Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Vorlesung 43

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Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten - Lösungsverfahren

Es sei eine homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten gegeben, d.h.

mit einer konstanten Matrix

Wir lassen hier also auch den Fall zu, dass die Einträge komplexe Zahlen sind. Beim Auffinden der Lösungen zu einer reellen Matrix ist es nämlich hilfreich, die reellen Zahlen als komplexe Zahlen aufzufassen, um dort Umformungen durchzuführen, die im Reellen nicht möglich sind. Die Lösungen werden aber nach wie vor auf reellen Intervallen definiert sein. Wir erwähnen einige Rechenregeln für differenzierbare Abbildungen

( ist ein reelles Intervall oder eine offene Teilmenge von ) die bei der Berechnung von Differentialgleichungen zum Zuge kommen. Zunächst lässt sich die reelle Exponentialfunktion (unter Verwendung der Exponentialreihe) zu einer Funktion

ausdehnen. Diese ist komplex-differenzierbar, und zwar ist die Ableitung wieder die Exponentialfunktion selbst. Für eine komplexe Zahl gilt . Zwischen der komplexen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen besteht der Zusammenhang (die Eulersche Formel)

(wobei reell oder komplex sein kann).

Ausgeschrieben liegt also das Differentialgleichungssystem

vor. Solche Systeme lassen sich mit Hilfe der linearen Algebra auf eine Folge von inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen zurückführen und damit sukzessive lösen. Das folgende einfache Lemma gibt bereits einen deutlichen Hinweis dadrauf, dass lineare Eigenschaften der Matrix eng mit den Lösungen des Differentialgleichungssystems zusammenhängen.



Lemma  

Es sei

mit

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei ein Eigenvektor zu zum Eigenwert .

Dann ist die Abbildung

() eine Lösung dieses Differentialgleichungssystems.

Beweis  

Dies folgt direkt aus



Definition  

Es sei

mit

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Dann nennt man das charakteristische Polynom

auch das charakteristische Polynom der Differentialgleichung.

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind nach Satz 40.2 Eigenwerte von und liefern somit nach Lemma 43.1 Lösungen des Differentialgleichungssystems.

Bemerkung  

Es sei

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten und es sei

das zugehörige System von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, also mit der Matrix

Das zu dieser Matrix gehörige charakteristische Polynom ist nach Aufgabe 40.13 gleich

D.h. man kann dieses Polynom direkt aus der eingangs gegebenen Differentialgleichung höherer Ordnung ablesen.



Beispiel  

Zu einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

ist das charakteristische Polynom gleich

Dessen Nullstellen sind einfach zu bestimmen, es ist


Nun untersuchen wir systematisch, wie man Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten löst.



Lemma  

Es sei

mit

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, es sei eine invertierbare Matrix und es sei

Dann ist

genau dann eine Lösung von , wenn eine Lösung der Differentialgleichung ist.

Beweis  

Dies folgt aus Lemma 42.2, wir geben noch einen zweiten Beweis. Es sei vorausgesetzt, dass

ist. Dann gelten für mit die Gleichungen

so dass die Differentialgleichung

löst. Die inverse Transformation zeigt, dass zu einer Lösung von die Abbildung eine Lösung für ist.




Satz  

Es sei

mit

ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Dann gibt es eine invertierbare Matrix derart, dass das äquivalente Differentialgleichungssystem

obere Dreiecksgestalt besitzt, also von der Form

(mit ) ist.

Dieses System lässt sich sukzessive von unten nach oben mit dem Lösungsverfahren für inhomogene lineare Differentialgleichungen in einer Variablen lösen. Wenn zusätzlich Anfangsbedingungen für gegeben sind, so ist die Lösung eindeutig.

Beweis  

Aufgrund von Satz 41.5 ist die Matrix trigonalisierbar, d.h. es gibt eine invertierbare Matrix derart, dass

obere Dreiecksgestalt besitzt. Das lineare Differentialgleichungssystem besitzt also die angegebene Gestalt, und es ist wegen Lemma 43.5 äquivalent zum ursprünglichen System. Die letzte Zeile des neuen Systems, also

ist eine lineare Differentialgleichung in einer Variablen, ihre Lösungen sind . Die zweitletzte Zeile ist

worin man die Lösung für einsetzen kann. Dann erhält man eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung in der einen Variablen , die man mit dem angegebenen Lösungsverfahren lösen kann. Für die drittletzte Zeile sind dann und schon bekannt und dies führt wieder zu einer inhomogenen linearen Differentialgleichung für . So erhält man sukzessive eine Gesamtlösung . Eine Anfangsbedingung für übersetzt sich direkt in eine Anfangsbedingung für . In dem soeben beschriebenen Lösungsverfahren gibt es dann jeweils eine Anfangsbedingung für die inhomogenen Differentialgleichungen, so dass die Lösungen jeweils eindeutig sind.


Bemerkung  

Es sei

mit

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei

eine komplexwertige Lösung dieser Differentialgleichung. Wir schreiben , wobei differenzierbare Kurven im sind, und die Real- bzw. Imaginärteil der Funktion heißen. Es sei

die konjugiert-komplexe Funktion zu . Dann ist wegen

auch eine Lösungsfunktion. Wegen

sind auch Real- und Imaginärteil von Lösungsfunktionen (und zwar reellwertige).



Satz  

Es sei

mit

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten mit der Anfangsbedingung , .

Dann gibt es genau eine auf definierte Lösung

für dieses Anfangswertproblem.

Beweis  

Aufgrund von Satz 43.6 gibt es eine eindeutige komplexwertige Lösung

für dieses Differentialgleichungssystem. Da eine reellwertige Lösung insbesondere eine komplexwertige Lösung ist, liegt Eindeutigkeit vor. Der Realteil der komplexen Lösung, also

ist ebenfalls eine Lösung dieses Systems. Wegen der Eindeutigkeit muss sein.




Korollar  

Es sei

mit

ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Dann ist die Menge der Lösungen

ein -dimensionaler -Vektorraum.

Beweis  

Dass der Lösungsraum ein -Vektorraum ist, kann man direkt nachrechnen. Aufgrund von Satz 43.6 bzw. Satz 43.7 gibt es zu jedem Vektor

genau eine Lösung

mit

Die Zuordnung, die eine Lösung der Differentialgleichung auf den Ortspunkt abbildet, ist linear, so dass eine lineare Isomorphie zwischen dem Lösungsraum und vorliegt.



Definition  

Es sei

mit

ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.



Korollar  

Es sei

mit

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Matrix sei diagonalisierbar mit den linear unabhängigen Eigenvektoren .

Dann ist der Lösungsraum der Differentialgleichung gleich

wobei der Eigenwert zu ist.

Beweis  

Dies folgt direkt aus Lemma 43.1 und aus Korollar 43.9.


Beispiel  

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

Für

ergibt sich aus der ersten Zeile (bis auf skalare Vielfache) sofort , was insgesamt der Lösung (der ersten Fundamentallösung)

zum Eigenvektor gemäß Lemma 43.1 entspricht.

Sei nun . Dann führt die zweite Zeile zu , was wir Satz 43.6 entsprechend zu einer Gesamtlösung fortsetzen. Die erste Zeile lautet somit

Die Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung ist , so dass sich mit der Variation der Konstanten der Ansatz mit

ergibt.

Bei ergibt sich und damit die zweite Fundamentallösung

Bei gehört diese zweite Lösung nicht zu einem Eigenvektor.

Bei ergibt sich und damit die zweite Fundamentallösung

Dies ist wieder eine Lösung, die zu einem Eigenvektor gehört.



Beispiel  

Wir betrachten die Bewegung eines Punktes auf der Geraden, wobei die Lage des Punktes proportional zur auf ihn wirkenden Kraft (bzw. Beschleunigung) in Richtung des Nullpunkts sein soll. Wenn der Punkt sich in befindet und sich in die positive Richtung bewegt, so wirkt diese Kraft bremsend, wenn er sich in die negative Richtung bewegt, so wirkt die Kraft beschleunigend. Mit der Proportionalitätskonstante gelangt man zur linearen Differentialgleichung (zweiter Ordnung)

die diesen Bewegungsvorgang beschreibt. Als Anfangsbedingung wählen wir und , zum Zeitpunkt soll die Bewegung also durch den Nullpunkt gehen und dort die Geschwindigkeit besitzen. Man kann sofort die Lösung

angeben. Wir werden diese Lösung mit den Lösungsmethoden für lineare Differentialgleichungen herleiten. Die Differentialgleichung führt zum linearen Differentialgleichungssystem

Das charakteristische Polynom ist

und Eigenvektoren sind (zum Eigenwert ) und (zum Eigenwert ). Die allgemeine komplexe Lösung ist also nach Korollar 43.10 gleich

wobei letztlich nur die erste Zeile (der Realteil) interessiert. Die Anfangsbedingung führt zu

Also ist und . Daher ist die Lösung

nach Satz 18.11.


Mit den linearen Methoden kann man auch die folgende Aussage beweisen.


Satz

Es sei

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten und das charakteristische Polynom zerfalle in Linearfaktoren,

wobei die verschieden seien.

Dann bilden die Funktionen

ein Fundamentalsystem für diese Differentialgleichung.


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