Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/11

Antworten zu Fragen zur Vorlesung

Studentenfrage

In Verfahren 11.3 ist das Verfahren der Intervallhalbierung angeführt. Nutzt man dieses Verfahren nur für die Berechnung einer Nullstelle (bzw. der Annäherung der Nullstelle) oder ist dieses Verfahren noch anderweitig verwendbar?

Antwort

Da das Verfahren auf dem Beweis des Zwischenwertsatzes beruht kann man es für Alles anwenden wofür der Zwischenwertsatz verwendet wird. Man kann also zum Beispiel auch Stellen mit anderen Werten als 0 finden.

Über die Nullstellen der Ableitung (siehe Vorlesung 14) kann man damit auch lokale Maxima und Minima von differenzierbaren Funktionen finden.

Studentenfrage

Mir ist unklar, inwiefern Beispiel 11.9 ein Beispiel für den Satz 11.8 ist. Was wird in dem Beispiel gezeigt?

Antwort

Die im Beispiel angegebene Funktion

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,T\longmapsto v=20,06{\sqrt {T}}=20,06T^{1/2}$

ist eine Wurzelfunktion. Nach Satz 11.8 ist sie also bijektiv, streng monoton wachsend und stetig mit einer stetigen Umkehrfunktion. Die Schallgeschwindigkeit hängt also stetig, streng wachsend von der Temperatur ab. Umgekehrt kann man die Temperatur im Prinzip auf stetige Art aus einer gemessenen Schallgeschwindigkeit herleiten.

Es ist immer gut über die mathematischen Eigenschaften eines physikalischen Zusammenhangs bescheid zu wissen. In dem angewendeten physikalischen Modell der Schallgeschwindigkeit können wir also zum Beispiel auch den Zwischenwertsatz und alle anderen bekannten Gesetzmäßigkeiten von stetigen Funktionen anwenden.

Studentenfrage

Nach Definition ***** sagt man, wenn gilt ${}f(x)\geq f(x')$, dann nimmt ${}f$ das Maximum an, aber wieso ist das so? Wieso kann es zwischenzeitlich kein Lokales Minimum annehmen?

Antwort

Das Maximum ist die Stelle an der die Funktion ihren maximalen Wert annimmt, also einen Wert, der mindestens so groß ist wie alle anderen Werte, die die Funktion annimmt. Das hat mit dem lokalen Minimum nichts zu tun. Wichtig ist, dass ${}f(x)\geq f(x')$ für alle ${}x'$ im Definitionsbereich gilt.

Bemerke, dass auch das lokale Maximum nichts mit dem lokalen Minimum zu tun hat. Wenn das lokale Maximum kein (globales) Maximum ist müssen wir nur aufpassen, dass wir die ${}\epsilon$-Umgebung klein genug wählen. Ob in der ${}\epsilon$-Umgebung auch ein lokales Minimum liegt, ist irrelevant.

Im Extremfall einer konstanten Funktion sind alle Punkte sogar sowohl Maximum als auch Minimum! Im Falle eine isolierten Maximums bzw. isolierten Minimums kann das aber nicht auftreten.

Bemerkungen zu den abgegebenen Aufgaben von Blatt 11

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