Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 53

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Betragsfunktion

$ℝ⟶ℝ,x⟼|x|,$

Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante $1$ ist.

Es sei

$f:L⟶M,x⟼f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen $L$ und $M$. Dann heißt $f$ gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem  $ϵ>0$  ein  $\delta >0$  mit folgender Eigenschaft gibt: Für alle  $x,x^{\prime }\in L$  mit  $d(x,x^{\prime })\le \delta$  ist  $d(f(x),f(x^{\prime }))\le ϵ$. 

Aufgabe

Es sei

$f:L⟶M,x⟼f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen $L$ und $M$, die Lipschitz-stetig sei. Zeige, dass $f$ auch gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe

Es sei

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼f(x),$

eine Polynomfunktion vom Grad $\ge 2$. Zeige, dass $f$ nicht gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$f:\mathbb{Q}⟶ℝ$

mit

$f(x)=\{\begin{array}{c}0,\text{ falls }x<\sqrt{2},\\ 1,\text{ falls }x>\sqrt{2},\end{array}$

stetig, aber nicht gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe

Es sei

$f:I\times U⟶V$

ein stetiges Vektorfeld, das auf einer offenen Menge $U\subseteq V$ eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums definiert sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Es sei $W\subseteq V$ ein Untervektorraum mit der Eigenschaft, dass für alle $t\in I$ und $P\in U\cap W$ die Beziehung $f(t,P)\in W$ gilt. Zeige, dass eine Lösung des Anfangswertproblems

$v^{\prime }=f(t,v)\text{ mit }v(t_0)=w\in U\cap W$

ganz in $W$ verläuft.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

$f:]0,1[⟶ℝ,$

derart, dass das Bild von $f$ beschränkt ist und $f$ nicht gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe *

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung

$y^{\prime }=y^2+t+y{t}^2$

mit der Anfangsbedingung $y(0)=0$.

Aufgabe

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}-t& t^2\\ 2& t\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

mit der Anfangsbedingung $x(0)=1$ und $y(0)=-1$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

$f:ℝ\times {ℝ}^2⟶{ℝ}^2,(t,u,v)⟼(t^{2}uv,u^2-t{v}^2).$

Bestimme für jedes  $t\in ℝ$  die nicht-regulären Punkte des Vektorfeldes

$f_t:{ℝ}^2⟶{ℝ}^2,(u,v)⟼(t^{2}uv,u^2-t{v}^2).$

Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?

Aufgabe (3 Punkte)

Finde für das zeitunabhängige Differentialgleichungssystem

${\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)}^{\prime }=\left(\begin{array}{c}-v\\ u\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)$

Lösungen mit $u(0)=a$ und $v(0)=b$, wobei  $a,b\in ℝ$  sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$v^{\prime }=f(t,v)\text{ und }v(1)=(3,2,6)$

zum ortsunabhängigen Vektorfeld

$f:ℝ\times {ℝ}^3⟶{ℝ}^3,(t,x,y,z)⟼t^3(3,1,4)-e^{-2t}(2,-1,7)+(t-t^2{e}^t)(0,4,5)+(2,2,2).$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme in Beispiel 53.7 eine explizite Formel für die Iterationen ${\phi }_n$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}{t}^2& -1\\ t& t^3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

mit der Anfangsbedingung $x(0)=1$ und $y(0)=1$.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das zeitunabhängige Vektorfeld

$f:ℝ⟶ℝ,v⟼3v^{2/3}=3\sqrt[3]{v^2}.$

Zeige direkt, dass dieses Vektorfeld stetig ist, aber nicht lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.