Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 3/latex
\setcounter{section}{3}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
und
\maabb {f} {X} { {\mathbb C}
} {}
eine Funktion. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{$f$ ist
\definitionsverweis {holomorph}{}{.}
}{Für jede mit der komplexen Struktur kompatible Karte
\maabbdisp {\alpha} {U} {V \subseteq {\mathbb C}
} {}
ist
\mathl{f \circ \alpha^{-1}}{}
\definitionsverweis {holomorph}{}{.}
}{$f$ ist in jedem Punkt durch eine
\definitionsverweis {komplexe Potenzreihe}{}{}
beschreibbar.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ {\mathbb C} [Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom ohne mehrfache Nullstelle und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ { \left\{ (z,w) \in {\mathbb C}^2 \mid w^2 = f(z) \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
die zugehörige Wurzelfläche im Sinne von
Korollar 2.8.
Zeige, dass die beiden Projektionen nach ${\mathbb C}$
\definitionsverweis {holomorphe Funktionen}{}{}
auf $V$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S^2
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Sphäre mit ihrer natürlichen Realisierung im Raum und versehen mit der Struktur einer
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
im Sinne von
Beispiel 2.6.
Zeige, dass die Projektion auf eine Ebene
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R^2
}
{ \cong }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.} Zeige, dass folgende Aussagen gelten. \aufzaehlungvier{Konstante Funktionen sind \definitionsverweis {holomorph}{}{.} }{Die Summe von holomorphen Funktionen ist holomorph. }{Das Produkt von holomorphen Funktionen ist holomorph. }{Zu einer nullstellenfreien holomorphen Funktion $f$ ist auch $f^{-1}$ holomorph. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere Satz 2.1 für eine \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{} auf einer \definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne von Satz 2.1 \zusatzklammer {bzw. Aufgabe 3.5} {} {} für die Projektion \maabbeledisp {} {V} { {\mathbb C} } {(z,w)} {z } {,} zu einer Wurzelfläche im Sinne von Korollar 2.8.
}
{} {}
Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{}
und es sei
\maabbdisp {p} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.}
Unter einem
\definitionswort {stetigen Schnitt}{}
zu $p$ versteht man eine stetige Abbildung
\maabb {s} {X} {Y
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p \circ s
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ X }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ {\mathbb C} [Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom ohne mehrfache Nullstelle und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ { \left\{ (z,w) \in {\mathbb C}^2 \mid w^2 = f(z) \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
die zugehörige Wurzelfläche im Sinne von
Korollar 2.8.
Zeige, dass es zur ersten Projektion
\maabbeledisp {} {V} { {\mathbb C}
} {(z,w)} {z
} {,}
zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(P)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf einer geeigneten
\definitionsverweis {offenen Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen
\definitionsverweis {stetigen Schnitt}{}{}
\maabb {s} {U} {V
} {}
gibt, und dass es bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen solchen Schnitt nicht geben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ {\mathbb C} [Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nichtkonstantes Polynom ohne mehrfache Nullstelle und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ { \left\{ (z,w) \in {\mathbb C}^2 \mid w^2 = f(z) \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
die zugehörige Wurzelfläche im Sinne von
Korollar 2.8.
Zeige, dass $V$
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine \definitionsverweis {zusammenhängende}{}{} \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{} und \maabb {f} {X} { {\mathbb C} } {} eine nichtkonstante \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {offen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Die Identität
\maabb {} {X} {X
} {}
auf einer
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
ist eine
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{.}
}{Zu einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einer riemannschen Fläche $X$ ist die Inklusion
\maabbdisp {} {U} {X
} {}
eine holomorphe Abbildung.
}{Es seien
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
und
\maabb {\psi} {Y} {Z
} {}
holomorphe Abbildungen zwischen riemannschen Flächen $X,Y,Z$. Dann ist auch die Hintereinanderschaltung
\maabbdisp {\psi \circ \varphi} {X} {Z
} {}
holomorph.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien \mathkor {} {X} {und} {Y} {} \definitionsverweis {zusammenhängende}{}{} \definitionsverweis {riemannsche Flächen}{}{} und sei \maabb {\varphi} {X} {Y } {} eine nichtkonstante \definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{.} Es sei $X$ \definitionsverweis {kompakt}{}{.} Zeige, dass dann $\varphi$ surjektiv ist und dass $Y$ ebenfalls kompakt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {riemannsche Flächen}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzwei {\definitionsverweis {Holomorphe Abbildungen}{}{}
\maabbdisp {\varphi , \psi} {X} { Y
} {}
stimmen genau dann überein, wenn die Einschränkungen
\mathkor {} {\varphi {{|}}_{U_i}} {und} {\psi {{|}}_{U_i}} {}
für alle $i$ übereinstimmen.
} {Es seien holomorphe Abbildungen
\maabb {\varphi_i} {U_i} {Y
} {}
gegeben, die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_i {{|}}_{U_i \cap U_j}
}
{ = }{ \varphi_j {{|}}_{U_i \cap U_j}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i,j$ erfüllen. Dann gibt es eine holomorphe Abbildung
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi {{|}}_{U_i}
}
{ =} { \varphi_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {riemannsche Flächen}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{.}
Zeige, dass dies einen
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} { \Gamma (Y, {\mathcal O}_Y ) } { \Gamma (X, {\mathcal O}_X )
} {f} { f \circ \varphi
} {,}
induziert. Zeige ferner, dass für offene Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ V'
}
{ \subseteq }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} \Gamma (V', {\mathcal O}_Y ) & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Gamma ( \varphi^{-1} (V') , {\mathcal O}_X ) & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ \Gamma (V, {\mathcal O}_Y ) & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Gamma ( \varphi^{-1} (V ), {\mathcal O}_X ) & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vorliegt, wobei die vertikalen Abbildungen Einschränkungshomomorphismen sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das identische Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ = }{ z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Sinne von
Lemma 3.19
zur Identität auf ${\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }$ führt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für eine Potenzierung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ = }{ z^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige holomorphe Fortsetzung im Sinne von
Lemma 3.19
auf der zweiten Karte ebenfalls die $k$-te Potenzierung ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Illustriere die Abbildung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ = }{ z^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als Abbildung im Sinne von
Lemma 3.19
von der Sphäre $S^2$ in die Sphäre.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise den Fundamentalsatz der Algebra mit Hilfe von Lemma 3.19 und Aufgabe 3.11.
}
{} {}