Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Vorlesung 53

Wir haben schon für verschiedene Differentialgleichungen gezeigt, dass eine Lösung existiert und durch eine Anfangswertbedingung eindeutig bestimmt ist. Der Satz von Picard-Lindelöf beweist dies recht allgemein unter der Voraussetzung, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.

Lipschitz-Bedingung

Rudolf Lipschitz (1832-1903)

Für den Satz von Picard-Lindelöf wird die Voraussetzung wesentlich sein, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Man sagt, dass das Vektorfeld ${}f$ einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es eine reelle Zahl ${}L\geq 0$ mit

${}\Vert {f(t,u)-f(t,v)}\Vert \leq L\cdot \Vert {u-v}\Vert \,$

für alle ${}t\in I$ und ${}u,v\in U$ gibt.

Die reelle Zahl ${}L$ nennt man auch eine Lipschitz-Konstante für das Vektorfeld ${}f$.

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Man sagt, dass das Vektorfeld ${}f$ lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es zu jedem Punkt ${}(t,v)\in I\times U$ eine offene Umgebung

${}(t,v)\in I'\times U'\subseteq I\times U\,$

derart gibt, dass das auf ${}I'\times U'$ eingeschränkte Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt.

Die folgende Aussage liefert ein wichtiges und leicht überprüfbares hinreichendes Kriterium, wann ein Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.

Lemma

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles offenes Intervall, ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto f(t,v_{1},\ldots ,v_{n}),$

ein Vektorfeld auf ${}U$ derart, dass die partiellen Ableitungen nach ${}v_{j}$ existieren und stetig sind.

Dann genügt ${}f$ lokal einer Lipschitz-Bedingung.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Sei ${}P=(t,v)=(t,v_{1},\ldots ,v_{n})$

ein Punkt in ${}I\times U$ und sei

$U{\left(t,\epsilon \right)}\times U{\left(v,\epsilon \right)}$

eine offene Umgebung von ${}P$ innerhalb von ${}I\times U$ derart, dass auch

${}B=B\left(t,\epsilon \right)\times B\left(v,\epsilon \right)\subseteq I\times U\,$

ist. Dieses ${}B$ ist eine abgeschlossene Umgebung von ${}P$ und daher kompakt. Da die partiellen Ableitungen ${}{\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}$ nach Voraussetzung stetig sind, gibt es nach Fakt ***** eine gemeinsame Schranke ${}c\in \mathbb {R}$ mit

${}\Vert {{\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}(Q)}\Vert \leq c\,$

für alle ${}Q\in B$. Daher gibt es für die Matrizen ${}{\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}(Q)\right)}_{1\leq i,j\leq n}$ eine Schranke ${}L$ mit

${}\Vert {{\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}(Q)\right)}_{1\leq i,j\leq n}}\Vert \leq L\,.$

Man kann daher zu jedem festen Zeitpunkt ${}s\in U{\left(t,\epsilon \right)}$ Fakt ***** anwenden und erhält für ${}u,u'\in U{\left(v,\epsilon \right)}$ die Abschätzung

${}\Vert {f(s,u)-f(s,u')}\Vert \leq L\cdot \Vert {u-u'}\Vert \,.$

$\Box$

 

Für ein lineares Differentialgleichungssystem

${}v'=A(t)v+z(t)\,$

mit einer stetigen Matrix ${}A(t)$ sind die Bedingungen der vorstehenden Aussage erfüllt. Die ${}i$-te Komponente des Vektorfelds besitzt ja die Gestalt

${}f_{i}(t,v_{1},\ldots ,v_{n})=a_{i1}(t)v_{1}+\cdots +a_{in}(t)v_{n}+z_{i}(t)\,.$

Daraus folgt, dass ${}f_{i}$ nach ${}v_{j}$ partiell ableitbar ist mit der stetigen Ableitung ${}a_{ij}(t)$, so dass die Bedingungen erfüllt sind.

Differential- und Integralgleichungen

Mit dem Begriff des Integrals einer Kurve, das wir in Vorlesung 36 eingeführt haben, kann man Differentialgleichungen auch als Integralgleichungen schreiben.

Lemma

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein stetiges Vektorfeld auf ${}U$. Es sei ${}(t_{0},w)\in I\times U$ vorgegeben.

Dann ist eine stetige Abbildung

$v\colon J\longrightarrow U,\,t\longmapsto v(t),$

auf einem Intervall ${}J\subseteq I$ mit ${}t_{0}\in J$ genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems  (insbesondere muss ${}v$ differenzierbar sein)

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w,$

wenn ${}v$ die Integralgleichung

${}v(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,v(s))\,ds\,$

erfüllt.

Beweis

Es sei die Integralbedingung erfüllt. Dann ist

${}v(t_{0})=w\,$

und aufgrund des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung gilt ${}v'(t)=f(t,v(t))$. Insbesondere sichert die Integralbedingung, dass ${}v$ differenzierbar ist.
Wenn umgekehrt ${}v$ eine Lösung des Anfangswertproblems ist, so ist ${}v'(s)=f(s,v(s))$ und daher

${}w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,v(s))\,ds=w+\int _{t_{0}}^{t}v'(s)\,ds=w+v(t)-v(t_{0})=v(t)\,.$

$\Box$

Der Satz von Picard-Lindelöf

Wir kommen nun zum wichtigsten Existenz- und Eindeutigkeitssatz für die Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Satz

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge.

Dann gibt es zu jedem ${}(t_{0},w)\in I\times U$ ein offenes Intervall ${}J$ mit ${}t_{0}\in J\subseteq I$ derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige Lösung für das Anfangswertproblem

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w$

existiert.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Nach Lemma 53.4 ist eine stetige Abbildung

$v\colon J\longrightarrow V$

genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems, wenn ${}v$ die Integralgleichung

${}v(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,v(s))\,ds\,$

erfüllt. Wir wollen die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung für diese Integralgleichung unter Verwendung des Banachschen Fixpunktsatzes dadurch erweisen, dass wir für die Abbildung (man spricht von einem Funktional)

$\psi \longmapsto (t\mapsto w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\psi (s))\,ds)$

einen Fixpunkt finden. Hierbei stehen links und rechts Abbildungen in ${}t$ (aus einem gewissen Teilintervall von ${}I$ mit Werten in ${}V$). Die Fixpunkteigenschaft ${}H(\psi )=\psi$ bedeutet gerade, dass ${}\psi (t)=w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\psi (s))ds$ ist. Um den Fixpunktsatz anwenden zu können müssen wir ein Definitionsintervall festlegen, und eine Metrik auf dem Abbildungsraum nach ${}V$ definieren, diesen metrischen Raum dann als vollständig und das Funktional als stark kontrahierend nachweisen. Aufgrund der Voraussetzung über die lokale Lipschitz-Bedingung gibt es eine offene Umgebung

${}(t_{0},w)\in J'\times U{\left(w,\epsilon \right)}\subseteq I\times U\,$

und ein ${}L\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ mit

${}\Vert {f(t,v)-f(t,{\tilde {v}})}\Vert \leq L\Vert {v-{\tilde {v}}}\Vert \,$

für alle ${}t\in J'$ und ${}v,{\tilde {v}}\in U{\left(w,\epsilon \right)}$. Durch Verkleinern der Radien können wir annehmen, dass der Abschluss von ${}J'\times U{\left(w,\epsilon \right)}$, also das Produkt des abgeschlossenen Intervalls mit der abgeschlossenen Kugel, ebenfalls in ${}I\times U$ liegt. Aufgrund von Fakt ***** gibt es ein ${}M\in \mathbb {R} _{+}$ mit

$\Vert {f(t,v)}\Vert \leq M{\text{ für alle }}(t,v)\in J'\times U{\left(w,\epsilon \right)}$

(da diese Beschränktheit auf dem Abschluss gilt). Wir ersetzen nun ${}J'$ durch ein kleineres Intervall

${}J=[t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta ]\subseteq J'\,$

mit ${}\delta >0$, ${}\delta \leq \epsilon /M$ und ${}\delta \leq 1/(2L)$.
Wir betrachten nun die Menge der stetigen Abbildungen

${}{\begin{aligned}C&={\left\{\psi :J\rightarrow V\mid \psi {\text{ stetig}},\,\Vert {\psi (t)-w}\Vert \leq \epsilon {\text{ für alle }}t\in J\right\}}\\&={\left\{\psi :J\rightarrow V\mid \psi {\text{ stetig}},\,\Vert {\psi -w}\Vert \leq \epsilon \right\}}.\end{aligned}}$

Dabei wird also ${}C$ mit der Maximumsnorm auf ${}J$ versehen. Dieser Raum ist nach Fakt ***** und nach Aufgabe ***** wieder ein vollständiger metrischer Raum.
Wir betrachten nun auf diesem konstruierten Intervall ${}J$ bzw. der zugehörigen Menge ${}C$ die Abbildung

$H\colon C\longrightarrow C,\,\psi \longmapsto H(\psi )=(t\mapsto w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\psi (s))\,ds).$

Dazu müssen wir zunächst zeigen, dass ${}H(\psi )$ wieder zu ${}C$ gehört. Für ${}t\in J$ ist aber nach Satz 36.1

${}{\begin{aligned}\Vert {H(\psi )(t)-w}\Vert &=\Vert {\int _{t_{0}}^{t}f(s,\psi (s))\,ds}\Vert \\&\leq {op:Betrag\int _{t_{0}}^{t}\Vert {f(s,\psi (s))}\Vert \,ds}\\&\leq \vert {t-t_{0}}\vert M\\&\leq {\frac {\epsilon }{M}}M\\&=\epsilon ,\end{aligned}}$

und ${}H(\psi )$ ist stetig, da es durch ein Integral definiert wird.
Zum Nachweis der Kontraktionseigenschaft seien ${}\psi _{1},\psi _{2}\in C$ gegeben. Für ein ${}t\in J$ ist

${}{\begin{aligned}\Vert {H(\psi _{1})(t)-H(\psi _{2})(t)}\Vert &=\Vert {\int _{t_{0}}^{t}f(s,\psi _{1}(s))\,ds-\int _{t_{0}}^{t}f(s,\psi _{2}(s))\,ds}\Vert \\&=\Vert {\int _{t_{0}}^{t}(f(s,\psi _{1}(s))-f(s,\psi _{2}(s)))\,ds}\Vert \\&\leq \vert {\int _{t_{0}}^{t}\Vert {f(s,\psi _{1}(s))-f(s,\psi _{2}(s))}\Vert \,ds}\vert \\&\leq \vert {\int _{t_{0}}^{t}L\Vert {\psi _{1}(s)-\psi _{2}(s)}\Vert \,ds}\vert \\&=L\cdot \vert {\int _{t_{0}}^{t}\Vert {\psi _{1}(s)-\psi _{2}(s)}\Vert \,ds}\vert \\&\leq L\cdot \vert {\int _{t_{0}}^{t}\Vert {\psi _{1}-\psi _{2}}\Vert \,ds}\vert \\&\leq L\vert {t-t_{0}}\vert \cdot \Vert {\psi _{1}-\psi _{2}}\Vert \\&\leq {\frac {1}{2}}\Vert {\psi _{1}-\psi _{2}}\Vert .\end{aligned}}$

Da dies für jedes ${}t\in J$ gilt, folgt aus dieser Abschätzung direkt

${}\Vert {H(\psi _{1})-H(\psi _{2})}\Vert \leq {\frac {1}{2}}\Vert {\psi _{1}-\psi _{2}}\Vert \,,$

d.h. es liegt eine starke Kontraktion vor. Daher besitzt ${}H$ ein eindeutiges Fixelement ${}\psi \in C$, und diese Abbildung löst die Differentialgleichung. Dies gilt dann erst recht auf jedem offenen Teilintervall von ${}J$.
Damit haben wir insbesondere bewiesen, dass es in ${}C$ nur eine Lösung geben kann, wir wollen aber generell auf dem Intervall ${}J$ Eindeutigkeit erhalten. Für eine Lösung ${}v\colon J\rightarrow V$ gilt aber wegen der Integralbeziehung wieder

${}v(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,v(s))ds\,$

und die gleichen Abschätzungen wie weiter oben zeigen, dass die Lösung zu ${}C$ gehören muss.

$\Box$

 

Die Picard-Lindelöf-Iteration

Der Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf, den wir nicht vorgeführt haben, läuft über die äquivalente Integralgleichung und ist prinzipiell kontruktiv. Darauf beruht die Picard-Lindelöf-Iteration, mit der man Lösungen approximieren kann. Die Güte der Approximationen wird dabei durch geeignete Normen auf Funktionenräumen gemessen, was wir nicht ausführen.

Bemerkung  

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Es sei ${}(t_{0},w)\in I\times U$ eine Anfangsbedingung. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. In der Picard-Lindelöf-Iteration definiert man iterativ eine Folge von Funktionen

$\varphi _{n}\colon I\longrightarrow V$

durch ${}\varphi _{0}=w$ (dies ist also die konstante Funktion mit dem Wert ${}w$) und durch

${}\varphi _{n+1}(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}F(s,\varphi _{n}(s))ds\,.$

Dann gibt es ein Teilintervall ${}{]a,b[}\subseteq I$ mit ${}t_{0}\in {]a,b[}$ derart, dass für ${}t\in {]a,b[}$ die Folge ${}\varphi _{n}(t)$ gegen einen Punkt ${}\varphi (t)$ konvergiert (man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert; es gelten hier auch stärkere Konvergenzaussagen). Diese Grenzfunktion ${}\varphi$ ist dann eine Lösung des Anfangswertproblems

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w.$

Bei einer linearen Differentialgleichung mit stetigen Koeffizientenfunktionen konvergiert dieses Verfahren auf ganz ${}I$.

Wir wenden dieses Verfahren auf eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen an, für die wir die Lösung schon kennen (siehe Aufgabe 30.7).

Beispiel

Wir wenden die Picard-Lindelöf-Iteration auf die Differentialgleichung

${}y'=F(t,y)=ty\,$

mit der Anfangsbedingung

${}y(0)=1\,$

an (die Lösung ist $e^{{\frac {1}{2}}t^{2}}$). Daher ist ${}\varphi _{0}=1$. Die erste Iteration liefert

${}\varphi _{1}(t)=1+\int _{0}^{t}sds=1+{\frac {1}{2}}t^{2}\,.$

Die zweite Iteration liefert

${}{\begin{aligned}\varphi _{2}(t)&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,\varphi _{1}(s)\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,1+{\frac {1}{2}}s^{2}\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}s+{\frac {1}{2}}s^{3}ds\\&=1+{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{8}}t^{4}.\end{aligned}}$

Die dritte Iteration liefert

${}{\begin{aligned}\varphi _{3}(t)&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,\varphi _{2}(s)\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,1+{\frac {1}{2}}s^{2}+{\frac {1}{8}}s^{4}\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}s+{\frac {1}{2}}s^{3}+{\frac {1}{8}}s^{5}ds\\&=1+{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{8}}t^{4}+{\frac {1}{48}}t^{6}.\end{aligned}}$

Dabei stimmt die ${}i$-te Iteration mit der Taylor-Entwicklung der Ordnung ${}2i$ der Lösung überein.

Zur Eindeutigkeit der Lösungen von Differentialgleichungen

Der Satz von Picard-Lindelöf sagt, dass es unter den gegebenen Voraussetzungen lokal, also auf einem gewissen Teilintervall, eine eindeutige Lösung der Differentialgleichung gibt. Die folgende Aussage zeigt, dass eine Lösung dort, wo sie definiert ist, eindeutig bestimmt ist. Wir verwenden die folgende Zusammenhangseigenschaft eines reellen Intervalls ${}J$, die aus dem Zwischenwertsatz folgt: Eine nichtleere Teilmenge ${}M\subseteq J$, die sowohl offen als auch abgeschlossen ist, muss gleich ganz ${}J$ sein.

Satz

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein stetiges Vektorfeld auf ${}U$ das lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt. Es sei ${}J\subseteq I$ ein offenes Teilintervall und es seien

$v_{1},v_{2}\colon J\longrightarrow V$

Lösungen des Anfangswertproblems

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w.$

Dann ist ${}v_{1}=v_{2}$.

Beweis

Wir betrachten die Menge

${}M={\left\{t\in J\mid v_{1}(t)=v_{2}(t)\right\}}\,.$

Wegen ${}t_{0}\in M$ ist diese Menge nicht leer. Zu jedem Punkt ${}t\in I$ gibt es nach Satz 53.5 eine offene Intervallumgebung ${}t\in J'$, worauf es zu gegebener Anfangsbedingung ${}v(t)=v_{0}$ genau eine Lösung der Differentialgleichung gibt. Wenn ${}t\in M$ ist, so ist ${}v_{1}(t)=v_{2}(t)$ und daher stimmen ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ in einer offenen Umgebung ${}t\in J'$ mit der eindeutigen Lösung und damit untereinander überein. Also ist ${}J'\subseteq M$. Dies bedeutet, dass ${}M$ eine offene Teilmenge von ${}J$ ist.
Andererseits sind ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ stetig und daher ist nach Aufgabe 33.6 die Menge ${}M$ auch abgeschlossen in ${}J$.
Aus der Vorbemerkung folgt ${}M=J$.

$\Box$

Das folgende Beispiel zeigt, dass ohne die Lipschitz-Bedingung die Lösung eines Anfangswertproblems nicht eindeutig bestimmt ist. In diesem Beispiel ist das Vektorfeld nach ${}v$ ableitbar, die Ableitung ist aber nicht stetig, so dass Lemma 53.3 nicht anwendbar ist.

Beispiel

Wir betrachten das Anfangswertproblem

$v'=3v^{2/3}{\text{ mit }}v(0)=0$

zum zeitunabhängigen Vektorfeld

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto 3v^{2/3}=3{\sqrt[{3}]{v^{2}}}.$

Offensichtlich gibt es die stationäre Lösung

${}h(t)=0\,,$

aber auch

${}g(t)=t^{3}\,$

ist eine Lösung, wie man durch Nachrechnen sofort bestätigt. Aus diesen beiden Lösungen kann man sich noch weitere Lösungen basteln. Es seien dazu ${}a<b$ reelle Zahlen. Dann ist auch

${}\varphi (t)={\begin{cases}(t-a)^{3}{\text{ für }}t<a,\\0{\text{ für }}a\leq t\leq b,\\(t-b)^{3}{\text{ für }}t>b,\end{cases}}\,$

eine Lösung. D.h. es gibt Lösungen, bei denen das Teilchen beliebig lange (im Zeitintervall von ${}a$ nach ${}b$) ruht und danach (und davor) sich bewegt. Sobald sich das Teilchen in einem Punkt ${}\neq 0$ befindet, ist der Bewegungsablauf lokal eindeutig bestimmt.

Bemerkung  

Zu einem stetigen Vektorfeld

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

kann man sich fragen, ob es ein maximales Definitionsintervall ${}J$ für die Lösung eines Anfangswertproblems

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w$

gibt. Dies ist in der Tat der Fall, wenn das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt! Man kann nämlich alle Teilmengen

$J\subseteq I{\text{ offen }},\,t_{0}\in J,\,{\text{ es gibt eine L}}{\ddot {o}}{\text{sung }}v_{J}{\text{ auf }}J$

betrachten. Wegen Satz 53.8 stimmen zwei Lösungen ${}v_{J}$ und ${}v_{J'}$ auf dem Durchschnitt ${}J\cap J'$ überein, und liefern daher eine eindeutige Lösung auf der Vereinigung ${}J\cup J'$. Daher enthält die Menge der Teilintervalle, auf denen eine Lösung definiert ist, ein maximales Teilintervall ${}J$.

Dieses Teilintervall kann kleiner als ${}I$ sein. Die Grenzen des maximalen Teilintervalls, auf dem eine Lösung definiert ist, heißen auch Entweichzeiten.

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