Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 3

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannschen Fläche und ${}f\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Funktion. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}f$ ist holomorph.
2. Für jede mit der komplexen Struktur kompatible Karte

   $\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq {\mathbb {C} }$

   ist ${}f\circ \alpha ^{-1}$ holomorph.

3. ${}f$ ist in jedem Punkt durch eine komplexe Potenzreihe beschreibbar.

Aufgabe

Es sei ${}f\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom ohne mehrfache Nullstelle und sei ${}V={\left\{(z,w)\in {\mathbb {C} }^{2}\mid w^{2}=f(z)\right\}}$ die zugehörige Wurzelfläche im Sinne von Korollar 2.8. Zeige, dass die beiden Projektionen nach ${}{\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen auf ${}V$ sind.

Aufgabe

Es sei ${}S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ die Sphäre mit ihrer natürlichen Realisierung im Raum und versehen mit der Struktur einer riemannschen Fläche im Sinne von Beispiel 2.6. Zeige, dass die Projektion auf eine Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}\cong {\mathbb {C} }$ keine holomorphe Funktion ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Zeige, dass folgende Aussagen gelten.

1. Konstante Funktionen sind holomorph.
2. Die Summe von holomorphen Funktionen ist holomorph.
3. Das Produkt von holomorphen Funktionen ist holomorph.
4. Zu einer nullstellenfreien holomorphen Funktion ${}f$ ist auch ${}f^{-1}$ holomorph.

Aufgabe

Formuliere Satz 2.1 für eine holomorphe Funktion auf einer riemannschen Fläche.

Aufgabe

Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne von Satz 2.1 (bzw. Aufgabe 3.5) für die Projektion

$V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(z,w)\longmapsto z,$

zu einer Wurzelfläche im Sinne von Korollar 2.8.

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und es sei

$p\colon Y\longrightarrow X$

eine stetige Abbildung. Unter einem stetigen Schnitt zu ${}p$ versteht man eine stetige Abbildung ${}s\colon X\rightarrow Y$ mit

${}p\circ s=\operatorname {Id} _{X}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}f\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom ohne mehrfache Nullstelle und sei ${}V={\left\{(z,w)\in {\mathbb {C} }^{2}\mid w^{2}=f(z)\right\}}$ die zugehörige Wurzelfläche im Sinne von Korollar 2.8. Zeige, dass es zur ersten Projektion

$V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(z,w)\longmapsto z,$

zu einem Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$ mit ${}f(P)\neq 0$ auf einer geeigneten offenen Umgebung ${}P\in U\subseteq {\mathbb {C} }$ einen stetigen Schnitt ${}s\colon U\rightarrow V$ gibt, und dass es bei ${}f(P)=0$ einen solchen Schnitt nicht geben kann.

Aufgabe

Es sei ${}f\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein nichtkonstantes Polynom ohne mehrfache Nullstelle und sei ${}V={\left\{(z,w)\in {\mathbb {C} }^{2}\mid w^{2}=f(z)\right\}}$ die zugehörige Wurzelfläche im Sinne von Korollar 2.8. Zeige, dass ${}V$ zusammenhängend ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}f\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion. Zeige, dass ${}f$ offen ist.

Aufgabe

Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Identität ${}X\rightarrow X$ auf einer riemannschen Fläche ist eine holomorphe Abbildung.
2. Zu einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ einer riemannschen Fläche ${}X$ ist die Inklusion

   $U\longrightarrow X$

   eine holomorphe Abbildung.

3. Es seien ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ und ${}\psi \colon Y\rightarrow Z$ holomorphe Abbildungen zwischen riemannschen Flächen ${}X,Y,Z$. Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

   $\psi \circ \varphi \colon X\longrightarrow Z$

   holomorph.

Aufgabe *

Es seien ${}X$ und ${}Y$ zusammenhängende riemannsche Flächen und sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung. Es sei ${}X$ kompakt. Zeige, dass dann ${}\varphi$ surjektiv ist und dass ${}Y$ ebenfalls kompakt ist.

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ riemannsche Flächen und sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Holomorphe Abbildungen

   $\varphi ,\psi \colon X\longrightarrow Y$

   stimmen genau dann überein, wenn die Einschränkungen ${}\varphi {|}_{U_{i}}$ und ${}\psi {|}_{U_{i}}$ für alle ${}i$ übereinstimmen.

2. Es seien holomorphe Abbildungen ${}\varphi _{i}\colon U_{i}\rightarrow Y$ gegeben, die ${}\varphi _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=\varphi _{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$ für alle ${}i,j$ erfüllen. Dann gibt es eine holomorphe Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ mit

   ${}\varphi {|}_{U_{i}}=\varphi _{i}\,$

   für alle ${}i$.

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ riemannsche Flächen und sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine holomorphe Abbildung. Zeige, dass dies einen ${}{\mathbb {C} }$- Algebrahomomorphismus

$\Gamma (Y,{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}),\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$

induziert. Zeige ferner, dass für offene Teilmengen ${}V\subseteq V'\subseteq Y$ ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}\Gamma (V',{\mathcal {O}}_{Y})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma (\varphi ^{-1}(V'),{\mathcal {O}}_{X})&\\\downarrow &&\downarrow &\\\Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma (\varphi ^{-1}(V),{\mathcal {O}}_{X})&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vorliegt, wobei die vertikalen Abbildungen Einschränkungshomomorphismen sind.

Aufgabe

Zeige, dass das identische Polynom ${}f(z)=z$ im Sinne von Lemma 3.19 zur Identität auf ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ führt.

Aufgabe

Zeige, dass für eine Potenzierung ${}f(z)=z^{k}$ die zugehörige holomorphe Fortsetzung im Sinne von Lemma 3.19 auf der zweiten Karte ebenfalls die ${}k$-te Potenzierung ist.

Aufgabe

Illustriere die Abbildung ${}f(z)=z^{2}$ als Abbildung im Sinne von Lemma 3.19 von der Sphäre ${}S^{2}$ in die Sphäre.

Aufgabe

Beweise den Fundamentalsatz der Algebra mit Hilfe von Lemma 3.19 und Aufgabe 3.11.