Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 44

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

  1. im Punkt in Richtung ,
  2. im Punkt in Richtung ,
  3. im Punkt in Richtung ,
  4. im Punkt in Richtung ,
  5. im Punkt in Richtung ,
  6. im Punkt in Richtung .


Aufgabe

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

  1. im Punkt in Richtung ,
  2. im Punkt in Richtung ,
  3. im Punkt in Richtung ,
  4. im Punkt in Richtung ,
  5. im Punkt in Richtung .


Aufgabe

Sei

eine Funktion. Zeige, dass in einem Punkt genau dann differenzierbar ist, wenn in in Richtung differenzierbar ist, und dass dann die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Es seien und endlichdimensionale Vektorräume, offen, und . Es sei

eine Abbildung. Zeige, dass die Richtungsableitung im Punkt genau dann existiert, wenn die Kurve

in differenzierbar ist. Wie muss dabei das Intervall gewählt werden?


Aufgabe

Bestimme, für welche Punkte und welche Richtungen die Richtungsableitung der euklidischen Norm

existiert.


Aufgabe

Untersuche die Funktion

im Nullpunkt auf Richtungsableitungen. Man entscheide für jede Gerade durch den Nullpunkt, ob die Einschränkung von auf im Nullpunkt ein Extremum besitzt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

  1. im Punkt in Richtung ,
  2. im Punkt in Richtung ,
  3. im Punkt in Richtung ,
  4. im Punkt in Richtung ,
  5. im Punkt in Richtung ,
  6. im Punkt in Richtung ,
  7. im Punkt in Richtung ,
  8. im Punkt in Richtung .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

  1. im Punkt in Richtung ,
  2. im Punkt in Richtung ,
  3. im Punkt in Richtung ,
  4. im Punkt in Richtung .


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitungen der Funktion ()

in einem Punkt

in Richtung


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, unter Verwendung von Aufgabe 44.9, dass zu einer polynomialen Funktion

zu einer fixierten Richtung die Richtungsableitung existiert und selbst polynomial ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Seien und endlichdimensionale -Vektorräume, sei offen, ein Punkt, ein Vektor und sei

eine Abbildung, die im Punkt in Richtung differenzierbar sei. Zeige, dass auch in Richtung  mit differenzierbar ist und die Beziehung gilt.



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