Riemann Integral/x^2 von 0 bis 1/Explizit über Treppenintegrale/Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{2},$

die bekanntlich in diesem Intervall streng wachsend ist. Für ein Teilintervall ${}[a,b]\subseteq [0,1]$ ist daher ${}f(a)$ das Minimum und ${}f(b)$ das Maximum der Funktion über diesem Teilintervall. Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl. Wir unterteilen das Intervall ${}[0,1]$ in die ${}n$ gleichlangen Teilintervalle

$\left[i{\frac {1}{n}},(i+1){\frac {1}{n}}\right],i=0,\ldots ,n-1,$

der Länge ${}{\frac {1}{n}}$. Das Treppenintegral zu der zugehörigen unteren Treppenfunktionen ist

${}\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{n}}{\left(i{\frac {1}{n}}\right)}^{2}={\frac {1}{n^{3}}}\sum _{i=0}^{n-1}i^{2}={\frac {1}{n^{3}}}{\left({\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n\right)}={\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}\,$

(siehe Aufgabe für die Formel für die Summe der Quadrate). Da die beiden Folgen ${}{\left(1/2n\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(1/6n^{2}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}0$ konvergieren, ist der Limes für ${}n\rightarrow \infty$ von diesen Treppenintegralen gleich ${}{\frac {1}{3}}$. Das Treppenintegral zu der zugehörigen oberen Treppenfunktion ist

${}\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{n}}{\left((i+1){\frac {1}{n}}\right)}^{2}={\frac {1}{n^{3}}}\sum _{i=0}^{n-1}(i+1)^{2}={\frac {1}{n^{3}}}\sum _{j=1}^{n}j^{2}={\frac {1}{n^{3}}}{\left({\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n\right)}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}\,.$

Der Limes davon ist wieder ${}{\frac {1}{3}}$. Da beide Limiten übereinstimmen, müssen nach Fakt überhaupt das Ober- und das Unterintegral übereinstimmen, sodass die Funktion Riemann-integrierbar ist und das bestimmte Integral

${}\int _{0}^{1}t^{2}\,dt={\frac {1}{3}}\,$

ist.