\\t+3&t^{2}+t\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}(0)={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\,$

bis zur fünften Ordnung.

Die für ${}t\in \mathbb {R}$, ${}-1<t<1$, und ein ${}n\in \mathbb {N}$ definierte lineare Differentialgleichung

$y^{\prime \prime }-{\frac {2t}{1-t^{2}}}y'+{\frac {n(n+1)}{1-t^{2}}}y=0$

heißt Legendresche Differentialgleichung zum Parameter ${}n$.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass das ${}n$-te Legendre-Polynom

${\frac {1}{2^{n}(n!)}}((t^{2}-1)^{n})^{(n)}$

eine Lösung der Legendreschen Differentialgleichung zum Parameter ${}n$ ist.

Fußnoten