Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Corona-Modellierung/Zyklus 1 Teilprojekt 1/Sek 1

Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1

Modell 1

• Beurteilung der Lüftungseffektivität durch Berechnung des Abstandes zu stark belüfteten Bereichen
• Je kleiner der Abstand zu stark belüfteten Bereichen, desto besser die Lüftungsqualität

Modellannahmen

• Darstellung des Raums als 2-Dimimensionales Rechteck (Vogelperspektive)
• Stark belüftete Bereiche sind Strecken zwischen Fenster und Tür, die alle gleich stark und gut belüftet werden

Berechnungen

Konstruktion Hilfsdreiecke von zu beurteilendem Raumpunkt $P$ zu den Wänden.

Geogebradatei, Hilfsdreieck

Berechnungen

Die Strecken $a$ und $b$ sind im Koordinatensystem ablesbar. Die Strecke $c$ lässt sich mithilfe des Satz des Pythagoras berechnen.

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Berechnungen

Analog werden weitere Hilfsdreiecke konstruiert um $d$ und $e$ zu berechnen

Berechnungen

Der Winkel $\angle P,T{\ddot {u}}r,Fenster=\alpha$ wird mithilfe des Kosinussatz berechnet.

$\alpha =\arccos({{e^{2}+d^{2}-c^{2}} \over {2ed}})$

Berechnungen

Der Abstand $s$ von Punkt $P$ zu der Strecke $e$ ist durch die Länge der Senkrechten von $e$ auf $P$ gegeben. Diese Länge kann mithilfe des Sinus berechnet werden.

$s=d\cdot sin{\alpha }$

Modell 2

Fragestellung: Welcher Bereich des Raumes erfährt den größten Luftmassenaustausch?

Modellbildung

Vereinfachung/Annahmen:

• zweidimensionales Modell

• Im Bereich von Fenster 1 zur Tür herrscht der größte Volumenstrom, im Bereich zwischen Fenster 4 und Tür der kleinste.

• Überschneidungen der Flächen fließen additiv in das Modell ein.

• Kleine Bereiche neben den Fenstern erfahren einen Volumenstrom, allerdings kleiner als im direkten Lüftungsbereich.

Validierung

• Modell kann im Unterricht geprüft werden (Windmessgeräte)

• Übersicht über stark/schwach belüftete Raumpunkte in Abhängigkeit der Farbe

• In diesem Modell keinen Luftaustausch in der unteren rechten Ecke oder zwischen den Fenstern

Bewertung

Ziel: Lüftungsqualität innerhalb eines Klassenzimmers untersuchen

Modell 1

Luftqualität zu allen Punkten der Ebene bestimmen -> allgemeines Ziel erreicht

Probleme/Modellgrenzen:

• kein guter Überblick über die Luftqualität im gesamten Raum
• Lüftungsbereiche nur Linien -> Vereinfachung ohne Aussagekraft zu verringern

Modell 2

Ziel: Schwächen des 1. Modells auszugleichen

• Luftströme als Flächen eingezeichnet mit unterschiedlich starker Lüftungsintensität -> bietet einen guten Überblick über die Luftqualität im gesamten Raum

Fazit

• Beide Modelle tragen Ergebnis zur Fragestellung bei
• 1. Modell: Schwerpunkt, einzelne Raumpunkte zu betrachten
• 2. Modell: Schwerpunkt, einen Gesamteindruck über die Luftqualität im gesamten Klassenzimmer zu erhalten

Optimierung

• Klassenraum zweidimensional -> dreidimensionale Modellierung: Aussage ob Luftstrom in den Bereichen größer ist, welche den Aerosol-Ausstoß betreffen
• Annahme, dass zwischen einem Fenster und der Tür der Volumenstrom gleichbleibt
• Modell 2: viele unbelüftete (im Modell weiße) Bereiche -> nicht komplett unbelüftet
• weiße Bereiche in Fensternähe stärker belüftet als weiße Bereiche in der rechten unteren Raumecke
• Abstandsbetrachtung von Punkt zu der Gerade Tür-Fenster nur im gewissen Bereich sinnvoll (Lotfußpunkt liegt außerhalb)

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