Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 53

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Betragsfunktion

Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ist.


Es sei

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und . Dann heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ein gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle mit ist .


Aufgabe

Es sei

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und , die Lipschitz-stetig sei. Zeige, dass auch gleichmäßig stetig ist.


Aufgabe

Es sei

eine Polynomfunktion vom Grad . Zeige, dass nicht gleichmäßig stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

mit

stetig, aber nicht gleichmäßig stetig ist.


Aufgabe

Sei

ein stetiges Vektorfeld, das auf einer offenen Menge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums definiert sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Es sei ein Untervektorraum mit der Eigenschaft, dass für alle und die Beziehung gilt. Zeige, dass eine Lösung des Anfangswertproblems

ganz in verläuft.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

derart, dass das Bild von beschränkt ist und nicht gleichmäßig stetig ist.


Aufgabe *

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung .


Aufgabe

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung und .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

Bestimme für jedes die nicht-regulären Punkte des Vektorfeldes
Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?


Aufgabe (3 Punkte)

Finde für das zeitunabhängige Differentialgleichungssystem

Lösungen mit und , wobei sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

zum ortsunabhängigen Vektorfeld


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme in Beispiel 53.7 eine explizite Formel für die Iterationen .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung und .


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das zeitunabhängige Vektorfeld

Zeige direkt, dass dieses Vektorfeld stetig ist, aber nicht lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.




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