Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 53/latex

\setcounter{section}{53}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Betragsfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { \betrag { x } } {,} \definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{} mit \definitionsverweis {Lipschitz-Konstante}{}{} $1$ ist.

}
{} {}

Es sei \maabbeledisp {f} { L} { M } {x} {f(x) } {,} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{} \mathkor {} {L} {und} {M} {.} Dann heißt $f$ \definitionswort {gleichmäßig stetig}{,} wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit folgender Eigenschaft gibt: Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,x' }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x, x' \right) } }
{ \leq }{ \delta }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x), f(x') \right) } }
{ \leq }{ \epsilon }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {f} { L} { M } {x} {f(x) } {,} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{} \mathkor {} {L} {und} {M} {,} die \definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{} sei. Zeige, dass $f$ auch \definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) } {,} eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $\geq 2$. Zeige, dass $f$ nicht \definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\Q} {\R } {} mit
\mathdisp {f(x)= \begin{cases} 0\, , \text{ falls } x < \sqrt{2} \, , \\ 1\, , \text{ falls } x > \sqrt{2} \, , \end{cases}} { }
\definitionsverweis {stetig}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {I \times U} {V } {} ein \definitionsverweis {stetiges}{}{} \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{,} das auf einer \definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mathl{U \subseteq V}{} eines \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {reellen Vektorraums}{}{} definiert sei und \definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{} genüge. Es sei
\mathl{W \subseteq V}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} mit der Eigenschaft, dass für alle
\mathl{t \in I}{} und
\mathl{P \in U \cap W}{} die Beziehung
\mathl{f(t,P) \in W}{} gilt. Zeige, dass eine \definitionsverweis {Lösung des Anfangswertproblems}{}{}
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ mit } v(t_0)=w \in U \cap W} { }
ganz in $W$ verläuft.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {]0,1[} { \R } {,} derart, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $f$ \definitionsverweis {beschränkt}{}{} ist und $f$ nicht \definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die ersten drei Iterationen in der \definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{} für die \definitionsverweis {gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y' }
{ =} {y^2+t+yt^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Anfangsbedingung
\mathl{y(0)=0}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die ersten vier Iterationen in der \definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{} für die \definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} -t & t^2 \\ 2 & t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Anfangsbedingung \mathkor {} {x(0)=1} {und} {y(0)=-1} {.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {f} {\R \times \R^2} {\R^2 } {(t,u,v)} {(t^2uv,u^2-tv^2) } {.} Bestimme für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die nicht-\definitionsverweis {regulären}{}{} Punkte des Vektorfeldes \maabbeledisp {f_t} {\R^2} {\R^2 } {(u,v)} {(t^2uv,u^2-tv^2) } {.} Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde für das zeitunabhängige \definitionsverweis {Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} u \\v \end{pmatrix} ' }
{ =} { \begin{pmatrix} -v \\u \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\v \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Lösungen mit \mathkor {} {u(0) =a} {und} {v(0) = b} {,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ und } v(1)= (3,2,6)} { }
zum \definitionsverweis {ortsunabhängigen Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {f} {\R \times \R^3} {\R^3 } {(t,x,y,z)} { t^3(3,1,4)-e^{-2t}(2,-1,7)+(t-t^2 e^t )(0,4,5)+(2,2,2) } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in Beispiel 53.7 eine explizite Formel für die Iterationen $\varphi_n$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die ersten vier Iterationen in der \definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{} für die \definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} t^2 & -1 \\ t & t^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Anfangsbedingung \mathkor {} {x(0)=1} {und} {y(0)=1} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {zeitunabhängige Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {v} {3 v^{2/3} = 3 \sqrt[3]{v^2} } {.} Zeige direkt, dass dieses \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist, aber nicht \definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{} genügt.

}
{} {}