Kurs:Mathematik für Anwender I/2/Klausur
Aufgabe * (4 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine injektive Abbildung
- Ein Untervektorraum in einem -Vektorraum .
- Eine
lineare Abbildung
zwischen den -Vektorräumen und .
- Die geometrische Reihe für .
- Die Stetigkeit einer
Abbildung
in einem Punkt .
- Die Differenzierbarkeit einer
Abbildung
.
- Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion
in einem Punkt .
- Die
Fakultätsfunktion
Aufgabe * (4 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Binomische Lehrsatz.
- Das Injektivitätskriterium für lineare Abbildungen.
- Das Quotientenkriterium für Reihen.
- Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.
Aufgabe * (4 Punkte)
Zeige, dass für jede natürliche Zahl die Abschätzung
gilt.
Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)
Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
- Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
- Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
- Die Abonnenten von bleiben zu bei , niemand wechselt zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
- Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
Aufgabe * (7 Punkte)
Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei ein Untervektorraum. Zeige, dass es einen -Vektorraum und eine surjektive -lineare Abbildung
derart gibt, dass ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme die komplexen Zahlen , für die die Matrix
nicht invertierbar ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu mit dem Startwert durch (es sollen also die Approximationen für berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).
Aufgabe * (4 Punkte)
Untersuche, ob die Reihe
konvergiert oder divergiert.
Aufgabe * (4 Punkte)
Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.
Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)
Wir betrachten die Funktion
a) Bestimme die Ableitung .
b) Bestimme die zweite Ableitung .
Aufgabe * (3 Punkte)
Wir betrachten die Funktion
Bestimme die Tangenten an , die lineare Funktionen sind (die also durch den Nullpunkt verlaufen).
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (6 (5+1) Punkte)
Aufgabe * (5 Punkte)
a) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()
b) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()
c) Löse das Anfangswertproblem
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