Riemann Integral/x^2 von 0 bis 1/Explizit über Treppenintegrale/Beispiel

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Wir betrachten die Funktion

die bekanntlich in diesem Intervall streng wachsend ist. Für ein Teilintervall ist daher das Minimum und das Maximum der Funktion über diesem Teilintervall. Sei eine positive natürliche Zahl. Wir unterteilen das Intervall in die gleichlangen Teilintervalle

der Länge . Das Treppenintegral zu der zugehörigen unteren Treppenfunktionen ist

(siehe Aufgabe für die Formel für die Summe der Quadrate). Da die beiden Folgen und gegen konvergieren, ist der Limes für von diesen Treppenintegralen gleich . Das Treppenintegral zu der zugehörigen oberen Treppenfunktionen ist

Der Limes davon ist wieder . Da beide Limiten übereinstimmen, müssen nach Fakt überhaupt das Ober- und das Unterintegral übereinstimmen, so dass die Funktion Riemann-integrierbar ist und das bestimmte Integral

ist.