Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Grundlagen zu Moduln/Textabschnitt/latex
\setcounter{section}{1}
Zunächst sollen einige grundlegende Definitionen wiedergegeben werden. Diese sind sehr analog zu den Definitionen zu
\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{,} nur dass der Grundring hier im Allgemeinen kein
\definitionsverweis {Körper}{}{} ist.
\zwischenueberschrift{Moduln}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ (M,+,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \stichwort {additiv} {} geschriebene
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.}
Man nennt $M$ einen
\definitionswortpraemath {R}{ Modul }{,}
wenn eine Operation
\maabbeledisp {} {R \times M } { M
} {(r,v)} { rv = r\cdot v
} {,}
\zusatzklammer {\stichwort {Skalarmultiplikation} {} genannt} {} {}
festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt
\zusatzklammer {dabei seien \mathlk{r,s \in R}{} und \mathlk{u,v \in M}{} beliebig} {} {:}
\aufzaehlungvier{
\mathl{r(su) = (rs) u}{,}
}{
\mathl{r(u+v) = (ru) + (rv)}{,}
}{
\mathl{(r+s)u = (ru)+ (su)}{,}
}{
\mathl{1u = u}{.}
}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswortpraemath {R}{ Untermodul }{,}
wenn sie eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von
\mathl{(M,0,+)}{} ist und wenn für jedes
\mathl{u \in U}{} und
\mathl{r \in R}{} auch
\mathl{ru \in U}{} ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Eine Familie
\mathbed {v_i \in M} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
heißt \definitionswort {Erzeugendensystem}{} für $M$, wenn es für jedes Element
\mathl{v \in M}{} eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \sum_{i \in J} r_i v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, wobei
\mathl{J \subseteq I}{} endlich ist und
\mathl{r_i \in R}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Der Modul $M$ heißt \definitionswort {endlich erzeugt}{} oder \definitionswort {endlich}{,} wenn es ein
\definitionsverweis {endliches}{}{}
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
für ihn gibt
\zusatzklammer {also mit einer endlichen Indexmenge} {} {.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} $M$ heißt
\definitionswort {zyklisch}{,}
wenn $M$ von einem Element
\definitionsverweis {erzeugt}{}{}
wird, wenn also gilt
\mathl{M = Rx}{} für ein
\mathl{x\in M}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Es gibt zu jedem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ einen \definitionsverweis {Modul}{}{,} der nur aus einem Element besteht: Die \definitionsverweis {triviale Gruppe}{}{} mit der einzig möglichen Art diese als $R$-Modul aufzufassen. Man nennt ihn \stichwort {Nullmodul} {.}
}
\inputbeispiel{}
{
Jede \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} $G$ ist auf natürliche Weise ein $\Z$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Die Skalarmultiplikation ist folgendermaßen definiert: \maabbeledisp {} {\Z\times G} {G } {(z,g)} {zg } {.}
Daher ist ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $G$ als Gruppe auch ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $G$ als $\Z$-Modul und umgekehrt.
Da jeder Modul als Grundmenge definitionsgemäß eine kommutative Gruppe besitzt und alle \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über \definitionsverweis {Körpern}{}{} insbesondere Moduln sind, zeigt uns dieses Beispiel unter Anderem, dass es im Allgemeinen viele Möglichkeiten gibt, eine gegebene Gruppe als Grundmenge eines Moduls zu interpretieren.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mathl{M_i, i \in I}{,} eine Familie von
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}
Das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \prod_{i \in I} M_i
}
{ =} { { \left\{ (x_i)_{ i \in I} \mid x_i \in M_i \text{ für alle } i \in I \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der Moduln wird mit komponentenweiser
\definitionsverweis {Addition}{}{}
und
\definitionsverweis {Skalarmultiplikation}{}{}
zum
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Das bedeutet für
\mathl{(x_i)_{ i \in I}, (y_i)_{ i \in I} \in M}{} und
\mathl{r\in R}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x_i)_{ i \in I} + (y_i)_{ i \in I}
}
{ =} { (x_i+y_i)_{ i \in I}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s(x_i)_{ i \in I}
}
{ =} { (sx_i)_{ i \in I}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
$M$ heißt dann das
\definitionswort {direkte Produkt}{}
der
\mathl{M_i, i\in I}{.} Das $I$-fache direkte Produkt eines Moduls $M$ mit sich selbst wird als
\mathl{M^I}{} geschrieben.
Der
\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
\mathdisp {\bigoplus_{i\in I }M_i \subseteq \prod_{i \in I}M_i} { , }
der aus allen
\mathl{(x_i)_{i\in I }}{} besteht, für die
\mathl{x_i=0}{} für
\definitionsverweis {fast alle}{}{}
\mathl{i\in I}{} ist, heißt
\definitionswort {direkte Summe}{}
der $M_i$.
Die $I$-fache direkte Summe eines Moduls $M$ mit sich selbst wird als
\mathl{M^{(I)}}{} geschrieben.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Eine Familie
\mathl{v_i\in M, i\in I}{,} heißt
\definitionswort {linear unabhängig}{,}
wenn für jede endliche Summe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i \in J} r_i v_i
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit $r_i\in R$ und $J \subseteq I$ endlich gilt, dass alle $r_i = 0$.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Ein
\definitionsverweis {linear unabhängiges}{}{}
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} heißt eine
\definitionswort {Basis}{}
(oder genauer: eine \definitionswortpraemath {R}{ Basis }{)} von
\mathl{M}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} $M$ heißt \definitionswort {frei}{} \zusatzklammer {über $R$} {} {,} wenn er eine $R$-\definitionsverweis {Basis}{}{} besitzt.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring und $M$ ein \definitionsverweis {freier}{}{} $R$-Modul. Man nennt dann die \definitionsverweis {Kardinalität}{}{} einer \definitionsverweis {Basis}{}{} von M den \definitionswort {Rang}{} von $M$.
}
Dies ist eine Definition, die so nur für Moduln über kommutativen Ringen, wie wir sie hier behandeln, gilt.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Das Produkt
\mathl{R^n}{} ist ein
\definitionsverweis {endlicher}{}{,}
\definitionsverweis {freier}{}{}
\definitionsverweis {Modul}{}{}
mit
\definitionsverweis {Rang}{}{}
$n$. Er besteht aus den $n$-Tupeln von Elementen aus $R$
\mathdisp {(r_1 , \ldots , r_n)} { . }
Addition und Skalarmultiplikation werden komponentenweise definiert, es ist also
\mathdisp {(a_1,\ldots,a_n)+ (b_1,\ldots,b_n) = (a_1+b_1,\ldots,a_n+b_n)} { }
und
\mathdisp {s(a_1,\ldots,a_n) = (sa_1,\ldots,sa_n)} { . }
Eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von
\mathl{R^n}{} bilden die Elemente
\mathdisp {e_1 , \ldots , e_n} { , }
wobei
\mathl{e_i = (0 , \ldots , 0, 1, 0 , \ldots , 0}{} ) so definiert ist, dass an der $i$-ten Stelle des Tupels eine $1$ steht und alle anderen Koordinaten $0$ sind.
}
Der Rangbegriff lässt sich über
\definitionsverweis {Integritätsbereichen}{}{} sogar auf nichtfreie Moduln erweitern. In Moduln über Integritätsbereichen besitzt nämlich jedes maximale linear unabhängige System von Elementen die selbe Anzahl an Elementen. Es gibt dafür Beweise mit Methoden, die hier nicht zentral sind. Die interessierte Leserin mag das Lehrbuch der Algebra von Günter Scheja und Uwe Storch in §25 Bemerkung 2 konsultieren. Es gilt umgekehrt immer, dass eine Basis über einem freien Modul maximal linear unabhängig ist. Dies gibt Anlass zu folgender sinnvollen Definition.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und $M$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Dann heißt die eindeutig bestimmte
\definitionsverweis {Kardinalität}{}{} eines
\definitionsverweis {maximal}{}{}
\definitionsverweis {linear unabhängigen}{}{} Systems von Elementen
\mathl{x_i, i\in I}{,} der
\definitionswort {Rang}{} von $M$.
}
\zwischenueberschrift{Modulhomomorphismen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$, $N$ zwei
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.} Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\mathl{\varphi : M \rightarrow N}{} heißt
\definitionswortpraemath {R}{ (Modul-)homomorphismus }{,} wenn folgende beiden Eigenschaften erfüllt sind.
\aufzaehlungzwei {
\mathl{\varphi(u+v)= \varphi(u) + \varphi(v)}{} für alle
\mathl{u,v \in M}{.}
} {
\mathl{\varphi( s v)=s \varphi(v)}{} für alle
\mathkor {} {s \in R} {und} {v \in M} {.}
}
Ein Modulhomomorphismus wird manchmal auch \definitionswort {lineare Abbildung}{} genannt.
Ein \definitionsverweis {bijektiver}{}{} Modulhomomorphismus heißt \definitionswort {(Modul-)isomorphismus}{.}
Wenn $M=N$ ist, dann heißt $\varphi$ ein \definitionswort {(Modul-)endomorphismus}{,} oder \definitionswort {linearer Operator}{,} im bijektiven Fall auch \definitionswort {(Modul-)automorphismus}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Kommutative_Algebra/Modulhomomorphismus/Festlegung_auf_Erzeugendensystem/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$, $N$ zwei
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}
Es seien
\mathl{x_i, i\in I}{} ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $M$ und
\mathl{y_i, i\in I}{} Elemente aus $N$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es höchstens einen
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\mathl{\varphi: M\rightarrow N}{,} für den
\mathdisp {\varphi(x_i) = y_i} { }
für alle
\mathl{i\in I}{} gilt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $u \in M$ mit der Darstellung
\mathdisp {u = \sum_{i\in J\subseteq I}a_ix_i} { . }
Für einen
\definitionsverweis {Homomorphismus}{}{} $\varphi$ mit
\mathl{\varphi(x_i) = y_i}{} für alle
\mathl{i\in I}{} gilt
\mathdisp {\varphi(u) = \varphi{ \left( \sum_{i\in J\subseteq I}a_ix_i \right) } = \sum_{i\in J\subseteq I}a_i\varphi(x_i) = \sum_{i\in J\subseteq I}a_iy_i} { . }
Dies legt $\varphi$ auf ganz $M$ fest.
\inputfaktbeweis
{Kommutative_Algebra/Modulhomomorphismus/Festlegung_auf_Basis/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$, $N$ zwei
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{,} wobei $M$
\definitionsverweis {frei}{}{} sei. Es seien
\mathl{x_i,i\in I}{,} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{} von $M$ und
\mathl{y_i,i\in I}{,} Elemente aus $N$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es genau einen
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\mathl{\varphi:M\rightarrow N}{,} für den
\mathdisp {\varphi(x_i) = y_i} { }
für alle
\mathl{i\in I}{} gilt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir definieren $\varphi$ für ein
\mathl{u\in M}{} mit
\mathl{u = \sum_{i\in J\subseteq I} a_ix_i}{} als
\mathdisp {\varphi(u) = \sum_{i\in J\subseteq I} a_iy_i} { . }
Weil die
\mathl{x_i,i\in I}{,}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind, gibt es nur eine einzige Darstellung für jedes
\mathl{u\in U}{,} deshalb ist $\varphi$ wohldefiniert.
Die Linearität überprüfen wir wie folgt.
Es seien zwei Modulelemente \mathkor {} {u= \sum_{i \in J\subseteq I} s_ix_i} {und} {v= \sum_{i \in K\subseteq I} t_ix_i} {} gegeben.
In dem wir weitere Summanden mit $s_i = 0$ bzw. $t_i=0$ hinzufügen können wir
\mathl{J=K}{} erreichen. Deshalb nehmen wir das gleich an.
Wir zeigen die Additivität von $\varphi$.
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\varphi(u+v)
}
{ =} {\varphi{ \left( { \left( \sum_{i \in J\subseteq I} s_ix_i \right) } + { \left( \sum_{i \in J\subseteq I} t_ix_i \right) } \right) }
}
{ =} {\varphi{ \left( \sum_{i \in J\subseteq I} { \left( s_i + t_i \right) }x_i \right) }
}
{ =} {\sum_{i \in J\subseteq I} { \left( s_i + t_i \right) } \varphi(x_i)
}
{ =} {\sum_{i \in J\subseteq I} s_i \varphi(x_i) + \sum_{i \in J\subseteq I} t_i \varphi(x_i)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\varphi{ \left( \sum_{i \in J\subseteq I} s_ix_i \right) } + \varphi { \left( \sum_{i \in J\subseteq I} t_ix_i \right) }
}
{ =} {\varphi(u) +\varphi(v)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Wir zeigen die Verträglichkeit von $\varphi$ mit der skalaren Multiplikation.
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\varphi(au)
}
{ =} {\varphi{ \left( a\sum_{i \in J\subseteq I} s_ix_i \right) }
}
{ =} {\varphi{ \left( \sum_{i \in J\subseteq I}{ \left( as_i \right) }x_i \right) }
}
{ =} {\sum_{i \in J\subseteq I} { \left( as_i \right) } \varphi(x_i)
}
{ =} {a\sum_{i \in J\subseteq I} s_i \varphi(x_i)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {a\varphi{ \left( \sum_{i \in J\subseteq I} s_ix_i \right) }
}
{ =} {a\varphi(u)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Dass dieses $\varphi$ der einzige Modulhomomorphismus ist, der die Voraussetzungen erfüllt, folgt aus Lemma 1.16.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein Ring und
\mathkor {} {I} {und} {J} {}
zwei Indexmengen. Eine
\definitionswortpraemath {I\times J}{ Matrix }{}
ist eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {I \times J} {R
} {(i,j)} {a_{ij}
} {.}
Bei
\mathl{I=\{1 , \ldots , m\}}{} und
\mathl{J=\{1 , \ldots , n \}}{} spricht man von einer
\definitionswortpraemath {m \times n}{ Matrix }{.}
In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_{11 } & a_{1 2} & \ldots & a_{1 n } \\
a_{21 } & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ m 1 } & a_{ m 2 } & \ldots & a_{ m n } \end{pmatrix}} { . }
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$, $N$ zwei
\definitionsverweis {endliche}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{} mit den
\definitionsverweis {Erzeugendensystemen}{}{}
\mathl{x_1,\ldots,x_m}{} und
\mathl{y_1,\ldots,y_n}{.}
Zu einem
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {} heißt eine
\mathl{n \times m}{-}\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {M = (a_{ij})_{ij}} { }
wobei
\mathl{a_{ij}}{} die $i$-te Komponente von
\mathl{\varphi(x_j )}{} bezüglich einer Darstellung
\mathl{\varphi(x_j) = a_{1j}y_1+\cdots+a_{nj}y_n}{} im Erzeugendensystem
\mathl{y_1,\ldots,y_n}{} ist, eine \definitionswort {beschreibende Matrix zu}{} $\varphi$ bezüglich der Erzeugendensysteme.
Wenn zudem
\mathl{x_1,\ldots,x_n}{}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} ist, also eine
\definitionsverweis {Basis}{}{} ist, dann heißt zu einer Matrix
\mathl{M =(a_{ij})_{ij} \in \operatorname{Mat}_{ n \times m } (R)}{} der durch
\mathdisp {x_j \mapsto \sum_{ i = 1 }^{ n } a_{ij} y_i} { }
gemäß
Lemma 1.17
definierte Modulhomomorphismus
\mathl{\varphi(M)}{} der \definitionswort {durch}{} $M$ \definitionswort {festgelegte Modulhomomorphismus}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} $M$ und $N$
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{} und
\mathl{\varphi:M\rightarrow N}{} ein
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{.} Dann sind
\mathl{\operatorname{kern} \varphi}{} und
\mathl{\operatorname{bild} \varphi}{}
\definitionsverweis {Untermoduln}{}{} von $M$ bzw. $N$.
Denn seien
\mathl{u,v\in \operatorname{kern} \varphi}{} und
\mathl{r\in R}{,} dann gilt
\mathdisp {\varphi(u+v) = \varphi(u)+\varphi(v) = 0+0 = 0} { }
und
\mathdisp {\varphi(ru) = r\varphi(u) = r\cdot 0 = 0} { . }
Es seien nun
\mathl{x,y\in \operatorname{bild} \varphi}{} und
\mathl{r\in R}{.} Dann gibt es $u$, $v$ mit
\mathl{u \in\varphi^{-1}(x)}{} und
\mathl{v\in\varphi^{-1}(y)}{.} Es gilt
\mathdisp {\varphi(u+v) = \varphi(u)+\varphi(v) = x+y} { }
und
\mathdisp {\varphi(ru) = r\varphi(u) = rx} { . }
Zu einer
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$A$ kann man über den durch die Matrix bezüglich einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
in $M$ und einem
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
in $N$
\definitionsverweis {beschriebenen}{}{}
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
genauso auch
\mathl{\operatorname{kern} A}{} und
\mathl{\operatorname{bild} A}{} als Untermoduln beschreiben.
Für
\mathl{\operatorname{bild} A}{} schreibt man auch oft
\mathl{AM}{,} sinnbildlich als den Untermodul, der aus allen Elementen besteht, die entstehen, wenn man an $A$ alle Elemente aus $M$ von rechts multipliziert.
}
\zwischenueberschrift{Restklassenmoduln}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Es sei
\mathl{U\subseteq M}{} ein Untermodul von $M$. Die
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{M/U}{} trägt eine kanonische Modulstruktur durch
\mathdisp {r\cdot[m] := [r\cdot m]} { }
für
\mathl{r\in R}{} und
\mathl{m\in M}{}
Mit dieser Skalarmultiplikation versehen heißt
\mathl{M/U}{} der
\definitionswort {Restklassenmodul}{} von $M$ nach $U$.
}
Es muss geprüft werden, ob diese Definition wohldefiniert ist. Es ist also zu zeigen, dass aus
\mathl{[m] = [m']}{} folgt:
\mathl{[rm] = [rm']}{.} Sei
\mathl{[m] = [m']}{.} Es gibt also ein
\mathl{u\in U}{} mit
\mathl{m = m'+u}{.} Daraus folgt
\mathl{rm = rm'+ru}{} und daher, weil
\mathl{ru\in U}{} ist, zwingend
\mathl{[rm] = [rm']}{.}
\inputfaktbeweis
{Kommutative_Algebra/Modulhomomorphismus/Faktorisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathkor {} {M} {und} {N} {} zwei
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {}
ein
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
\mathdisp {M \stackrel{q}{\longrightarrow} M/ \operatorname{kern} \varphi \stackrel{\theta}{\longrightarrow} \operatorname{bild} \varphi \stackrel{\iota} {\hookrightarrow} N} { , }
wobei $q$ die
\definitionsverweis {kanonische Projektion}{}{,}
$\theta$ ein
\definitionsverweis {Modulisomorphismus}{}{}
und $\iota$ die kanonische Inklusion der
\definitionsverweis {Bildgruppe}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus
Satz 5.12 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)), dem entsprechenden Satz für Gruppen, weil jeder Modulhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus ist und weil die resultierenden Gruppenhomomorphismen $q$, $\theta$ und $\iota$ Modulhomomorphismen sind. Bei
\mathl{q}{} ist das so, weil es die kanonische Projektion ist; bei
\mathl{\iota}{} ist das so, weil es die Inklusion eines Untermoduls darstellt. Bei
\mathl{\theta}{} muss die selbe Eigenschaft dann zwingend gelten, da ansonsten niemals
\mathl{\iota\circ\theta\circ q = \varphi}{} gelten könnte.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{\varphi: M\rightarrow N}{} ein
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{.}
Der
\definitionsverweis {Restklassenmodul}{}{}
\mathl{N/{ \left( \operatorname{bild}\varphi \right) }}{} heißt
\definitionswort {Kokern}{}
von $\varphi$.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ ein
\definitionsverweis {endlicher}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Eine
$m\times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $P$, für die gilt
\mathdisp {M \cong R^m/(PR^n)} { , }
heißt
\definitionswort {Präsentierungsmatrix}{} von $M$.
} Es handelt sich bei dem Modul also um den Kokern von $P$. Präsentierungsmatrizen sind eine beliebte Form der Darstellung von Moduln.