Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 43/latex

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\setcounter{section}{43}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $M$ eine \definitionsverweis {quadratische}{}{} $n \times n$-Matrix über ${\mathbb K}$. Es sei $\varphi_1$ eine \definitionsverweis {Lösung}{}{} der \definitionsverweis {linearen Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {v'=Mv +z_1(t)} { }
und
\mathl{\varphi_2}{} eine Lösung der \definitionsverweis {linearen Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {v'=Mv +z_2(t)} { . }
Zeige, dass
\mathl{\varphi_1+ \varphi_2}{} eine Lösung der linearen Differentialgleichung
\mathdisp {v'=Mv +z_1(t)+z_2(t)} { }
ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v' }
{ =} {Mv }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten}{}{,} sei $L$ der Lösungsraum dieses Systems und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t_0 }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {L} { {\mathbb K}^n } {\varphi} {\varphi(t_0) } {,} ein \definitionsverweis {Vektorraum-Isomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wie transformieren sich in Lemma 43.5 die Anfangsbedingungen?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix} \text{ mit } \begin{pmatrix} v_1(0) \\v_2(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\-11 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} zum \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b) Löse das Anfangswertproblem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x(0) \\y(0) \end{pmatrix} }
{ =} {\begin{pmatrix} 2 \\7 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems
\mathdisp {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}} { . }

b) Löse das Anfangswertproblem
\mathdisp {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}} { }
mit der Anfangsbedingung
\mathl{\begin{pmatrix} x(0) \\y(0) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -4 \\3 \end{pmatrix}}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix} \text{ mit } \begin{pmatrix} v_1(0) \\v_2(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\1 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{M(t)=(a_{ij}(t))_{1 \leq i,j \leq n}}{} eine \zusatzklammer {variable} {} {} $n \times n$-Matrix, deren Einträge Funktionen \maabbdisp {a_{ij}} {I} {\R } {} seien. Es sei
\mathl{u \in \R^n}{} ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$ für alle
\mathl{t \in I}{.} Zeige, dass
\mathl{e^{\lambda t} \cdot u}{} eine Lösung der linearen Differentialgleichung
\mathl{v'=Mv}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M(t) }
{ = }{(a_{ij}(t))_{1 \leq i,j \leq n} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \zusatzklammer {variable} {} {} $n \times n$-Matrix, deren Einträge stetige Funktionen \maabbdisp {a_{ij}} {I} {\R } {} seien. Es sei
\mathl{u \in \R^n}{} ein \zusatzklammer {konstanter} {} {} Eigenvektor von $M(t)$ zum \zusatzklammer {variablen, von $t$ differenzierbar abhängigen} {} {} Eigenwert $\lambda(t)$. Zeige durch ein Beispiel, dass
\mathl{e^{\lambda(t) t} \cdot u}{} keine Lösung der linearen Differentialgleichung
\mathl{v'=Mv}{} sein muss.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M(t) }
{ =} {(a_{ij}(t))_{1 \leq i,j \leq n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \zusatzklammer {variable} {} {} $n \times n$-Matrix, deren Einträge stetige Funktionen \maabbdisp {a_{ij}} {I} {\R } {} seien. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u(t) }
{ \in }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \zusatzklammer {variabler, von $t$ differenzierbar abhängiger} {} {} Eigenvektor von $M(t)$ zum konstanten Eigenwert $\lambda$. Zeige durch ein Beispiel, dass
\mathl{e^{\lambda t} \cdot u(t)}{} keine Lösung der linearen Differentialgleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v' }
{ = }{Mv }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sein muss.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ v_3 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ v_3 \end{pmatrix} \text{ mit } \begin{pmatrix} v_1(0) \\v_2(0)\\ v_3(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\0\\ -1 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix} \text{ mit } \begin{pmatrix} v_1(0) \\v_2(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\-4 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} zum \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ v_3\\v_4 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ v_3\\v_4 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei
\mathl{\lambda \in {\mathbb C}}{.} Bestimme den \definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} zum \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ \vdots\\v_n \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ \vdots\\v_n \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die allgemeine Lösung des \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t^2+e^t \\t \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}



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