Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Grundlagen zu Moduln/Textabschnitt

Zunächst sollen einige grundlegende Definitionen wiedergegeben werden. Diese sind sehr analog zu den Definitionen zu Vektorräumen, nur dass der Grundring hier im Allgemeinen kein Körper ist.

Moduln

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M = (M, +, 0)$ eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt $M$ einen $R$ -Modul, wenn eine Operation

R \times M ⟶ M, (r, v) ⟼ r v = r \cdot v,

(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r, s \in R$ und $u, v \in M$ beliebig):

$r (s u) = (r s) u$ ,
$r (u + v) = (r u) + (r v)$ ,
$(r + s) u = (r u) + (s u)$ ,
$1 u = u$ .

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$ -Modul. Eine Teilmenge $U \subseteq M$ heißt $R$ -Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von $(M, 0, +)$ ist und wenn für jedes $u \in U$ und $r \in R$ auch $r u \in U$ ist.

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$ -Modul. Eine Familie $v_{i} \in M$ , $i \in I$ , heißt Erzeugendensystem für $M$ , wenn es für jedes Element $v \in M$ eine Darstellung

v = \sum_{i \in J} r_{i} v_{i}

gibt, wobei $J \subseteq I$ endlich ist und $r_{i} \in R$ .

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$ -Modul. Der Modul $M$ heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem $v_{i}$ , $i \in I$ , für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$ -Modul. $M$ heißt zyklisch, wenn $M$ von einem Element erzeugt wird, wenn also gilt $M = R x$ für ein $x \in M$ .

Beispiel

Es gibt zu jedem kommutativen Ring $R$ einen Modul, der nur aus einem Element besteht: Die triviale Gruppe mit der einzig möglichen Art diese als $R$ -Modul aufzufassen. Man nennt ihn den Nullmodul.

Beispiel

Jede kommutative Gruppe $G$ ist auf natürliche Weise ein $ℤ$ -Modul.

Die Skalarmultiplikation ist folgendermaßen definiert:

ℤ \times G ⟶ G, (z, g) ⟼ z g .

Daher ist ein Erzeugendensystem von $G$ als Gruppe auch ein Erzeugendensystem von $G$ als $ℤ$ -Modul und umgekehrt.

Da jeder Modul als Grundmenge definitionsgemäß eine kommutative Gruppe besitzt und alle Vektorräume über Körpern insbesondere Moduln sind, zeigt uns dieses Beispiel unter Anderem, dass es im Allgemeinen viele Möglichkeiten gibt, eine gegebene Gruppe als Grundmenge eines Moduls zu interpretieren.

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M_{i}, i \in I$ , eine Familie von $R$ -Moduln. Das Produkt

M = \prod_{i \in I} M_{i} = {(x_{i})_{i \in I} ∣ x_{i} \in M_{i} für alle i \in I}

der Moduln wird mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation zum $R$ -Modul. Das bedeutet für $(x_{i})_{i \in I}, (y_{i})_{i \in I} \in M$ und $r \in R$

(x_{i})_{i \in I} + (y_{i})_{i \in I} = (x_{i} + y_{i})_{i \in I}

und

s (x_{i})_{i \in I} = (s x_{i})_{i \in I} .

$M$ heißt dann das direkte Produkt der $M_{i}, i \in I$ . Das $I$ -fache direkte Produkt eines Moduls $M$ mit sich selbst wird als $M^{I}$ geschrieben.

Der Untermodul

⨁_{i \in I} M_{i} \subseteq \prod_{i \in I} M_{i},

der aus allen $(x_{i})_{i \in I}$ besteht, für die $x_{i} = 0$ für fast alle $i \in I$ ist, heißt direkte Summe der $M_{i}$ .

Die $I$ -fache direkte Summe eines Moduls $M$ mit sich selbst wird als $M^{(I)}$ geschrieben.

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$ -Modul. Eine Familie $v_{i} \in M$ , $i \in I$ , heißt linear unabhängig, wenn für jede endliche Summe

\sum_{i \in J} r_{i} v_{i} = 0

mit $r_{i} \in R$ und $J \subseteq I$ endlich gilt, dass alle $r_{i} = 0$ .

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$ -Modul. Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem heißt eine Basis (oder genauer: eine $R$ -Basis) von $M$ .

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$ -Modul. $M$ heißt frei (über $R$ ), wenn er eine $R$ -Basis besitzt.

Definition

Es sei $R$ ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring und $M$ ein freier $R$ -Modul. Man nennt dann die Kardinalität einer Basis von M den Rang von $M$ .

Dies ist eine Definition, die so nur für Moduln über kommutativen Ringen, wie wir sie hier behandeln, gilt.

Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Das Produkt $R^{n}$ ist ein endlicher, freier Modul mit Rang $n$ . Er besteht aus den $n$ -Tupeln von Elementen aus $R$ :

(r_{1}, \dots, r_{n}) .

Addition und Skalarmultiplikation werden komponentenweise definiert, es ist also

(a_{1}, \dots, a_{n}) + (b_{1}, \dots, b_{n}) = (a_{1} + b_{1}, \dots, a_{n} + b_{n})

und

s (a_{1}, \dots, a_{n}) = (s a_{1}, \dots, s a_{n}) .

Eine Basis

von

R^{n}

bilden die Elemente

e_{1}, \dots, e_{n},

wobei

e_{i} = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0

) so definiert ist, dass an der

i

-ten Stelle des Tupels eine

1

steht und alle anderen Koordinaten

0

sind.

Der Rangbegriff lässt sich über Integritätsbereichen sogar auf nichtfreie Moduln erweitern. In Moduln über Integritätsbereichen besitzt nämlich jedes maximale linear unabhängige System von Elementen die selbe Anzahl an Elementen. Es gibt dafür Beweise mit Methoden, die hier nicht zentral sind. Die interessierte Leserin mag das Lehrbuch der Algebra von Günter Scheja und Uwe Storch in §25 Bemerkung 2 konsultieren. Es gilt umgekehrt immer, dass eine Basis über einem freien Modul maximal linear unabhängig ist. Dies gibt Anlass zu folgender sinnvollen Definition.

Definition

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $M$ ein $R$ -Modul.

Dann heißt die eindeutig bestimmte Kardinalität eines maximal linear unabhängigen Systems von Elementen $x_{i}, i \in I$ , der Rang von $M$ .

Modulhomomorphismen

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ , $N$ zwei $R$ -Moduln. Eine Abbildung $φ : M \to N$ heißt $R$ -(Modul-)homomorphismus, wenn folgende beiden Eigenschaften erfüllt sind.

$φ (u + v) = φ (u) + φ (v)$ für alle $u, v \in M$ .
$φ (s v) = s φ (v)$ für alle $s \in R$ und $v \in M$ .

Ein Modulhomomorphismus wird manchmal auch lineare Abbildung genannt.

Ein bijektiver Modulhomomorphismus heißt (Modul-)isomorphismus.

Wenn $M = N$ ist, dann heißt $φ$ ein (Modul-)endomorphismus, oder linearer Operator, im bijektiven Fall auch (Modul-)automorphismus.

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ , $N$ zwei $R$ -Moduln. Es sei $x_{i}$ , $i \in I$ , ein Erzeugendensystem von $M$ und seien $y_{i}$ , $i \in I$ , Elemente aus $N$ .

Dann gibt es höchstens einen $R$ -Modulhomomorphismus $φ : M \to N$ , für den

$φ (x_{i}) = y_{i}$

für alle $i \in I$ gilt.

Beweis

Es sei $u \in M$ mit der Darstellung

u = \sum_{i \in J \subseteq I} a_{i} x_{i} .

Für einen Homomorphismus $φ$ mit $φ (x_{i}) = y_{i}$ für alle $i \in I$ gilt

φ (u) = φ (\sum_{i \in J \subseteq I} a_{i} x_{i}) = \sum_{i \in J \subseteq I} a_{i} φ (x_{i}) = \sum_{i \in J \subseteq I} a_{i} y_{i} .

Dies legt $φ$ auf ganz $M$ fest.

◻

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ , $N$ zwei $R$ -Moduln, wobei $M$ frei sei. Es seien $x_{i}, i \in I$ , eine Basis von $M$ und $y_{i}, i \in I$ , Elemente aus $N$ .

Dann gibt es genau einen $R$ -Modulhomomorphismus $φ : M \to N$ , für den

$φ (x_{i}) = y_{i}$
für alle $i \in I$ gilt.

Beweis

Wir definieren $φ$ für ein $u \in M$ mit $u = \sum_{i \in J \subseteq I} a_{i} x_{i}$ als

φ (u) = \sum_{i \in J \subseteq I} a_{i} y_{i} .

Weil die $x_{i}, i \in I$ , linear unabhängig sind, gibt es nur eine einzige Darstellung für jedes $u \in U$ , deshalb ist $φ$ wohldefiniert.

Die Linearität überprüfen wir wie folgt.

Es seien zwei Modulelemente $u = \sum_{i \in J \subseteq I} s_{i} x_{i}$ und $v = \sum_{i \in K \subseteq I} t_{i} x_{i}$ gegeben.

In dem wir weitere Summanden mit $s_{i} = 0$ bzw. $t_{i} = 0$ hinzufügen können wir $J = K$ erreichen. Deshalb nehmen wir das gleich an.

Wir zeigen die Additivität von $φ$ .

\begin{matrix} φ (u + v) & = φ ((\sum_{i \in J \subseteq I} s_{i} x_{i}) + (\sum_{i \in J \subseteq I} t_{i} x_{i})) \\ = φ (\sum_{i \in J \subseteq I} (s_{i} + t_{i}) x_{i}) \\ = \sum_{i \in J \subseteq I} (s_{i} + t_{i}) φ (x_{i}) \\ = \sum_{i \in J \subseteq I} s_{i} φ (x_{i}) + \sum_{i \in J \subseteq I} t_{i} φ (x_{i}) \\ = φ (\sum_{i \in J \subseteq I} s_{i} x_{i}) + φ (\sum_{i \in J \subseteq I} t_{i} x_{i}) \\ = φ (u) + φ (v) . \end{matrix}

Wir zeigen die Verträglichkeit von $φ$ mit der skalaren Multiplikation.

\begin{matrix} φ (a u) & = φ (a \sum_{i \in J \subseteq I} s_{i} x_{i}) \\ = φ (\sum_{i \in J \subseteq I} (a s_{i}) x_{i}) \\ = \sum_{i \in J \subseteq I} (a s_{i}) φ (x_{i}) \\ = a \sum_{i \in J \subseteq I} s_{i} φ (x_{i}) \\ = a φ (\sum_{i \in J \subseteq I} s_{i} x_{i}) \\ = a φ (u) . \end{matrix}

Dass dieses $φ$ der einzige Modulhomomorphismus ist, der die Voraussetzungen erfüllt, folgt aus Lemma 1.16.

◻

Definition

Es sei $R$ ein Ring und $I$ und $J$ zwei Indexmengen. Eine $I \times J$ -Matrix ist eine Abbildung

I \times J ⟶ R, (i, j) ⟼ a_{i j} .

Bei $I = {1, \dots, m}$ und $J = {1, \dots, n}$ spricht man von einer $m \times n$ -Matrix. In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) .

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ , $N$ zwei endliche $R$ -Moduln mit den Erzeugendensystemen $x_{1}, \dots, x_{m}$ und $y_{1}, \dots, y_{n}$ .

Zu einem Modulhomomorphismus

φ : M ⟶ N

heißt eine

$n \times m$ -Matrix

M = {(a_{i j})}_{i j},

wobei $a_{i j}$ die $i$ -te Komponente von $φ (x_{j})$ bezüglich einer Darstellung $φ (x_{j}) = a_{1 j} y_{1} + \dots + a_{n j} y_{n}$ im Erzeugendensystem $y_{1}, \dots, y_{n}$ ist, eine beschreibende Matrix zu $φ$ bezüglich der Erzeugendensysteme.

Wenn zudem $x_{1}, \dots, x_{n}$ linear unabhängig ist, also eine Basis ist, dann heißt zu einer Matrix $M = {(a_{i j})}_{i j} \in {Mat}_{n \times m} (R)$ der durch

x_{j} \mapsto \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} y_{i}

gemäß Satz 19.11 (Kommutative Algebra) definierte Modulhomomorphismus $φ (M)$ der durch $M$ festgelegte Modulhomomorphismus.

Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ und $N$ $R$ -Moduln und $φ : M \to N$ ein Modulhomomorphismus. Dann sind $kern φ$ und $bild φ$ Untermoduln von $M$ bzw. $N$ .

Denn seien $u, v \in kern φ$ und $r \in R$ , dann gilt

φ (u + v) = φ (u) + φ (v) = 0 + 0 = 0

und

φ (r u) = r φ (u) = r \cdot 0 = 0.

Es seien nun $x, y \in bild φ$ und $r \in R$ . Dann gibt es $u$ , $v$ mit $u \in φ^{- 1} (x)$ und $v \in φ^{- 1} (y)$ . Es gilt

φ (u + v) = φ (u) + φ (v) = x + y

und

φ (r u) = r φ (u) = r x .

Zu einer Matrix $A$ kann man über den durch die Matrix bezüglich einer Basis in $M$ und einem Erzeugendensystem in $N$ beschriebenen Modulhomomorphismus genauso auch $kern A$ und $bild A$ als Untermoduln beschreiben.

Für $bild A$ schreibt man auch oft $A M$ , sinnbildlich als den Untermodul, der aus allen Elementen besteht, die entstehen, wenn man an $A$ alle Elemente aus $M$ von rechts multipliziert.

Restklassenmoduln

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$ -Modul. Es sei $U \subseteq M$ ein $R$ -Untermodul von $M$ . Die kommutative Restklassengruppe $M / U$ trägt eine kanonische Modulstruktur, die durch

r \cdot [m] := [r \cdot m]

für $r \in R$ und $m \in M$ gegeben ist. Mit dieser Skalarmultiplikation versehen heißt $M / U$ der Restklassenmodul von $M$ nach $U$ .

Es muss geprüft werden, ob diese Definition wohldefiniert ist. Es ist also zu zeigen, dass aus $[m] = [m^{'}]$ folgt: $[r m] = [r m^{'}]$ . Sei $[m] = [m^{'}]$ . Es gibt also ein $u \in U$ mit $m = m^{'} + u$ . Daraus folgt $r m = r m^{'} + r u$ und daher, weil $r u \in U$ ist, zwingend $[r m] = [r m^{'}]$ .

Satz

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ und $N$ zwei $R$ -Moduln und sei

φ : M ⟶ N

ein Modulhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

$M \overset{q}{⟶} M / kern φ \overset{θ}{⟶} bild φ \overset{ι}{↪} N,$

wobei $q$ die kanonische Projektion, $θ$ ein Modulisomorphismus und $ι$ die kanonische Inklusion der Bildgruppe ist.

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 5.12 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)), dem entsprechenden Satz für Gruppen, weil jeder Modulhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus ist und weil die resultierenden Gruppenhomomorphismen $q$ , $θ$ und $ι$ Modulhomomorphismen sind. Bei $q$ ist das so, weil es die kanonische Projektion ist; bei $ι$ ist das so, weil es die Inklusion eines Untermoduls darstellt. Bei $θ$ muss die selbe Eigenschaft dann zwingend gelten, da ansonsten niemals $ι \circ θ \circ q = φ$ gelten könnte.

◻

Definition

Es sei $φ : M \to N$ ein Modulhomomorphismus.

Der Restklassenmodul $N / (bild φ)$ heißt Kokern von $φ$ .

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein endlicher $R$ -Modul. Eine $m \times n$ -Matrix $P$ , für die gilt

M ≅ R^{m} / (P R^{n}),

heißt

Präsentierungsmatrix von $M$ .

Es handelt sich bei dem Modul also um den Kokern von $P$ . Präsentierungsmatrizen sind eine beliebte Form der Darstellung von Moduln.