Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Grundlagen zu Moduln/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Zunächst sollen einige grundlegende Definitionen wiedergegeben werden. Diese sind sehr analog zu den Definitionen zu Vektorräumen, nur dass der Grundring hier im Allgemeinen kein Körper ist.



Moduln

Definition  

Sei ein kommutativer Ring und eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt einen -Modul, wenn eine Operation

(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien und beliebig):

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .

Definition  

Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Eine Teilmenge heißt -Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ist und wenn für jedes und auch ist.


Definition  

Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Eine Familie , , heißt Erzeugendensystem für , wenn es für jedes Element eine Darstellung

gibt, wobei endlich ist und .


Definition  

Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Der Modul heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem , , für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).


Definition  

Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. heißt zyklisch, wenn von einem Element erzeugt wird, wenn also gilt für ein .


Beispiel  

Es gibt zu jedem kommutativen Ring einen Modul, der nur aus einem Element besteht: Die triviale Gruppe mit der einzig möglichen Art diese als -Modul aufzufassen. Man nennt ihn Nullmodul.



Beispiel  

Jede kommutative Gruppe ist auf natürliche Weise ein -Modul.

Die Skalarmultiplikation ist folgendermaßen definiert:

Daher ist ein Erzeugendensystem von als Gruppe auch ein Erzeugendensystem von als -Modul und umgekehrt.

Da jeder Modul als Grundmenge definitionsgemäß eine kommutative Gruppe besitzt und alle Vektorräume über Körpern insbesondere Moduln sind, zeigt uns dieses Beispiel unter Anderem, dass es im Allgemeinen viele Möglichkeiten gibt, eine gegebene Gruppe als Grundmenge eines Moduls zu interpretieren.



Definition  

Sei ein kommutativer Ring und , eine Familie von -Moduln. Das Produkt

der Moduln wird mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation zum -Modul. Das bedeutet für und

und

heißt dann das direkte Produkt der . Das -fache direkte Produkt eines Moduls mit sich selbst wird als geschrieben.


Der Untermodul

der aus allen besteht, für die für fast alle ist, heißt direkte Summe der .

Die -fache direkte Summe eines Moduls mit sich selbst wird als geschrieben.



Definition  

Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Eine Familie , heißt linear unabhängig, wenn für jede endliche Summe

mit und endlich gilt, dass alle .


Definition  

Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem heißt eine Basis (oder genauer: eine -Basis) von .


Definition  

Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. heißt frei (über ), wenn er eine -Basis besitzt.


Definition  

Sei ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring und ein freier -Modul. Man nennt dann die Kardinalität einer Basis von M den Rang von .

Dies ist eine Definition, die so nur für Moduln über kommutativen Ringen, wie wir sie hier behandeln, gilt.


Beispiel  

Sei ein kommutativer Ring. Das Produkt ist ein endlicher, freier Modul mit Rang . Er besteht aus den -Tupeln von Elementen aus :

Addition und Skalarmultiplikation werden komponentenweise definiert, es ist also

und

Eine Basis

von bilden die Elemente
wobei ) so definiert ist, dass an der -ten Stelle des Tupels eine steht und alle anderen Koordinaten sind.

Der Rangbegriff lässt sich über Integritätsbereichen sogar auf nichtfreie Moduln erweitern. In Moduln über Integritätsbereichen besitzt nämlich jedes maximale linear unabhängige System von Elementen die selbe Anzahl an Elementen. Es gibt dafür Beweise mit Methoden, die hier nicht zentral sind. Die interessierte Leserin mag das Lehrbuch der Algebra von Günter Scheja und Uwe Storch in §25 Bemerkung 2 konsultieren. Es gilt umgekehrt immer, dass eine Basis über einem freien Modul maximal linear unabhängig ist. Dies gibt Anlass zu folgender sinnvollen Definition.


Definition  

Sei ein Integritätsbereich und ein -Modul.

Dann heißt die eindeutig bestimmte Kardinalität eines maximal linear unabhängigen Systems von Elementen , der Rang von .



Modulhomomorphismen

Definition  

Sei ein kommutativer Ring und , zwei -Moduln. Eine Abbildung heißt -(Modul-)homomorphismus, wenn folgende beiden Eigenschaften erfüllt sind.

  1. für alle .
  2. für alle und .

Ein Modulhomomorphismus wird manchmal auch lineare Abbildung genannt.

Ein bijektiver Modulhomomorphismus heißt (Modul-)isomorphismus.

Wenn ist, dann heißt ein (Modul-)endomorphismus, oder linearer Operator, im bijektiven Fall auch (Modul-)automorphismus.



Lemma  

Sei ein kommutativer Ring und , zwei -Moduln. Seien ein Erzeugendensystem von und Elemente aus .

Dann gibt es höchstens einen -Modulhomomorphismus , für den

für alle gilt.

Beweis  

Sei mit der Darstellung

Für einen Homomorphismus mit für alle gilt

Dies legt auf ganz fest.



Lemma  

Sei ein kommutativer Ring und , zwei -Moduln, wobei frei sei. Seien , eine Basis von und , Elemente aus .

Dann gibt es genau einen -Modulhomomorphismus , für den

für alle gilt.

Beweis  

Wir definieren für ein mit als

Weil die , linear unabhängig sind, gibt es nur eine einzige Darstellung für jedes , deshalb ist wohldefiniert.

Die Linearität überprüfen wir wie folgt.

Seien zwei Modulelemente und gegeben.

In dem wir weitere Summanden mit bzw. hinzufügen können wir erreichen. Deshalb nehmen wir das gleich an.

Wir zeigen die Additivität von .

Wir zeigen die Verträglichkeit von mit der skalaren Multiplikation.

Dass dieses der einzige Modulhomomorphismus ist, der die Voraussetzungen erfüllt, folgt aus Lemma 1.16.


Definition  

Sei ein Ring und und zwei Indexmengen. Eine -Matrix ist eine Abbildung

Bei und spricht man von einer -Matrix. In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als


Definition  

Sei ein kommutativer Ring und , zwei endliche -Moduln mit den Erzeugendensystemen und .

Zu einem Modulhomomorphismus

heißt eine -Matrix

wobei die -te Komponente von bezüglich einer Darstellung im Erzeugendensystem ist, eine beschreibende Matrix zu bezüglich der Erzeugendensysteme.

Wenn zudem linear unabhängig ist, also eine Basis ist, dann heißt zu einer Matrix der durch

gemäß

Lemma 1.17 definierte Modulhomomorphismus der durch festgelegte Modulhomomorphismus.


Beispiel  

Sei ein kommutativer Ring, und -Moduln und ein Modulhomomorphismus. Dann sind und Untermoduln von bzw. .

Denn seien und , dann gilt

und

Seien nun und . Dann gibt es , mit und . Es gilt

und

Zu einer Matrix kann man über den durch die Matrix bezüglich einer Basis in und einem Erzeugendensystem in beschriebenen Modulhomomorphismus genauso auch und als Untermoduln beschreiben.

Für schreibt man auch oft , sinnbildlich als den Untermodul, der aus allen Elementen besteht, die entstehen, wenn man an alle Elemente aus von rechts multipliziert.




Restklassenmoduln

Definition  

Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Sei ein Untermodul von . Die kommutative Restklassengruppe trägt eine kanonische Modulstruktur durch

für und

Mit dieser Skalarmultiplikation versehen heißt der Restklassenmodul von nach .

Es muss geprüft werden, ob diese Definition wohldefiniert ist. Es ist also zu zeigen, dass aus folgt: . Sei . Es gibt also ein mit . Daraus folgt und daher, weil ist, zwingend .



Satz  

Sei ein kommutativer Ring, und zwei -Moduln und sei

ein Modulhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

wobei die kanonische Projektion, ein Modulisomorphismus und die kanonische Inklusion der Bildgruppe ist.

Beweis  

Dies folgt direkt aus Satz 5.12 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)), dem entsprechenden Satz für Gruppen, weil jeder Modulhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus ist und weil die resultierenden Gruppenhomomorphismen , und Modulhomomorphismen sind. Bei ist das so, weil es die kanonische Projektion ist; bei ist das so, weil es die Inklusion eines Untermoduls darstellt. Bei muss die selbe Eigenschaft dann zwingend gelten, da ansonsten niemals gelten könnte.


Definition  

Sei ein Modulhomomorphismus.

Der Restklassenmodul heißt Kokern von .


Definition  

Sei ein kommutativer Ring und ein endlicher -Modul. Eine -Matrix , für die gilt

heißt

Präsentierungsmatrix von .

Es handelt sich bei dem Modul also um den Kokern von . Präsentierungsmatrizen sind eine beliebte Form der Darstellung von Moduln.