Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/Vorlesung 3

Induktion

Die natürlichen Zahlen sind dadurch ausgezeichnet, dass man jede natürliche Zahl ausgehend von der ${}0$ durch den Zählprozess (das sukzessive Nachfolgernehmen) erreichen kann. Daher können mathematische Aussagen, die von natürlichen Zahlen abhängen, mit dem Beweisprinzip der vollständigen Induktion bewiesen werden. Das folgende Beispiel soll an dieses Argumentationsschema heranführen.

Beispiel

Wir betrachten in der Ebene ${}E$ eine Konfiguration von ${}n$ Geraden und fragen uns, was die maximale Anzahl an Schnittpunkten ist, die eine solche Konfiguration haben kann. Dabei ist es egal, ob wir uns die Ebene als einen ${}\mathbb {R} ^{2}$ (eine kartesische Ebene mit Koordinaten) oder einfach elementargeometrisch vorstellen, wichtig ist im Moment allein, dass sich zwei Geraden in genau einem Punkt schneiden können oder aber parallel sein können. Wenn ${}n$ klein ist, so findet man relativ schnell die Antwort.

${}n$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}n$
${}S(n)$	${}0$	${}0$	${}1$	${}3$	${}6$	${}?$	${}?$

Doch schon bei etwas größerem ${}n$ (${}n=5,10,\ldots$?) kann man ins Grübeln kommen, da man sich die Situation irgendwann nicht mehr präzise vorstellen kann. Aus einer präzisen Vorstellung wird eine Vorstellung von vielen Geraden mit vielen Schnittpunkten, woraus man aber keine exakte Anzahl der Schnittpunkte ablesen kann. Ein sinnvoller Ansatz zum Verständnis des Problems ist es, sich zu fragen, was eigentlich passiert, wenn eine neue Gerade hinzukommt, wenn also aus ${}n$ Geraden ${}n+1$ Geraden werden. Angenommen, man weiß aus irgendeinem Grund, was die maximale Anzahl der Schnittpunkte bei ${}n$ Geraden ist, im besten Fall hat man dafür eine Formel. Wenn man dann versteht, wie viele neue Schnittpunkte maximal bei der Hinzunahme von einer neuen Geraden hinzukommen, so weiß man, wie die Anzahl der maximalen Schnittpunkte von ${}n+1$ Geraden lautet.

Dieser Übergang ist in der Tat einfach zu verstehen. Die neue Gerade kann höchstens jede der ${}n$ alten Geraden in genau einem Punkt schneiden, deshalb kommen höchstens ${}n$ neue Schnittpunkte hinzu. Wenn man die neue Gerade so wählt, dass sie zu keiner der gegebenen Geraden parallel ist (was möglich ist, da es unendlich viele Richtungen gibt) und ferner so wählt, dass die neuen Schnittpunkte von den schon gegebenen Schnittpunkten der Konfiguration verschieden sind (was man erreichen kann, indem man die neue Gerade parallel verschiebt, um den alten Schnittpunkten auszuweichen), so erhält man genau ${}n$ neue Schnittpunkte. Von daher ergibt sich die (vorläufige) Formel

${}S(n+1)=1+2+3+\cdots +n-2+n-1+n\,$

bzw.

${}S(n)=1+2+3+\cdots +n-3+n-2+n-1\,,$

also einfach die Summe der ersten ${}n-1$ natürlichen Zahlen.

Im vorstehenden Beispiel liegt eine Summe vor, wobei die Anzahl der Summanden selbst variieren kann. Für eine solche Situation ist das Summenzeichen sinnvoll. Für gegebene reelle Zahlen ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ bedeutet

${}\sum _{k=1}^{n}a_{k}:=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}\,.$

Dabei hängen im Allgemeinen die ${}a_{k}$ in einer formelhaften Weise von ${}k$ ab, beispielsweise ist im Beispiel ${}a_{k}=k$, es könnte aber auch etwas wie ${}a_{k}=2k+1$ oder ${}a_{k}=k^{2}$ vorliegen. Der ${}k$-te Summand der Summe ist jedenfalls ${}a_{k}$, dabei nennt man ${}k$ den Index des Summanden. Entsprechend ist das Produktzeichen definiert, nämlich durch

${}\prod _{k=1}^{n}a_{k}:=a_{1}\cdot a_{2}{\cdots }a_{n-1}\cdot a_{n}\,.$

Beispiel

Wir möchten für die Summe der ersten ${}n$ Zahlen, die die maximale Anzahl der Schnittpunkte in einer Konfiguration aus ${}n+1$ Geraden angibt, eine einfachere Formel angeben. Und zwar behaupten wir, dass

${}\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}\,.$

Für kleinere Zahlen ${}n$ stimmt dies aus dem einfachen Grund, dass links und rechts dasselbe herauskommt. Um die Gleichung allgemein zu beweisen, überlegen wir uns, was links und was rechts passiert, wenn wir das ${}n$ um ${}1$ erhöhen, so wie wir in Beispiel ***** die Geradenkonfiguration um eine zusätzliche Gerade verkompliziert haben. Auf der linken Seite kommt einfach der zusätzliche Summand ${}n+1$ hinzu. Auf der rechten Seite haben wir den Übergang von ${}{\frac {n(n+1)}{2}}$ nach ${}{\frac {(n+1)(n+1+1)}{2}}$. Wenn wir zeigen können, dass die Differenz zwischen diesen beiden Brüchen ebenfalls ${}n+1$ ist, so verhält sich die rechte Seite genauso wie die linke Seite. Dann kann man so schließen: die Gleichung gilt für die kleinen ${}n$, etwa für ${}n=1$. Durch den Differenzenvergleich gilt es auch für das nächste ${}n$, also für ${}n=2$, durch den Differenzenvergleich gilt es für das nächste ${}n$, u.s.w. Da dieses Argument immer funktioniert, und da man jede natürliche Zahl irgendwann durch sukzessives Nachfolgernehmen erreicht, gilt die Formel für jede natürliche Zahl.

Eine Visualisierung des Induktionsprinzips. Wenn die Steine nah beieinander stehen und der erste umgestoßen wird, so fallen alle Steine um.

Die folgende Aussage begründet das Prinzip der vollständigen Induktion.

Satz

Für jede natürliche Zahl ${}n$ sei eine Aussage ${}A(n)$ gegeben. Es gelte

1. ${}A(0)$ ist wahr.
2. Für alle ${}n$ gilt: wenn ${}A(n)$ gilt, so ist auch ${}A(n+1)$ wahr.

Dann gilt ${}A(n)$ für alle ${}n$.

Beweis

Wegen der ersten Voraussetzung gilt ${}A(0)$. Wegen der zweiten Voraussetzung gilt auch ${}A(1)$. Deshalb gilt auch ${}A(2)$. Deshalb gilt auch ${}A(3)$. Da man so beliebig weitergehen kann und dabei jede natürliche Zahl erhält, gilt die Aussage ${}A(n)$ für jede natürliche Zahl ${}n$.

$\Box$

Der Nachweis von ${}A(0)$ heißt dabei der Induktionsanfang und der Schluss von ${}A(n)$ auf ${}A(n+1)$ heißt der Induktionsschritt. Innerhalb des Induktionsschrittes nennt man die Gültigkeit von ${}A(n)$ die Induktionsvoraussetzung. In manchen Situationen ist die Aussage ${}A(n)$ erst für ${}n\geq n_{0}$ für ein gewisses ${}n_{0}$ (definiert oder) wahr. Dann beweist man im Induktionsanfang die Aussage ${}A(n_{0})$ und den Induktionsschluss führt man für ${}n\geq n_{0}$ durch.

Wir begründen nun die Gleichheit

${}\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}\,.$

mit dem Induktionsprinzip.

Beim Induktionsanfang ist ${}n=1$, daher besteht die Summe links nur aus einem Summanden, nämlich der ${}1$, und daher ist die Summe ${}1$. Die rechte Seite ist ${}{\frac {1\cdot 2}{2}}=1$, so dass die Formel für ${}n=1$ stimmt.

Für den Induktionsschritt setzen wir voraus, dass die Formel für ein ${}n\geq 1$ gilt, und müssen zeigen, dass sie dann auch für ${}n+1$ gilt. Dabei ist ${}n$ beliebig. Es ist

${}{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n+1}k&=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)+n+1\\&={\frac {n(n+1)}{2}}+n+1\\&={\frac {n(n+1)+2(n+1)}{2}}\\&={\frac {(n+2)(n+1)}{2}}.\end{aligned}}$

Dabei haben wir für die zweite Gleichheit die Induktionsvoraussetzung verwendet. Der zuletzt erhaltene Term ist die rechte Seite der Formel für ${}n+1$, also ist die Formel bewiesen.

Mengen

Georg Cantor (1845-1918) ist der Schöpfer der Mengentheorie.

David Hilbert (1862-1943) nannte sie ein Paradies, aus dem die Mathematiker nie mehr vertrieben werden dürfen.

Mathematische Strukturen, wie die bereits erwähnten Zahlen, werden als Mengen beschrieben. Eine Menge ist eine Ansammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die die Elemente der Menge heißen. Mit „wohlunterschieden“ meint man, dass es klar ist, welche Objekte als gleich und welche als verschieden angesehen werden. Die Zugehörigkeit eines Elementes ${}x$ zu einer Menge ${}M$ wird durch

${}x\in M\,$

ausgedrückt, die Nichtzugehörigkeit durch

${}x\notin M\,.$

Für jedes Element(symbol) gilt stets genau eine dieser zwei Möglichkeiten. Beispielsweise ist ${}{\frac {3}{7}}\notin \mathbb {N}$ und ${}{\frac {3}{7}}\in \mathbb {Q}$. Für Mengen gilt das Extensionalitätsprinzip, d.h. eine Menge ist durch die in ihr enthaltenen Elemente eindeutig bestimmt, darüber hinaus bietet sie keine Information. Insbesondere stimmen zwei Mengen überein, wenn beide die gleichen Elemente enthalten.

Die Menge, die kein Element besitzt, heißt leere Menge und wird mit

$\emptyset$

bezeichnet.

Eine Menge ${}N$ heißt Teilmenge einer Menge ${}M$, wenn jedes Element aus ${}N$ auch zu ${}M$ gehört. Man schreibt dafür ${}N\subseteq M$ (manche schreiben dafür ${}N\subset M$). Man sagt dafür auch, dass eine Inklusion ${}N\subseteq M$ vorliegt. Für die erwähnten Zahlenmengen gelten die Inklusionen

${}\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \,.$

Die Teilmengenbeziehung ${}N\subseteq M$ ist eine Allaussage. Im Nachweis, dass ${}N\subseteq M$ ist, muss man zeigen, dass für ein beliebiges Element ${}x\in N$ ebenfalls die Beziehung ${}x\in M$ gilt. Dabei darf man lediglich die Eigenschaft ${}x\in N$ verwenden. Für uns werden Mengen hauptsächlich Zahlenmengen und daraus konstruierte Mengen sein. Eine Menge heißt endlich, wenn sie durch die natürlichen Zahlen ${}1,2,3,\ldots ,n$ für ein gewisses ${}n\in \mathbb {N}$ „sinnvoll abgezählt“ werden kann. In diesem Fall nennt man ${}n$ die Anzahl der Menge.

Beschreibungsmöglichkeiten für Mengen

Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Menge anzugeben. Die einfachste ist, die zu der Menge gehörenden Elemente aufzulisten, wobei es auf die Reihenfolge der Elemente nicht ankommt. Bei endlichen Mengen ist dies unproblematisch, bei unendlichen Mengen muss man ein „Bildungsgesetz“ für die Elemente angeben.

Die wichtigste Menge, die man zumeist als eine fortgesetzte Auflistung einführt, ist die Menge der natürlichen Zahlen

${}\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}\,.$

Hier wird eine bestimmte Zahlenmenge durch die Anfangsglieder von erlaubten Zifferfolgen angedeutet. Wichtig ist, dass mit ${}\mathbb {N}$ nicht eine Menge von bestimmten Ziffern gemeint ist, sondern die durch die Ziffern repräsentierten Zahlwerte. Eine natürliche Zahl hat viele Darstellungsarten, die Ziffernrepräsentation im Zehnersystem ist nur eine davon, wenn auch eine besonders übersichtliche.

Wir besprechen Mengenbeschreibung durch Eigenschaften. Es sei eine Menge ${}M$ gegeben. In ihr gibt es gewisse Elemente, die gewisse Eigenschaften ${}E$ (Prädikate) erfüllen können oder aber nicht. Zu einer Eigenschaft ${}E$ gehört innerhalb von ${}M$ die Teilmenge bestehend aus allen Elementen aus ${}M$, die diese Eigenschaft erfüllen. Man beschreibt eine durch eine Eigenschaft definierte Teilmenge meist als

${}{\left\{x\in M\mid E(x)\right\}}={\left\{x\in M\mid x{\text{ besitzt die Eigenschaft }}E\right\}}\,.$

Dies geht natürlich nur mit solchen Eigenschaften, für die die Aussage ${}E(x)$ eine wohldefinierte Bedeutung hat. Dieser Konstruktion entspricht in der Alltagssprache eine Formulierung mit einem Relativsatz, im Sinne von diejenigen Objekte, auf die die Eigenschaft ${}E$ zutrifft. Wenn man eine solche Teilmenge einführt, so gibt man ihr häufig sofort einen Namen (in dem auf die Eigenschaft ${}E$ Bezug genommen werden kann, aber nicht muss). Z.B. kann man einführen

${}G={\left\{x\in \mathbb {N} \mid x{\text{ ist gerade}}\right\}}\,,$

${}U={\left\{x\in \mathbb {N} \mid x{\text{ ist ungerade}}\right\}}\,,$

${}Q={\left\{x\in \mathbb {N} \mid x{\text{ ist eine Quadratzahl}}\right\}}\,$

${}{\mathbb {P} }={\left\{x\in \mathbb {N} \mid x{\text{ ist eine Primzahl}}\right\}}\,.$

Für die Mengen in der Mathematik sind meist eine Vielzahl an mathematischen Eigenschaften relevant und daher gibt es meist auch eine Vielzahl an relevanten Teilmengen. Aber auch bei alltäglichen Mengen, wie etwa die Menge ${}K$ der Studierenden in einem Kurs, gibt es viele wichtige Eigenschaften, die gewisse Teilmengen festlegen, wie etwa

${}O={\left\{x\in K\mid x{\text{ kommt aus Osnabr}}{\ddot {\rm {u}}}{\text{ck}}\right\}}\,,$

${}P={\left\{x\in K\mid x{\text{ studiert im Nebenfach Physik}}\right\}}\,,$

${}D={\left\{x\in K\mid x{\text{ hat im Dezember Geburtstag}}\right\}}\,.$

Die Menge ${}K$ ist dabei selbst durch eine Eigenschaft festgelegt, es ist ja

${}K={\left\{x\mid x{\text{ ist Studierender in diesem Kurs}}\right\}}\,.$

Mengenoperationen

Es gibt mehrere Möglichkeiten, aus gegebenen Mengen neue Mengen zu bilden. Die wichtigsten sind die folgenden.

• Vereinigung

${}A\cup B:={\left\{x\mid x\in A{\text{ oder }}x\in B\right\}}\,,$

• Durchschnitt

${}A\cap B:={\left\{x\mid x\in A{\text{ und }}x\in B\right\}}\,,$

• Differenzmenge

${}A\setminus B:={\left\{x\mid x\in A{\text{ und }}x\notin B\right\}}\,.$

Diese Operationen ergeben nur dann einen Sinn, wenn die beteiligten Mengen als Teilmengen in einer gemeinsamen Grundmenge gegeben sind. Dies sichert, dass man über die gleichen Elemente spricht. Häufig wird diese Grundmenge nicht explizit angegeben, dann muss man sie aus dem Kontext erschließen. Ein Spezialfall der Differenzmenge bei einer gegebenen Grundmenge ${}G$ ist das Komplement einer Teilmenge ${}A\subseteq G$, das durch

${}\complement A:=G\setminus A={\left\{x\in G\mid x\notin A\right\}}\,$

definiert ist. Wenn zwei Mengen einen leeren Schnitt haben, also ${}A\cap B=\emptyset$ gilt, so nennen wir sie disjunkt.

Produktmenge

Wir wollen die Rechenoperationen auf den oben erwähnten Zahlenmengen, insbesondere die Addition und die Multiplikation, mengentheoretisch erfassen. Bei der Addition (beispielsweise auf ${}\mathbb {N}$) wird zwei natürlichen Zahlen ${}a$ und ${}b$ eine weitere natürliche Zahl, nämlich ${}a+b$, zugeordnet. Die Menge der Paare nennt man Produktmenge und die Zuordnung führt zum Begriff der Abbildung.

Wir definieren.

Definition

Es seien zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ gegeben. Dann nennt man die Menge

${}L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$

die Produktmenge der beiden Mengen.

Die Elemente der Produktmenge nennt man Paare und schreibt ${}(x,y)$. Dabei kommt es wesentlich auf die Reihenfolge an. Die Produktmenge besteht also aus allen Paarkombinationen, wo in der ersten Komponenten ein Element der ersten Menge und in der zweiten Komponenten ein Element der zweiten Menge steht. Zwei Paare sind genau dann gleich, wenn sie in beiden Komponenten gleich sind.

Wenn eine der beiden Mengen leer ist, so ist auch die Produktmenge leer. Wenn die beiden Mengen endlich sind, und es in der ersten Menge ${}n$ Elemente und in der zweiten Menge ${}k$ Elemente gibt, so gibt es in der Produktmenge ${}n\cdot k$ Elemente. Man kann auch für mehr als nur zwei Mengen die Produktmenge bilden.

Beispiel

Es sei ${}V$ die Menge aller Vornamen (sagen wir der Vornamen, die in einer bestimmten Grundmenge an Personen wirklich vorkommen) und ${}N$ die Menge aller Nachnamen. Dann ist

$V\times N$

die Menge aller Namen. Elemente davon sind in Paarschreibweise beispielsweise ${}({\text{Heinz}},{\text{Müller}})$, ${}({\text{Petra}},{\text{Müller}})$ und ${}({\text{Lucy}},{\text{Sonnenschein}})$. Aus einem Namen lässt sich einfach der Vorname und der Nachname herauslesen, indem man entweder auf die erste oder auf die zweite Komponente des Namens schaut. Auch wenn alle Vornamen und Nachnamen für sich genommen vorkommen, so muss natürlich nicht jeder daraus gebastelte mögliche Name wirklich vorkommen. Bei der Produktmenge werden eben alle Kombinationsmöglichkeiten aus den beiden beteiligten Mengen genommen.

Bei einer Produktmenge können natürlich auch beide Mengen gleich sein. Dann ist es verlockend, die Reihenfolge zu verwechseln, und also besonders wichtig, darauf zu achten, dies nicht zu tun.

Beispiel

Ein Schachbrett (genauer: die Menge der Felder auf einem Schachbrett, auf denen eine Figur stehen kann) ist die Produktmenge

$\{a,b,c,d,e,f,g,h\}\times \{1,2,3,4,5,6,7,8\}.$

Jedes Feld ist ein Paar, beispielsweise ${}(a,1),(d,4),(c,7)$. Da die beteiligten Mengen verschieden sind, kann man statt der Paarschreibweise einfach ${}a1,d4,c7$ schreiben. Diese Notation ist der Ausgangspunkt für die Beschreibung von Stellungen und von ganzen Partien.

Die Produktmenge ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ stellt man sich als eine Ebene vor, man schreibt dafür auch ${}\mathbb {R} ^{2}$. Die Produktmenge ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ kann man sich als eine Menge von Gitterpunkten vorstellen.

Beispiel

Ein Zylindermantel ist die Produktmenge aus einem Kreis und einer Strecke

Es sei ${}S$ ein Kreis, worunter wir die Kreislinie verstehen, und ${}I$ eine Strecke. Der Kreis ist eine Teilmenge einer Ebene ${}E$ und die Strecke ist eine Teilmenge einer Geraden ${}G$, so dass für die Produktmenge die Beziehung

${}S\times I\subseteq E\times G\,$

gilt. Die Produktmenge ${}E\times G$ stellt man sich als einen dreidimensionalen Raum vor, und darin ist die Produktmenge ${}S\times I$ ein Zylindermantel.

Abbildungen

Ein physikalisches Teilchen bewege sich im Raum. Dieser Vorgang wird beschrieben, indem man zu jedem Zeitpunkt ${}t\in \mathbb {R}$ angibt, an welchem Ort ${}z(t)\in \mathbb {R} ^{3}$ sich das Teilchen zu diesem Zeitpunkt befindet. Der Ablauf eines Computerprogramms, das insgesamt auf ${}s$ Speicher (die beispielsweise natürliche Zahlen enthalten können) Bezug nimmt, wird beschrieben, indem man zu jedem Rechenschritt (was der Abarbeitung einer Programmzeile entspricht, und zwar derjenigen Programmzeile, die bei diesem Rechenschritt aufgerufen wird) angibt, wie die Belegungen der Speicher nach der Ausführung des Befehls lauten. Einer Rechenschrittnummer ${}n$ wird also das Belegungstupel

${}(b_{1}(n),\ldots ,b_{s}(n))\in \mathbb {N} ^{s}\,$

zugeordnet. Bei einer Wahl muss sich jeder Wähler für genau eine Partei (oder für das Nichtwählen) entscheiden. Der Temperaturverlauf auf der Erdoberfläche wird dadurch beschrieben, wenn man jedem Zeitpunkt und jedem Punkt der Erdoberfläche die Temperatur zuordnet. Solche und viele andere Situationen werden durch das Konzept einer Abbildung beschrieben.

Definition

Seien ${}L$ und ${}M$ Mengen. Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird. Das zu ${}x\in L$ eindeutig bestimmte Element wird mit ${}F(x)$ bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

aus.

Bei einer Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$ heißt ${}L$ die Definitionsmenge (oder Definitionsbereich) der Abbildung und ${}M$ die Wertemenge (oder Wertevorrat oder Zielbereich) der Abbildung. Zu einem Element ${}x\in L$ heißt das Element ${}F(x)\in M$ der Wert von ${}F$ an der Stelle ${}x$. Statt Stelle sagt man auch häufig Argument.

Zwei Abbildungen ${}F\colon L_{1}\rightarrow M_{1}$ und ${}G\colon L_{2}\rightarrow M_{2}$ sind gleich, wenn die Definitionsmengen und die Wertemengen übereinstimmen und wenn für alle ${}x\in L_{1}=L_{2}$ die Gleichheit ${}F(x)=G(x)$ in ${}M_{1}=M_{2}$ gilt. Die Gleichheit von Abbildungen wird also zurückgeführt auf die Gleichheit von Elementen in einer Menge.

Abbildungen werden häufig auch Funktionen genannt. Wir werden den Begriff Funktion für solche Abbildungen reservieren, deren Wertemenge die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ sind.

Zu jeder Menge ${}L$ nennt man die Abbildung

$L\longrightarrow L,\,x\longmapsto x,$

also die Abbildung, die jedes Element auf sich selbst schickt, die Identität (auf ${}L$). Sie wird mit ${}\operatorname {Id} _{L}$ bezeichnet. Zu einer weiteren Menge ${}M$ und einem fixierten Element ${}c\in M$ nennt man die Abbildung

$L\longrightarrow M,\,x\longmapsto c,$

die also jedem Element ${}x\in L$ den konstanten Wert ${}c$ zuordnet, die konstante Abbildung (mit dem Wert ${}c$). Sie wird häufig wieder mit ${}c$ bezeichnet.

Für eine Abbildung gibt es mehrere Darstellungsmöglichkeiten, z.B. Wertetabelle, Balkendiagramm, Kuchendiagramm, Pfeildiagramm, den Graph der Abbildung. Dabei sind die Übergänge zwischen der formalen Definition einer Abbildung und den visuellen Realisierungen fließend. In der Mathematik wird eine Abbildung zumeist durch eine Abbildungsvorschrift beschrieben, die es erlaubt, die Werte der Abbildung zu berechnen. Solche Abbildungsvorschriften sind beispielsweise (jeweils von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$) ${}x\mapsto x^{2}$, ${}x\mapsto x^{3}-e^{x}+\sin \left(x\right)$, etc. In den Naturwissenschaften und Sozialwissenschaften sind empirische Funktionen wichtig, die reale Bewegungen oder Entwicklungen beschreiben, doch auch bei solchen Funktionen erhebt sich die Frage, ob man diese auch mathematisch gut beschreiben (approximieren) kann.

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$
${}\pi (x)$	${}2$	${}4$	${}6$	${}5$	${}3$	${}1$

${}\cdot$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$
${}0$	${}0$	${}0$	${}0$	${}0$	${}0$	${}0$	${}0$
${}1$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$
${}2$	${}0$	${}2$	${}4$	${}6$	${}1$	${}3$	${}5$
${}3$	${}0$	${}3$	${}6$	${}2$	${}5$	${}1$	${}4$
${}4$	${}0$	${}4$	${}1$	${}5$	${}2$	${}6$	${}3$
${}5$	${}0$	${}5$	${}3$	${}1$	${}6$	${}4$	${}2$
${}6$	${}0$	${}6$	${}5$	${}4$	${}3$	${}2$	${}1$

Injektive und surjektive Abbildungen

Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${}x,x'\in L$ auch ${}F(x)$ und ${}F(x')$ verschieden sind.

Bein Nachweis der Injektivität einer Abbildung geht man häufig so vor, dass man zu zwei gegebenen Elementen ${}x$ und ${}x'$ aus der Voraussetzung ${}F(x)=F(x')$ erschließt, dass ${}x=x'$ ist. Dies ist oft einfacher zu zeigen, als aus ${}x\neq x'$ auf ${}F(x)\neq F(x')$ zu schließen.

Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ surjektiv, wenn es für jedes ${}y\in M$ mindestens ein Element ${}x\in L$ mit

${}F(x)=y\,$

gibt.

Beispiel

Wir betrachten zu einem Fußballspiel die Abbildung, die jedem Tor, das die Mannschaft ${}A$ erzielt hat, den zugehörigen Torschützen zuordnet. Es gebe keine Eigentore und keine Auswechslungen, die Tore von ${}A$ werden mit ${}1,2,\ldots ,n$ durchnummeriert. Dann liegt eine Abbildung

$\psi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow A=\{{\text{Spieler }}1,\,{\text{Spieler }}2,\ldots ,{\text{Spieler }}11\}$

mit

$\psi (i)={\text{ derjenige Spieler, der das }}i{\text{-te Tor geschossen hat}}\,.$

Die Injektivität von ${}\psi$ bedeutet, dass jeder Spieler höchstens ein Tor geschossen hat, und die Surjektivität bedeutet, dass jeder Spieler mindestens ein Tor geschossen hat.

Beispiel

Es sei ${}H$ die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Menschen. Wir untersuchen die Abbildung

$\varphi \colon H\longrightarrow H,$

die jedem Menschen seine (biologische) Mutter zuordnet. Dies ist eine wohldefinierte Abbildung, da jeder Mensch eine eindeutig bestimmte Mutter besitzt. Diese Abbildung ist nicht injektiv, da es ja verschiedene Menschen (Geschwister) gibt, die die gleiche Mutter haben. Sie ist auch nicht surjektiv, da nicht jeder Mensch Mutter von jemandem ist.

Beispiel

Die Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

ist weder injektiv noch surjektiv. Sie ist nicht injektiv, da die verschiedenen Zahlen ${}2$ und ${}-2$ beide auf ${}4$ abgebildet werden. Sie ist nicht surjektiv, da nur nichtnegative Elemente erreicht werden (eine negative Zahl hat keine reelle Quadratwurzel). Die Abbildung

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

ist injektiv, aber nicht surjektiv. Die Injektivität folgt beispielsweise so: Wenn ${}x\neq y$ ist, so ist eine Zahl größer, sagen wir

${}x>y\geq 0\,.$

Doch dann ist auch ${}x^{2}>y^{2}$ und insbesondere ${}x^{2}\neq y^{2}$. Die Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2},$

ist nicht injektiv, aber surjektiv, da jede nichtnegative reelle Zahl eine Quadratwurzel besitzt. Die Abbildung

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2},$

ist injektiv und surjektiv.

Definition

Es seien ${}M$ und ${}L$ Mengen und es sei

$F\colon M\longrightarrow L,\,x\longmapsto F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ bijektiv, wenn ${}F$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Bemerkung  

Die Frage, ob eine Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$ die Eigenschaften injektiv oder surjektiv besitzt, kann man anhand der Gleichung

${}F(x)=y\,$

(in den beiden Variablen ${}x$ und ${}y$) erläutern. Die Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem ${}y\in M$ mindestens eine Lösung

${}x\in L\,$

für diese Gleichung gibt, die Injektivität bedeutet, dass es zu jedem ${}y\in M$ maximal eine Lösung ${}x\in L$ für diese Gleichung gibt, und die Bijektivität bedeutet, dass es zu jedem ${}y\in M$ genau eine Lösung ${}x\in L$ für diese Gleichung gibt. Die Surjektivität entspricht also der Existenz von Lösungen, die Injektivität der Eindeutigkeit von Lösungen. Beide Fragestellungen durchziehen die Mathematik und können selbst wiederum häufig als die Surjektivität oder die Injektivität einer geeigneten Abbildung interpretiert werden.

Definition

Es sei ${}F\colon L\rightarrow M$ eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung

$G\colon M\longrightarrow L,$

die jedes Element ${}y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element ${}x\in L$ mit ${}F(x)=y$ abbildet, die Umkehrabbildung zu ${}F$.

Definition

Es seien ${}L,\,M$ und ${}N$ Mengen und

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

und

$G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$

Abbildungen. Dann heißt die Abbildung

$G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen ${}F$ und ${}G$.

Es gilt also

${}(G\circ F)(x):=G(F(x))\,,$

wobei die linke Seite durch die rechte Seite definiert wird. Wenn die beiden Abbildungen durch funktionale Ausdrücke gegeben sind, so wird die Hintereinanderschaltung dadurch realisiert, dass man den ersten Ausdruck anstelle der Variablen in den zweiten Ausdruck einsetzt (und nach Möglichkeit vereinfacht).

Lemma

Es seien ${}L,M,N$ und ${}P$ Mengen und es seien

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

$G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$

und

$H\colon N\longrightarrow P,\,z\longmapsto H(z),$

Abbildungen.

Dann ist

${}H\circ (G\circ F)=(H\circ G)\circ F\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 3.26.

$\Box$

Fußnoten

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