Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 21/latex
\setcounter{section}{21}
\zwischenueberschrift{Čech-Kohomologie}
Für die Garbe der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche $X$ haben wir die kurzen exakten Sequenzen
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ X } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal E } \, \stackrel{ d^a }{\longrightarrow} \, { \mathcal E }^{(0,1)} \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
und
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ X } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal M } \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal T } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
\zusatzklammer {siehe
Satz 16.14
und
Lemma 18.12} {} {}
kennen gelernt. Im ersten Fall werden die holomorphen Funktionen in die reell-differenzierbaren Funktionen und im zweiten Fall in die meromorphen Funktionen eingebettet. In beiden Fällen ist die globale Auswertung im Allgemeinen hinten nicht surjektiv. Diese globale Nichtsurjektivität wollen wir systematisch verstehen. Es stellt sich heraus, dass in beiden Fällen die Nichtsurjektivität durch eine einzige Gruppe gemessen wird, die nur von der Strukturgarbe abhängt, nämlich durch die sogenannte erste Kohomologiegruppe $H^1(X, {\mathcal O}_{ X } )$.
Eine wesentliche Idee dazu kann man sich folgendermaßen klar machen. Es sei
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal F } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal G } \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal H } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
von
\definitionsverweis {Garben von kommutativen Gruppen}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$. Die globale Auswertung
\mathdisp {0 \longrightarrow \Gamma { \left( X, { \mathcal F } \right) } \longrightarrow \Gamma { \left( X, { \mathcal G } \right) } \longrightarrow \Gamma { \left( X, { \mathcal H } \right) }} { }
ist exakt, wobei die hintere Abbildung im Allgemeinen nicht surjektiv ist. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal H } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der Garbensurjektivität gibt es eine offene Überdeckung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X
}
{ =} { \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und Schnitte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_i
}
{ \in }{ \Gamma { \left( U_i, { \mathcal H } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die auf $t {{|}}_{U_i}$ abbilden. Die Differenzen
\mathl{s_i {{|}}_{U_i \cap U_j} -s_j {{|}}_{U_i \cap U_j}}{} sind somit Schnitte von ${ \mathcal G }$ über $U_i \cap U_j$, die auf $0$ in
\mathl{{ \mathcal H } { \left( U_i \cap U_j \right) }}{} abbilden und daher zu
\mathl{{ \mathcal F } { \left( U_i \cap U_j \right) }}{} gehören. Wir erhalten also eine Familie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_{ij}
}
{ = }{ s_i -s_j
}
{ \in }{ { \mathcal F } { \left( U_i \cap U_j \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die allein auf die Garbe ${ \mathcal F }$ und auf die Zweierdurchschnitte der Überdeckung Bezug nimmt. Ferner gilt auf den Dreierdurchschnitten
\mathl{U_i \cap U_j \cap U_k}{} die sogenannte Kozykelbeziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r_{ij} +r_{jk}
}
{ =} { s_i-s_j + (s_j-s_k)
}
{ =} { s_i-s_k
}
{ =} { r_{ik}
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Dabei handelt es sich um einen ersten
\definitionsverweis {Čech-Kozykel}{}{}
in ${ \mathcal F }$.
Wir entwicklen die zugehörigen Begrifflichkeiten.
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
eines
\definitionsverweis {topologischen Raumes}{}{}
$X$. Für eine endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_J
}
{ \defeq }{ \bigcap_{i\in J} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ \subseteq }{L
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_L
}
{ \subseteq }{U_J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
${ \mathcal G }$ von kommutativen Gruppen auf $X$ betrachtet man die Auswertungen
\mathl{{ \mathcal G } { \left( U_J \right) }}{} zu den verschiedenen $J$, und zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehören die Restriktionen
\maabb {} { { \mathcal G } { \left( U_J \right) } } { { \mathcal G } { \left( U_L \right) }
} {.}
Für ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ { \mathcal G } { \left( U_J \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben wir dann abkürzend
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s {{|}}_L
}
{ =} { s {{|}}_{U_L}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und oft häufig einfach $s$. Wir fixieren eine
\definitionsverweis {Wohlordnung}{}{}
auf $I$
\zusatzklammer {man braucht hauptsächlich den Fall für endliches $I$} {} {.}
Damit können wir nun Čech-Koketten, Čech-Ableitungen, Čech-Kozykel, Čech-Koränder, den Čech-Komplex und die Čech-Kohomologie definieren, die ein wichtiges Werkzeug zur Berechnung von Garbenkohomologien ist.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
${\mathcal U}$ eines
\definitionsverweis {topologischen Raumes}{}{}
$X$ und ${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {Garbe von kommutativen Gruppen}{}{}
auf $X$. Unter einer $k$-ten
\definitionswort {Čech-Kokette}{}
versteht man ein Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (s_J)
}
{ \in} { \check{C}^{ k } ({ {\mathcal U} }, { \mathcal G } )
}
{ \defeq} {\prod_{ \left\{ J \mid { \# \left( J \right) } = k+1 \right\} } { \mathcal G } { \left( U_J \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_J
}
{ \defeq }{ \bigcap_{i \in J} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichnet.
}
Die Menge der $k$-ten Čech-Koketten
\mathl{\check{C}^{ k } ({ {\mathcal U} }, { \mathcal G } )}{} bildet mit der komponentenweisen Addition, wobei eine Komponente durch eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben ist, eine kommutative Gruppe. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist speziell
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \check{C}^{ 0 } ({ {\mathcal U} }, { \mathcal G } )
}
{ =} { \prod_{ i \in I} { \mathcal G } { \left( U_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \check{C}^{ 1 } ({ {\mathcal U} }, { \mathcal G } )
}
{ =} { \prod_{ \{ i , j \} \subseteq I} { \mathcal G } { \left( U_i \cap U_j \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \check{C}^{ 2 } ({ {\mathcal U} }, { \mathcal G } )
}
{ =} { \prod_{ \{ i , j , k \} \subseteq I } { \mathcal G } { \left( U_i \cap U_j \cap U_k \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{ { \# \left( I \right) } +1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \check{C}^{ k } ({ {\mathcal U} }, { \mathcal G } )
}
{ =} { { \mathcal G } { \left( \bigcap_{i \in I } U_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ > }{ { \# \left( I \right) } +1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist die Indexmenge zu
\mathl{\check{C}^{ k } ({ {\mathcal U} }, { \mathcal G } )}{} leer und dieser Term ist einfach $0$. Ebenso setzt man für negatives $k$ die Kokettengruppe gleich $0$.
Die Koketten zu verschieden $k$ werden durch die Čech-Ableitung miteinander in Beziehung gesetzt.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
${\mathcal U}$ eines
\definitionsverweis {topologischen Raumes}{}{}
$X$ mit einer wohlgeordneten Indexmenge $I$ und ${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {Garbe von kommutativen Gruppen}{}{}
auf $X$. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man den
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {\delta_k} { \check{C}^{ k } ({ \mathcal U }, { \mathcal G } )} { \check{C}^{ k+1 } ({ \mathcal U }, { \mathcal G } )
} { s = { \left( s_J \right) }_J } { \delta_k (s) = { \left( \delta_k (s)_L \right) }_L
} {}
zwischen den Gruppen der
\definitionsverweis {Čech-Koketten}{}{,}
der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \delta_k (s) \right) }_L
}
{ \defeq} { \sum_{\ell = 0}^{k+1} (-1)^\ell s {{|}}_{L \setminus \{ i_\ell\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist, wobei man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{ \{ i_0,i_1 , \ldots , i_{k+1} \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gemäß der Ordnung auf $I$ schreibt, die $k$-te
\definitionswort {Čech-Ableitung}{}
\zusatzklammer {zur Garbe ${ \mathcal G }$ und zur Überdeckung} {} {.}
}
Die verschiedenen Kokettengruppen und die Ableitungen fasst man zum \stichwort {Čech-Komplex} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \check{C}^{ \bullet } ({ {\mathcal U} }, { \mathcal G } )
}
{ =} { { \left( \check{C}^{ k } ({ \mathcal U }, { \mathcal G } ) , k \geq 0,\, \delta_k \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zusammen
\zusatzklammer {zur Garbe ${ \mathcal G }$ und zur Überdeckung ${\mathcal U}$} {} {.}
Bei einer Überdeckung aus zwei offenen Mengen
\mathkor {} {U} {und} {V} {}
ist der Komplex gleich
\mathdisp {0 \longrightarrow \Gamma { \left( U, { \mathcal G } \right) } \times \Gamma { \left( V, { \mathcal G } \right) } \longrightarrow \Gamma { \left( U \cap V , { \mathcal G } \right) } \longrightarrow 0} { , }
wobei
\mathl{(s,t)}{} auf
\mathl{t {{|}}_U - s{{|}}_U}{} abgebildet wird, und bei einer Überdeckung aus drei offenen Mengen
\mathkor {} {U, V} {und} {W} {}
ist der Komplex gleich
\mathdisp {0 \longrightarrow \Gamma { \left( U, { \mathcal G } \right) } \times \Gamma { \left( V, { \mathcal G } \right) } \times \Gamma { \left( W, { \mathcal G } \right) } \longrightarrow \Gamma { \left( V \cap W , { \mathcal G } \right) } \times \Gamma { \left( U \cap W , { \mathcal G } \right) } \times \Gamma { \left( U \cap V , { \mathcal G } \right) } \longrightarrow \Gamma { \left( U \cap V \cap W , { \mathcal G } \right) } \longrightarrow 0} { . }
Zum Verständnis der Homomorphismen ist es schon in diesen Fällen sinnvoll, mit den durchnummerierten Bezeichnungen
\mathl{U_1,U_2,U_3}{} zu arbeiten. Die erste Abbildung ist
\mathdisp {\left( s_1 , \, s_2 , \, s_3 \right) \longmapsto \left( s_3-s_2 , \, s_3-s_1 , \, s_2-s_1 \right)} { }
und die zweite Abbildung ist
\mathdisp {\left( t_{23} , \, t_{13} , \, t_{12} \right) \longmapsto t_{23} -t_{13} + t_{12}} { . }
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
${\mathcal U}$ eines
\definitionsverweis {topologischen Raumes}{}{}
$X$ und ${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {Garbe von kommutativen Gruppen}{}{}
auf $X$. Eine $k$-te
\definitionsverweis {Čech-Kokette}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (s_J)
}
{ \in }{ \check{C}^{ k } ({ {\mathcal U} }, { \mathcal G } )
}
{ = }{ \prod_{ \left\{ J \mid { \# \left( J \right) } = k+1 \right\} } { \mathcal G } { \left( U_J \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt ein $k$-ter
\definitionswort {Čech-Kozykel}{}
\zusatzklammer {zur Überdeckung $\mathcal U$ und zur Garbe ${ \mathcal G }$} {} {,}
wenn sie zum
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der
\definitionsverweis {Čech-Ableitung}{}{}
\maabbdisp {\delta_k} { \check{C}^{ k } ({ \mathcal U }, { \mathcal G } )} { \check{C}^{ k+1 } ({ \mathcal U }, { \mathcal G } )
} {}
gehört. Die Gruppe der $k$-ten Čech-Kozykel wird mit
\mathl{\check{Z}^{ k } ( {\mathcal U} , { \mathcal G } )}{} bezeichnet.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
${\mathcal U}$ eines
\definitionsverweis {topologischen Raumes}{}{}
$X$ und ${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {Garbe von kommutativen Gruppen}{}{}
auf $X$. Eine $k$-te
\definitionsverweis {Čech-Kokette}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (t_J)
}
{ \in }{ \check{C}^{ k } ({ {\mathcal U} }, { \mathcal G } )
}
{ = }{ \prod_{ \left\{ J \mid { \# \left( J \right) } = k+1 \right\} } { \mathcal G } { \left( U_J \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt ein $k$-ter
\definitionswort {Čech-Korand}{}
\zusatzklammer {zur Überdeckung $\mathcal U$ und zur Garbe ${ \mathcal G }$} {} {,}
wenn sie zum
\definitionsverweis {Bild}{}{}
der
\definitionsverweis {Čech-Ableitung}{}{}
\maabbdisp {\delta_{k-1}} { \check{C}^{ k-1 } ({ \mathcal U }, { \mathcal G } )} { \check{C}^{ k } ({ \mathcal U }, { \mathcal G } )
} {}
gehört. Die Gruppe der $k$-ten Čech-Koränder wird mit
\mathl{\check{B}^{ k } ( {\mathcal U} , { \mathcal G } )}{} bezeichnet.
}
{Garbe/Überdeckung/Cech-Komplex/Ist Komplex/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Der
\definitionsverweis {Čech-Komplex}{}{}}
\faktfolgerung {ist in der Tat ein
\definitionsverweis {Komplex}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 21.3. }
Für eine Überdeckung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X
}
{ =} { U_1 \cup U_2 \cup U_3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit drei offenen Teilmengen und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geht es um die Gesamtabbildung
\mathdisp {0 \longrightarrow \Gamma { \left( U_1, { \mathcal G } \right) } \times \Gamma { \left( U_2 , { \mathcal G } \right) } \times \Gamma { \left( U_3 , { \mathcal G } \right) } \stackrel{\delta_1} {\longrightarrow} \Gamma { \left( U_2 \cap U_3 , { \mathcal G } \right) } \times \Gamma { \left( U_1 \cap U_3 , { \mathcal G } \right) } \times \Gamma { \left( U_1 \cap U_2 , { \mathcal G } \right) } \stackrel{\delta_2} {\longrightarrow}\Gamma { \left( U_1 \cap U_2 \cap U_3 , { \mathcal G } \right) }} { . }
Um nachzuweisen, dass die Hintereinanderschaltung die Nullabbildung ist, kann man sich auf einen Schnitt der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ \Gamma { \left( U_1, { \mathcal G } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschränken
\zusatzklammer {die anderen Komponenten seien also gleich $0$} {} {.}
Dieses Element wird auf
\mathl{\left( 0 , \, - s{{|}}_{U_1 \cap U_2} , \, - s{{|}}_{U_1 \cap U_3} \right)}{}
abgebildet, und dieses wiederum auf
\mathl{s{{|}}_{U_1 \cap U_2 \cap U_3} - s{{|}}_{U_1 \cap U_2 \cap U_3}}{,} also auf $0$.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
${\mathcal U}$ eines
\definitionsverweis {topologischen Raumes}{}{}
$X$ und ${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {Garbe von kommutativen Gruppen}{}{}
auf $X$. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert man die $k$-te
\definitionswort {Čech-Kohomologie}{}
\mathl{\check{H}^{ k } ( {\mathcal U} , { \mathcal G } )}{} als die $k$-te
\definitionsverweis {Homologie}{}{}
des
\definitionsverweis {Čech-Komplexes}{}{}
\mathl{\check{C}^{ \bullet } ({ {\mathcal U} }, { \mathcal G } )}{.}
}
Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \check{H}^{ k } ( {\mathcal U} , { \mathcal G } )
}
{ =} { \check{Z}^{ k } ( {\mathcal U} , { \mathcal G } ) /\check{B}^{ k } ( {\mathcal U} , { \mathcal G } )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wie bei jeder Homologie zu einem Komplex geht es also um die Restklassengruppe aus dem Kern modulo dem Bild an einer jeden Stelle des Komplexes. Das zu einem Čech-Kozykel gehörige Element in der $k$-ten Čech-Kohomologie nennt man auch \stichwort {Čech-Kohomologieklasse} {.} Die nullte Čech-Kohomologiegruppe ist einfach gleich ${ \mathcal G } { \left( X \right) }$, wie direkt aus der Garbeneigenschaft folgt, siehe
Aufgabe 21.1.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten auf dem Kreis $S^1$ die Überdeckung mit zwei offenen
\zusatzklammer {zu reellen Intervallen
\definitionsverweis {homöomorphen}{}{}} {} {}
Kreissegmenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S^1
}
{ = }{ U_1 \cup U_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
deren Durchschnitt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1 \cap U_2
}
{ = }{ S \cup T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen ist. Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {diskrete}{}{}
\definitionsverweis {topologische Gruppe}{}{}
und ${ \mathcal G }$ die Garbe der stetigen also lokal konstanten $G$-wertigen Funktionen auf dem Kreis. Auf
\mathkor {} {U_1} {bzw.} {U_2} {}
und ebenso auf $S^1$ sind die lokal-konstanten Funktionen konstant. Auf $S \cup T$ hingegen ist eine lokal konstante Funktion dadurch gegeben, dass auf $S$ und davon unabhängig auf $T$ ein konstanter Wert vorgegeben ist. Der relevante
\definitionsverweis {Čech-Komplex}{}{}
ist daher
\mathdisp {\Gamma { \left( U_1 , { \mathcal G } \right) } \times \Gamma { \left( U_2 , { \mathcal G } \right) } \longrightarrow \Gamma { \left( U_1 \cap U_2 , { \mathcal G } \right) } \cong G \times G \longrightarrow 0} { , }
wobei $(f,g)$ auf $g-f$
\zusatzklammer {auf beiden Zusammenhangskomponenten} {} {}
abgebildet wird. Dabei werden genau die lokal konstanten Funktionen auf $S \cup T$ erreicht, die konstant sind. Die erste
\definitionsverweis {Čech-Kohomologie}{}{}
ist daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \check{H}^{ 1 } ( U_1 , U_2, { \mathcal G } )
}
{ \cong }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten auf der zweidimensionalen Sphäre $S^2$ die Überdeckung mit zwei offenen
\zusatzklammer {zu offenen Kreisscheiben
\definitionsverweis {homöomorphen}{}{}} {} {}
überlappenden Schalen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S^2
}
{ = }{ U_1 \cup U_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
deren Durchschnitt $U_1 \cap U_2$ homöomorph zum Produkt $S^1 \times I$ mit einem offenen Intervall $I$ ist. Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {diskrete}{}{}
\definitionsverweis {topologische Gruppe}{}{}
und ${ \mathcal G }$ die Garbe der stetigen also lokal konstanten $G$-wertigen Funktionen auf der Sphäre. Auf
\mathkor {} {U_1} {bzw.} {U_2} {}
und ebenso auf $U_1 \cap U_2$ sind die lokal-konstanten Funktionen konstant. Der relevante
\definitionsverweis {Čech-Komplex}{}{}
ist daher
\mathdisp {\Gamma { \left( U_1 , { \mathcal G } \right) } \times \Gamma { \left( U_2 , { \mathcal G } \right) } \longrightarrow \Gamma { \left( U_1 \cap U_2, { \mathcal G } \right) } \cong G \longrightarrow 0} { , }
wobei $(f,g)$ auf $g-f$ abgebildet wird. Diese Abbildung ist surjektiv. Die erste
\definitionsverweis {Čech-Kohomologie}{}{}
ist daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \check{H}^{ 1 } ( U_1 , U_2, { \mathcal G } )
}
{ \cong }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten auf dem Kreis $S^1$ die Überdeckung mit zwei offenen
\zusatzklammer {zu reellen Intervallen
\definitionsverweis {homöomorphen}{}{}} {} {}
Kreissegmenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S^1
}
{ = }{ U_1 \cup U_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
deren Durchschnitt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1 \cap U_2
}
{ = }{ S \cup T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen ist. Es sei ${ \mathcal G }$ die Garbe der stetigen $\R$-wertigen Funktionen auf dem Kreis. Eine stetige Funktion auf $S \cup T$ ist durch eine stetige Funktion auf $S$ und durch eine davon unabhängige stetige Funktion auf $T$ gegeben. Wir betrachten im Anschluss an
Beispiel 21.7
eine lokal konstante Funktion, die auf $S$ den Wert $a$ und auf $T$
den Wert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \neq }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt und eine nichttriviale Kohomologieklasse in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \check{H}^{ 1 } ( U_1 , U_2, \R )
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert, wobei $\R$ links die Garbe der lokal konstanten reellwertigen Funktionen bezeichnet. In der größeren Garbe ${ \mathcal G }$ ist die entsprechende Kohomologieklasse aber trivial, da man auf $U_1$ eine stetige Funktion finden kann, die auf $S$ den Wert $-a$ und auf $T$ den Wert $-b$ besitzt und dazwischen
\zusatzklammer {beispielsweise linear} {} {}
interpoliert. Zusammen mit der Nullfunktion auf $U_2$ erhält man ein Urbild, der den Kozykel als Korand nachweist.
}
In Satz 25.4 wird gezeigt, dass in der vorstehenden Situation die erste Kohomologiegruppe zu ${ \mathcal G }$ und zu jeder Überdeckung gleich $0$ ist.
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mathl{X}{} eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und ${ \mathcal L }$ eine
\definitionsverweis {invertierbare Garbe}{}{}
auf $X$. Dies bedeutet, dass es eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und Trivialisierungen
\maabbdisp {\varphi_i} { { \mathcal L } {{|}}_{U_i} } { {\mathcal O}_{ X }{{|}}_{U_i}
} {}
gibt. Für offene Mengen
\mathl{U_i,U_j}{} ergeben sich auf
\mathl{U_i \cap U_j}{} die Übergangsabbildungen
\maabbdisp {\varphi_i{{|}}_{U_i \cap U_j} \circ \varphi_j^{-1} {{|}}_{U_i \cap U_j}} { {\mathcal O}_{ X } {{|}}_{U_i \cap U_j} } { {\mathcal O}_{ X } {{|}}_{U_i \cap U_j}
} {.}
Diese Isomorphien sind durch Multiplikationen mit holomorphen Einheiten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_{ij}
}
{ \in }{ \Gamma { \left( U_i \cap U_j, {\mathcal O}_{ X }^\times \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Da die Daten von der einen invertierbaren Garbe ${ \mathcal L }$ herrühren, gilt dabei die Kozykelbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_{kj} \cdot r_{ji}
}
{ = }{r_{ki}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{,}
was man auch als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_{kj} \cdot r_{ki}^{-1} \cdot r_{ji}
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben kann. Es liegt also ein
\definitionsverweis {Čech-Kozykel}{}{}
in der Garbe der holomorphen Einheiten vor. Ein solcher Datensatz $r_{ij}$ legt umgekehrt durch eine Verklebung eine invertierbare Garbe fest.
Wenn die invertierbare Garbe ${ \mathcal L }$ trivial ist, so gibt es einen globalen
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modulisomorphismus}{}{}
\maabb {\psi} { {\mathcal O}_{ X } } { { \mathcal L }
} {.}
Dann liegen auf den $U_i$ die Isomorphismen
\mathdisp {{\mathcal O}_{ X } {{|}}_{U_i} \stackrel{\psi {{|}}_{U_i} }{\longrightarrow} { \mathcal L } {{|}}_{U_i} \stackrel{\varphi_i}{\longrightarrow} {\mathcal O}_{ X } {{|}}_{U_i}} { }
vor, die insgesamt durch Einheiten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s_i
}
{ \in }{ \Gamma { \left( U_i, {\mathcal O}_{ X }^\times \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
festgelegt sind. Für diese gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s_i \cdot s_j^ {-1}
}
{ =} { { \left( \varphi_i \circ \psi \right) } \circ { \left( \varphi_j \circ \psi \right) }^{-1}
}
{ =} { r_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i,j$. Wenn umgekehrt solche realisierende Einheiten $s_i$ gegeben sind, so werden durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi {{|}}_{U_i}
}
{ \defeq} { \varphi_i^{-1} \circ s_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Modulisomorphismen von ${\mathcal O}_{U_i}$ nach ${ \mathcal L }_{U_i}$ auf $U_i$ festgelegt, die verträglich sind und daher einen globalen Isomorphismus zwischen
\mathkor {} {{\mathcal O}_{ X }} {und} {{ \mathcal L }} {}
festlegen. Eine invertierbare Garbe mit Trivialisierungen auf $U_i$ kann man also mit dem Datensatz
\mathl{(U_i, r_{ij})}{,} der die Kozykelbedingung erfüllt, identifizieren, wobei ein solcher Datensatz als trivial anzusehen ist, wenn es Einheiten $s_i$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r_{ij}
}
{ =} { s_i \cdot s_j^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt. Diese Situation kann man insgesamt durch den Komplex
\mathdisp {\prod_{i \in I} \Gamma { \left( U_i , {\mathcal O}_{ X }^\times \right) } \longrightarrow \prod_{i < j} \Gamma { \left( U_i \cap U_j , {\mathcal O}_{ X }^\times \right) } \longrightarrow \prod_{i < j< k} \Gamma { \left( U_i \cap U_j \cap U_k , {\mathcal O}_{ X }^\times \right) }} { }
ausdrücken, der einfach der Anfang des
\definitionsverweis {Čech-Komplexes}{}{}
ist.
}
\zwischenueberschrift{Verfeinerung der Überdeckung}
Die zu Beginn der Vorlesung beschriebene Situation eines surjektiven Garbenhomomorphismus und Beispiel 21.10 machen deutlich, dass es nicht genügen kann, immer mit einer einzigen fixierten Überdeckung zu arbeiten, sondern dass man mit verschiedenen Überdeckungen simultan arbeiten muss.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt eine
\definitionswort {Verfeinerung}{}
einer offenen Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \bigcup_{j \in J} V_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn es eine Abbildung
\maabb {\alpha} {I} {J
} {}
derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_i
}
{ \subseteq }{ V_{\alpha(i) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
Es sei nun eine
\definitionsverweis {Garbe von kommutativen Gruppen}{}{}
${ \mathcal G }$ auf $X$ gegeben. Eine Verfeinerung definiert einen Kokettenhomomorphismus
\maabbeledisp {} { \check{C}^{ 1 } ({ {\mathcal V} }, { \mathcal G } ) } { \check{C}^{ 1 } ({ {\mathcal U} }, { \mathcal G } )
} { s_{ \{ j_1, j_2\} } } { s_{ \{ i_1, i_2 \} }
} {,}
wobei die Bildkokette an der Stelle
\mathl{\{ i_1, i_2 \}}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s_{ \{ i_1, i_2 \} }
}
{ \defeq} { s_{ \{ \alpha(i_1), \alpha(i_2) \} } {{|}}_{U_{i_1} \cap U_{i_2} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert ist
\zusatzklammer {bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha(i_1)
}
{ = }{ \alpha(i_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dies als $0$ zu interpretieren} {} {.}
Diese Abbildung führt Kozykel in Kozykel und Koränder in Koränder über und definiert daher einen Verfeinerungshomomorphismus
\maabbdisp {} {\check{H}^{ 1 } ( {\mathfrak V} ,{ \mathcal F } ) } {\check{H}^{ 1 } ( {\mathfrak U} , { \mathcal F } )
} {.}
{Topologischer Raum/Überdeckungen/Verfeinerung/Erste Cech-Kohomologie/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und ${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {Garbe von kommutativen Gruppen}{}{}
auf $X$. Es sei
\mathbed {U_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
von $X$, die eine
\definitionsverweis {Verfeinerung}{}{}
der offenen Überdeckung
\mathbed {V_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
sei.}
\faktfolgerung {Dann ist die Verfeinerungsabbildung
\maabbdisp {} {\check{H}^{ 1 } ( {\mathfrak V} ,{ \mathcal F } ) } {\check{H}^{ 1 } ( {\mathfrak U} , { \mathcal F } )
} {}
unabhängig von der Indexabbildung
\maabb {\alpha} {I} {J
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 21.11. }
\inputdefinition
{}
{
Es sei ${ \mathcal F }$ eine
\definitionsverweis {Garbe von kommutativen Gruppen}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$. Man bezeichnet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \check{H}^{ 1 } ( X ,{ \mathcal F } )
}
{ \defeq} { \lim_{ {\mathfrak U } \text{ offene Überdeckung von } X} \check{H}^{ 1 } ( {\mathfrak U} ,{ \mathcal F } )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als die erste
\definitionswort {Čech-Kohomologie}{}
von ${ \mathcal F }$ auf $X$.
}
Der \zusatzklammer {direkte oder induktive} {} {} Limes wird hier über alle Čech-Komologien zu Überdeckungen genommen, die untereinander durch die Verfeinerungshomomorphismen miteinander verbunden sind.
\zwischenueberschrift{Der verbindende Homomorphismus}
{Topologischer Raum/Garben/Homomorphismus/Erste Cech-Kohomologie/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} { { \mathcal F } } {{ \mathcal G }
} {}
ein
\definitionsverweis {Homomorphismus}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {Garben von kommutativen Gruppen}{}{}
\mathkor {} {{ \mathcal F }} {und} {{ \mathcal G }} {}
auf $X$.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Zu einer
\definitionsverweis {offenen Überdeckung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es einen natürlichen Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {} {\check{H}^{ 1 } ( U_i , { \mathcal F } ) } { \check{H}^{ 1 } ( U_i , { \mathcal G } )
} {.}
} {Es gibt einen natürlichen Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {} {\check{H}^{ 1 } ( X , { \mathcal F } ) } { \check{H}^{ 1 } ( X , { \mathcal G } )
} {.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 21.12. }
{Topologischer Raum/Garben/Exakte Sequenz/Erste Cech-Kohomologie/Verbindender Homomorphismus/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal F } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal G } \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal H } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
von
\definitionsverweis {Garben von kommutativen Gruppen}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$.}
\faktfolgerung {Dann liegt eine lange exakte Sequenz
\mathdisp {0 \longrightarrow \Gamma { \left( X, { \mathcal F } \right) } \longrightarrow \Gamma { \left( X, { \mathcal G } \right) } \longrightarrow \Gamma { \left( X, { \mathcal H } \right) } \stackrel{\delta}{ \longrightarrow } \check{H}^{ 1 } ( X, { \mathcal F } ) \longrightarrow \check{H}^{ 1 } ( X, { \mathcal G } ) \longrightarrow \check{H}^{ 1 } ( X, { \mathcal H } )} { }
vor.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 21.13. }
Dabei heißt das $\delta$ der \stichwort {verbindende Homomorphismus} {.} Er wird wie zu Beginn der Vorlesung beschrieben konstruiert.